En matemáticas , un espacio débil de Hausdorff o espacio débil de Hausdorff es un espacio topológico donde la imagen de cada mapa continuo desde un espacio compacto de Hausdorff hacia el espacio está cerrada . [1] En particular, cada espacio de Hausdorff es Hausdorff débil. Como propiedad de separación , es más fuerte que T 1 , lo que equivale a la afirmación de que los puntos están cerrados. Específicamente, todo espacio débil de Hausdorff es un espacio T 1 . [2] [3]
La noción fue introducida por MC McCord [4] para remediar el inconveniente de trabajar con la categoría de espacios de Hausdorff. A menudo se utiliza junto con espacios generados de forma compacta en topología algebraica . Para eso, consulte la categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .
espacios k-Hausdorff
AEl espacio k-Hausdorff [5]es un espacio topológico que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cada subespacio compacto es Hausdorff .
- La diagonal es k-cerrada en
![{\displaystyle \{(x,x):x\en X\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X\times X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Un subconjunto es
k-cerrado , siestá cerradopara cada compacto![{\displaystyle A\cap C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C\subseteq Y.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Cada subespacio compacto es cerrado y fuertemente compacto localmente.
- un espacio esfuertemente localmente compacto si para todosdelos vecindarios(no necesariamente abiertos)de existe un vecindario compactodetal que
![{\displaystyle U\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V\subseteq U.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
- Un espacio k-Hausdorff es un Hausdorff débil. Porque si es k-Hausdorff y es un mapa continuo de un espacio compacto, entonces es compacto, por lo tanto Hausdorff, por lo tanto cerrado.
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:C\a X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(C)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Un espacio de Hausdorff es k-Hausdorff. Para un espacio es Hausdorff si y sólo si la diagonal está cerrada y cada subconjunto cerrado es un k-conjunto cerrado .
![{\displaystyle \{(x,x):x\en X\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X\veces X,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Un espacio k-Hausdorff es KC. AEl espacio KC es un espacio topológico en el que todo subespacio compacto está cerrado.
- Para mostrar que la topología coherente inducida por los subespacios compactos de Hausdorff preserva los subespacios compactos de Hausdorff y su topología subespacial requiere que el espacio sea k-Hausdorff; Un Hausdorff débil no es suficiente. Por tanto, k-Hausdorff puede verse como la definición más fundamental.
Espacios Δ-Hausdorff
AEl espacio Δ-Hausdorff es un espacio topológico donde la imagen de cadacaminoestá cerrada; es decir, si siemprees continuo entoncesestá cerrado enCada espacio débil de Hausdorff es-Hausdorff, y cadaespacio -Hausdorff es unespacioT 1 . un espacio es![{\displaystyle f:[0,1]\a X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f([0,1])}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Δ-generado si su topología es latopología más fina, de modo que cada mapadesde un topológicosimplexhastasea continuo.-Los espacios de Hausdorff sonespacios generados como los espacios débiles de Hausdorff son espacios generados de forma compacta.![{\displaystyle f:\Delta ^{n}\a X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ Hoffmann, Rudolf-E. (1979), "Sobre espacios débiles de Hausdorff", Archiv der Mathematik , 32 (5): 487–504, doi :10.1007/BF01238530, SEÑOR 0547371.
- ^ JP May, Un curso conciso en topología algebraica . (1999) University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 (Ver capítulo 5)
- ^ Strickland, Neil P. (2009). «La categoría de los espacios CGWH» ( PDF ) .
- ^ McCord, MC (1969), "Clasificación de espacios y productos simétricos infinitos", Transactions of the American Mathematical Society , 146 : 273–298, doi : 10.2307/1995173 , JSTOR 1995173, MR 0251719.
- ^ Lawson, J; Madison, B (1974). "Cocientes de k-semigrupos". Foro Semigrupo . 9 : 1–18. doi :10.1007/BF02194829.