Propiedad del espacio topológico
En el campo de la topología , un espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio topológico con la propiedad de que para cada subconjunto el cierre de en es idéntico al cierre secuencial de en
Los espacios de Fréchet-Urysohn son un tipo especial de espacio secuencial . ![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La propiedad lleva el nombre de Maurice Fréchet y Pavel Urysohn .
Definiciones
Sea un espacio topológico . La clausura secuencial de en es el conjunto:![{\displaystyle (X,\tau )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (X,\tau )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {scl} S:&=[S]_{\operatorname {seq} }:=\left\{x\in X~:~{\text{ existe una secuencia }}s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq S{\text{ en }}S{\text{ tal que }}s_{\bullet }\to x{\text{ en }}(X,\tau )\right\}\end{alignedat}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde o puede escribirse si se necesita claridad. ![{\displaystyle \nombre del operador {scl} _{X}S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se dice que un espacio topológico es un espacio de Fréchet-Urysohn si![{\displaystyle (X,\tau )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para cada subconjunto donde denota el cierre de en![{\displaystyle S\subseteq X,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {cl}_{X}S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Conjuntos abiertos/cerrados secuencialmente
Supongamos que cualquier subconjunto de
una secuencia A está eventualmente en si existe un entero positivo tal que para todos los índices![{\displaystyle S\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{1},x_{2},\lpuntos}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{i}\en S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El conjunto se llama secuencialmente abierto si cada secuencia en que converge a un punto de está eventualmente en ; Normalmente, si se entiende entonces se escribe en lugar de![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nombreoperador {scl} S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El conjunto se llama secuencialmente cerrado si o, equivalentemente, si siempre que es una secuencia en que converge a entonces también debe estar en
El complemento de un conjunto secuencialmente abierto es un conjunto secuencialmente cerrado, y viceversa. ![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S=\nombre del operador {scl} _{X}S,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{\bullet}=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización x,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dejar ![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ):&=\left\{S\subseteq X~:~S{\text{ está abierto secuencialmente en }}(X,\tau )\right\}\\&=\left\{S\subseteq X~:~S=\operatorname {SeqInt} _{(X,\tau )}S\right\}\\\end{alignedat}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
denota el conjunto de todos los subconjuntos abiertos secuencialmente de donde esto puede denotarse por es la topología que se entiende. El conjunto es una topología en que es más fina que la topología original
Cada subconjunto abierto (o cerrado) de es secuencialmente abierto (o cerrado secuencialmente), lo que implica que![{\displaystyle (X,\tau ),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {SeqOpen} X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización \tau}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \tau .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Fuerte espacio Fréchet-Urysohn
Un espacio topológico es un espacio fuerte de Fréchet-Urysohn si para cada punto y cada secuencia de subconjuntos del espacio tales que existe una secuencia en tal que para cada y en
Las propiedades anteriores se pueden expresar como principios de selección .![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\en X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in \bigcap _{n}{\overline {A_{n}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{i}\en A_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i\in \mathbb {N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (X,\tau ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Contraste con espacios secuenciales
Todo subconjunto abierto de es secuencialmente abierto y todo conjunto cerrado es secuencialmente cerrado. Sin embargo, los recíprocos en general no son ciertos. Los espacios para los que los recíprocos son ciertos se denominan espacios secuenciales ; es decir, un espacio secuencial es un espacio topológico en el que todo subconjunto secuencialmente abierto es necesariamente abierto, o equivalentemente, es un espacio en el que todo subconjunto secuencialmente cerrado es necesariamente cerrado. Todo espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial pero hay espacios secuenciales que no son espacios de Fréchet-Urysohn. ![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los espacios secuenciales (respectivamente, espacios de Fréchet-Urysohn) pueden verse/interpretarse exactamente como aquellos espacios donde, para cualquier subconjunto dado, el conocimiento de qué secuencias en convergen a qué punto(s) de (y cuáles no) es suficiente para determinar si está o no cerrado en (respectivamente, es suficiente para determinar el cierre de en ). [nota 1]
