Espacio generado de forma contable

En matemáticas , un espacio topológico se denomina generado contablemente si su topología está determinada por los conjuntos contables de manera similar a como la topología de un espacio secuencial (o un espacio de Fréchet ) está determinada por las secuencias convergentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Los espacios generados contablemente son precisamente los espacios que tienen estrechez contable —de ahí el nombreTambién se utiliza contablemente apretado .

Definición

Un espacio topológico se llama ${\displaystyle X}$se genera de manera contable si para cada subconjuntoestá cerrado ensiempre que para cadasubespaciodelconjuntoesté cerrado en. De manera equivalente,se genera de manera contable si y solo si el cierre de cualquieres igual a la unión de los cierres de todos los subconjuntos contables de ${\displaystyle V\subseteq X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V\cap U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A.}$

Tensión del ventilador contable

Un espacio topológico tiene ${\displaystyle X}$hermeticidad del abanico contable si para cada puntoy cada secuenciade subconjuntos del espaciotales queexisten conjuntos finitostales que ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{n}}\,{\overline {A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\cap {\overline {A_{2}}}\cap \cdots ,}$ ${\displaystyle B_{1}\subseteq A_{1},B_{2}\subseteq A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle x\in {\overline {{\textstyle \bigcup \limits _{n}}\,B_{n}}}={\overline {B_{1}\cup B_{2}\cup \cdots }}.}$

Un espacio topológico tiene ${\displaystyle X}$estrechez fuerte del abanico contable si para cada puntoy cada secuenciade subconjuntos del espaciotales quehay puntostales queTodo espacio fuerte de Fréchet-Urysohn tiene estrechez fuerte del abanico contable. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{n}}\,{\overline {A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\cap {\overline {A_{2}}}\cap \cdots ,}$ ${\displaystyle x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle x\in {\overline {\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}}.}$

Propiedades

Un cociente de un espacio generado de forma numerable es a su vez generado de forma numerable. De forma similar, una suma topológica de espacios generados de forma numerable es generada de forma numerable. Por lo tanto, los espacios generados de forma numerable forman una subcategoría correflectiva de la categoría de espacios topológicos . Son la envoltura correflectiva de todos los espacios contables.

Cualquier subespacio de un espacio generado contablemente es a su vez generado contablemente.

Ejemplos

Todo espacio secuencial (en particular, todo espacio metrizable ) se genera de forma contable.

Un ejemplo de un espacio que se genera de forma contable pero no secuencial se puede obtener, por ejemplo, como un subespacio del espacio de Arens-Fort .

Véase también

• Espacio finitamente generado  : topología en la que la intersección de cualquier familia de conjuntos abiertos es abierta.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Subconjunto cerrado localmente
• Estrechez (topología)  – Función que devuelve números cardinales Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento− La estrechez es una función cardinal relacionada con los espacios generados contablemente y sus generalizaciones.

Referencias

• Herrlich, Horst (1968). Topologische Reflexionen und Coreflexionen . Apuntes de clases de matemáticas. 78. Berlín: Springer .

Enlaces externos

• Glosario de definiciones de topología general [1]
• https://web.archive.org/web/20040917084107/http://thales.doa.fmph.uniba.sk/density/pages/slides/sleziak/paper.pdf