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Espacio Schwartz

En matemáticas , el espacio de Schwartz es el espacio funcional de todas las funciones cuyas derivadas son rápidamente decrecientes. Este espacio tiene la importante propiedad de que la transformada de Fourier es un automorfismo en este espacio. Esta propiedad permite, por dualidad, definir la transformada de Fourier para elementos en el espacio dual de , es decir, para distribuciones templadas . Una función en el espacio de Schwartz a veces se denomina función de Schwartz .

Una función gaussiana bidimensional es un ejemplo de una función que decrece rápidamente.

El espacio de Schwartz recibe su nombre del matemático francés Laurent Schwartz .

Definición

Sea el conjunto de números enteros no negativos , y para cualquier , sea el producto cartesiano n -veces .

El espacio de Schwartz o espacio de funciones rápidamente decrecientes en es el espacio funcional donde es el espacio funcional de funciones suaves de en , y Aquí, denota el supremo , y usamos notación de múltiples índices , es decir y .

Para poner en lenguaje común esta definición, se podría considerar una función rápidamente decreciente como esencialmente una función f ( x ) tal que f ( x ) , f ′( x ) , f ′′( x ) , ... existen todas en todas partes en R y tienden a cero cuando x → ±∞ más rápido que cualquier potencia recíproca de x . En particular, S ( R n , C ) es un subespacio del espacio de funciones C ( R n , C ) de funciones suaves desde R n hasta C .

Ejemplos de funciones en el espacio de Schwartz

Propiedades

Propiedades analíticas

En particular, esto implica que 𝒮( R n ) es un R -álgebra. De manera más general, si f ∈ 𝒮( R ) y H es una función suave acotada con derivadas acotadas de todos los órdenes, entonces fH ∈ 𝒮( R ) .

  1. espacios localmente convexos de Hausdorff completos ,
  2. espacios nucleares de Montel ,
Se sabe que en el espacio dual de cualquier espacio de Montel, una secuencia converge en la topología dual fuerte si y solo si converge en la topología débil* , [1]
  1. Espacios ultrabornológicos ,
  2. espacios reflexivos de Mackey en forma de barril .

Relación de los espacios de Schwartz con otros espacios vectoriales topológicos

Véase también

Referencias

  1. ^ Trèves 2006, págs. 351–359.

Fuentes

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