Por lo tanto, los espacios secuenciales son aquellos espacios para los que las secuencias en pueden usarse como una "prueba" para determinar si cualquier subconjunto dado es abierto (o equivalentemente, cerrado) en ; o dicho de otra manera, los espacios secuenciales son aquellos espacios cuyas topologías pueden caracterizarse completamente en términos de convergencia de secuencias. En cualquier espacio que no sea secuencial, existe un subconjunto para el cual esta "prueba" da un " falso positivo ". [nota 2]![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S\subseteq X,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caracterizaciones
Si es un espacio topológico entonces los siguientes son equivalentes:![{\displaystyle (X,\tau )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un espacio de Fréchet-Urysohn.- Definición: para cada subconjunto
![{\displaystyle \nombreoperador {scl} _{X}S~=~\nombreoperador {cl} _{X}S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S\subseteq X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para cada subconjunto![{\displaystyle S\subseteq X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Esta afirmación es equivalente a la definición anterior porque siempre se cumple para cada
![{\displaystyle \nombreoperador {scl} _{X}S~\subseteq ~\nombreoperador {cl} _{X}S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S\subseteq X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Cada subespacio de es un espacio secuencial .
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Para cualquier subconjunto que no esté cerrado en y para cada existe una secuencia en que converge a
![{\displaystyle S\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización x.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Para cualquier subconjunto que no esté cerrado en existe alguno para el cual existe una secuencia en que converge a [1]
![{\displaystyle S\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización x.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Esta caracterización implica que cada espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial.
La caracterización que sigue muestra que, entre los espacios secuenciales de Hausdorff, los espacios de Fréchet–Urysohn son exactamente aquellos para los que siempre se puede encontrar una " secuencia diagonal convergente cofinal ", similar al principio diagonal que se utiliza para caracterizar topologías en términos de redes convergentes . En la siguiente caracterización, se supone que toda convergencia tiene lugar en
Si es un espacio secuencial de Hausdorff , entonces es un espacio de Fréchet-Urysohn si y solo si se cumple la siguiente condición: Si es una secuencia en que converge a algún y si para cada es una secuencia en que converge a donde estas hipótesis se pueden resumir mediante el siguiente diagrama,
entonces existen aplicaciones estrictamente crecientes tales que
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\en X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(x_{l}^{i}\right)_{i=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![estilo de visualización x_{l},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{11}&x_{1}^{1}~\;~&x_{1}^{2}~\;~&x_{1}^{3}~\;~&x_{1}^{4}~\;~&x_{1}^{5}~~&\ldots ~~&x_{1}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{1}\\[1.2ex]&x_{2}^{1}~\;~&x_{2}^{2}~\;~&x_{2}^{3}~\;~&x_{2}^{4}~\;~&x_{2}^{5}~~&\ldots ~~&x_{2}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{2}\\[1.2ex]&x_{3}^{1}~\;~&x_{3}^{2}~\;~&x_{3}^{3}~\;~&x_{3}^{4}~\;~&x_{3}^{5}~~&\ldots ~~&x_{3}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{3}\\[1.2ex]&x_{4}^{1}~\;~&x_{4}^{2}~\;~&x_{4}^{3}~\;~&x_{4}^{4}~\;~&x_{4}^{5}~~&\ldots ~~&x_{4}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{4}\\[0.5ex]&&&\;\,\vdots &&&&\;\,\vpuntos &&\;\,\vpuntos \\[0.5ex]&x_{l}^{1}~\;~&x_{l}^{2}~\;~&x_{l}^{3}~\;~&x_{l}^{4}~\;~&x_{l}^{5}~~&\lpuntos ~~&x_{l}^{i}~~\lpuntos ~~&\to ~~&x_{l}\\[0.5ex]&&&\;\,\vpuntos &&&&\;\,\vpuntos &&\;\,\vpuntos \\&&&&&&&&&\,\flecha hacia abajo \\&&&&&&&&~~&\;x\\\end{alignedat}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(Basta con considerar sólo secuencias con rangos infinitos (es decir, infinitas) porque si es finito entonces la hausdorfficidad implica que necesariamente es eventualmente constante con valor, en cuyo caso la existencia de los mapas con las propiedades deseadas se verifica fácilmente para este caso especial (incluso si no es un espacio de Fréchet-Urysohn).![{\displaystyle \left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\{x_{l}:l\in \mathbb {N} \right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización x,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (X,\tau )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
Todo subespacio de un espacio de Fréchet–Urysohn es Fréchet–Urysohn. [2]
Todo espacio de Fréchet–Urysohn es un espacio secuencial aunque la implicación opuesta no sea cierta en general. [3] [4]
Si un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es un espacio de Fréchet-Urysohn, entonces es igual a la topología final en inducida por el conjunto de todos los arcos en los que por definición hay caminos continuos que también son incrustaciones topológicas . ![{\displaystyle (X,\tau )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización \tau}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Arco} \left([0,1];X\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [0,1]\to (X,\tau )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
Todo espacio de primer orden contable es un espacio de Fréchet-Urysohn. En consecuencia, todo espacio de segundo orden contable , todo espacio metrizable y todo espacio pseudometrizable es un espacio de Fréchet-Urysohn. También se deduce que todo espacio topológico de un conjunto finito es un espacio de Fréchet-Urysohn. ![{\displaystyle (X,\tau )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Espacios duales continuos metrizables
Un espacio vectorial topológico localmente convexo metrizable (TVS) (por ejemplo, un espacio de Fréchet ) es un espacio normable si y solo si su espacio dual fuerte es un espacio de Fréchet-Urysohn, [5] o, equivalentemente, si y solo si es un espacio normable.
![{\displaystyle X_{b}^{\prime}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X_{b}^{\prime}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Espacios secuenciales que no son de Fréchet-Urysohn
Límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita
El espacio de sucesiones reales finitas es un espacio secuencial de Hausdorff que no es Fréchet–Urysohn. Para cada enteroidentifíquesecon el conjuntodonde este último es un subconjunto del espacio de sucesiones de números realesexplícitamente, los elementosyse identifican juntos. En particular,se puede identificar como un subconjunto dey más generalmente, como un subconjuntopara cualquier enteroSea
Damossu topología usualen la que un subconjuntoes abierto (resp. cerrado) si y solo si para cada enteroel conjuntoes un subconjunto abierto (resp. cerrado) de (con su topología euclidiana usual). Siyes una sucesión enentoncesensi y solo si existe algún enterotal que tantoyestán contenidos enyen
De estos hechos, se sigue quees un espacio secuencial. Para cada enteroseadenotar la bola abierta ende radio(en la norma euclidiana ) centrada en el origen. Sea
entonces que el cierre deeses todo depero el origendeno pertenece al cierre secuencial deen
De hecho, se puede demostrar que
Esto prueba queno es un espacio de Fréchet–Urysohn.![{\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \{\left(0,0,0,\ldots \right)\}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} };}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n+k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\geq 0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }:=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ todos menos un número finito de }}x_{i}{\text{ son iguales a }}0\right\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} ^{n}.\end{alignedat}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \tau ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S\cap \mathbb {R} ^{n}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)~:~\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)\in S\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_{\bullet}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_{\bullet }\to v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_{\bullet}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_{\bullet }\to v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 1,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización B_{n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización 1/n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S:=\mathbb {R} ^{\infty }\,\setminus \,\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (0,0,0,\lpuntos)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\nombredeloperador {cl} _{\mathbb {R} ^{\infty }}S~\neq ~\nombredeloperador {scl} _{\mathbb {R} ^{\infty }}S=\mathbb {R} ^{\infty }\setminus \{(0,0,0,\ldots )\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Espacios DF de Montel
Todo espacio DF de Montel de dimensión infinita es un espacio secuencial pero no un espacio de Fréchet-Urysohn.
El espacio de Schwartz y el espacio de funciones suaves
![{\displaystyle C^{\infty }(U)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los siguientes espacios ampliamente utilizados son ejemplos destacados de espacios secuenciales que no son espacios de Fréchet-Urysohn. Sea el espacio de Schwartz y sea el espacio de funciones suaves en un subconjunto abierto donde ambos espacios tienen sus topologías de espacio de Fréchet habituales , como se define en el artículo sobre distribuciones . Tanto y como los espacios duales fuertes de ambos de estos espacios, son espacios ultrabornológicos de Montel nucleares completos , lo que implica que estos cuatro espacios localmente convexos también son espacios de barril reflexivos normales paracompactos [7] . Los espacios duales fuertes de ambos y son espacios secuenciales, pero ninguno de estos duales es un espacio de Fréchet-Urysohn . [8] [9]![{\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C^{\infty }(U)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C^{\infty }(U)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Véase también
Notas
- ^ Por supuesto, si puedes determinar todos los superconjuntos de que están cerrados en entonces puedes determinar el cierre de Así que esta interpretación supone que solo puedes determinar si está cerrado o no (y que esto no es posible con ningún otro subconjunto); dicho de otra manera, no puedes aplicar esta "prueba" (de si un subconjunto está abierto/cerrado) a infinitos subconjuntos simultáneamente (por ejemplo, no puedes usar algo parecido al axioma de elección ). Es en los espacios de Fréchet-Urysohn donde se puede determinar el cierre de un conjunto sin que sea necesario considerar nunca un subconjunto de distinto de esto no siempre es posible en espacios que no sean de Fréchet-Urysohn.
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S;}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Aunque esta "prueba" (que intenta responder "¿este conjunto es abierto (o cerrado)?") podría potencialmente dar un "falso positivo", nunca puede dar un " falso negativo "; esto se debe a que cada subconjunto abierto (o cerrado) es necesariamente secuencialmente abierto (o cerrado secuencialmente), de modo que esta "prueba" nunca indicará "falso" para ningún conjunto que realmente sea abierto (o cerrado).
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Citas
- ^ Arkhangel'skii, AV y Pontryagin LS, Topología general I, definición 9 p.12
- ^ Engelking 1989, Ejercicio 2.1.H(b)
- ^ Engelking 1989, Ejemplo 1.6.18
- ^ Ma, Dan (19 de agosto de 2010). "Una nota sobre el espacio de Arens" . Consultado el 1 de agosto de 2013 .
- ^ Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes contables locales (2014)
- ^ "Espacio vectorial topológico". Enciclopedia de Matemáticas . Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
Es un espacio de Montel, por lo tanto paracompacto y, por lo tanto, normal.
- ^ Gabriyelyan, Saak "Propiedades topológicas de los espacios LF estrictos y duales fuertes de los espacios LF estrictos de Montel" (2017)
- ^ T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Académico de Japón. 35 (1959), 31-36.
Referencias
- Arkhangel'skii, AV y Pontryagin, LS, Topología general I , Springer-Verlag, Nueva York (1990) ISBN 3-540-18178-4 .
- Booth, PI y Tillotson, A., Categorías monoidales cerradas, cartesianas cerradas y convenientes de espacios topológicos Pacific J. Math., 88 (1980) págs. 35–53.
- Engelking, R., Topología general , Heldermann, Berlín (1989). Edición revisada y completa.
- Franklin, SP, "Espacios en los que las secuencias son suficientes", Fund. Math. 57 (1965), 107-115.
- Franklin, SP, "Espacios en los que las sucesiones son suficientes II", Fund. Math. 61 (1967), 51-56.
- Goreham, Anthony, "Convergencia secuencial en espacios topológicos"
- Steenrod, NE, Una categoría conveniente de espacios topológicos , Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322 .