Espacio débil de Hausdorff

En matemáticas , un espacio débil de Hausdorff o espacio débil de Hausdorff es un espacio topológico donde la imagen de cada mapa continuo desde un espacio compacto de Hausdorff hacia el espacio está cerrada . ^[1] En particular, cada espacio de Hausdorff es Hausdorff débil. Como propiedad de separación , es más fuerte que T ₁ , lo que equivale a la afirmación de que los puntos están cerrados. Específicamente, todo espacio débil de Hausdorff es un espacio T 1 . ^{[2] [3]}

La noción fue introducida por MC McCord ^[4] para remediar el inconveniente de trabajar con la categoría de espacios de Hausdorff. A menudo se utiliza junto con espacios generados de forma compacta en topología algebraica . Para eso, consulte la categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .

espacios k-Hausdorff

AEl espacio k-Hausdorff ^[5]es un espacio topológico que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada subespacio compacto es Hausdorff .
2. La diagonal es k-cerrada en ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X.}$
   • Un subconjunto es ${\displaystyle A\subseteq Y}$k-cerrado , siestá cerradopara cada compacto ${\displaystyle A\cap C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\subseteq Y.}$
3. Cada subespacio compacto es cerrado y fuertemente compacto localmente.
   • un espacio esfuertemente localmente compacto si para todosdelos vecindarios(no necesariamente abiertos)de existe un vecindario compactodetal que ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle V\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\subseteq U.}$

Propiedades

• Un espacio k-Hausdorff es un Hausdorff débil. Porque si es k-Hausdorff y es un mapa continuo de un espacio compacto, entonces es compacto, por lo tanto Hausdorff, por lo tanto cerrado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:C\to X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle f(C)}$
• Un espacio de Hausdorff es k-Hausdorff. Para un espacio es Hausdorff si y sólo si la diagonal está cerrada y cada subconjunto cerrado es un k-conjunto cerrado . ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X,}$
• Un espacio k-Hausdorff es KC. AEl espacio KC es un espacio topológico en el que todo subespacio compacto está cerrado.
• Para mostrar que la topología coherente inducida por los subespacios compactos de Hausdorff preserva los subespacios compactos de Hausdorff y su topología subespacial requiere que el espacio sea k-Hausdorff; el débil Hausdorff no es suficiente. Por tanto, k-Hausdorff puede considerarse la definición más fundamental.

Espacios Δ-Hausdorff

AEl espacio Δ-Hausdorff es un espacio topológico donde la imagen de cadacaminoestá cerrada; es decir, si siemprees continuo entoncesestá cerrado enCada espacio débil de Hausdorff es-Hausdorff, y cadaespacio -Hausdorff es unespacioT 1 . un espacio es ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle f([0,1])}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$Δ-generado si su topología es latopología más fina, de modo que cada mapadesde un topológicosimplexhastasea continuo.-Los espacios de Hausdorff sonespacios generados como los espacios débiles de Hausdorff son espacios generados de forma compacta. ${\displaystyle f:\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$

Ver también

• Espacio de punto fijo  : espacio donde todas las funciones tienen puntos fijos, un espacio de Hausdorff donde cada función continua desde el espacio hacia sí misma tiene un punto fijo.
• Espacio de Hausdorff  - Tipo de espacio topológico
• Espacio localmente Hausdorff
• Topología de puntos particulares
• Espacio cuasitopológico  : un conjunto X equipado con una función que asocia a cada espacio compacto de Hausdorff K una colección de mapas K→C que satisfacen ciertas condiciones naturales.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Axioma de separación  : axiomas en topología que definen nociones de "separación"

Referencias

1. Hoffmann, Rudolf-E. (1979), "Sobre espacios débiles de Hausdorff", Archiv der Mathematik , 32 (5): 487–504, doi :10.1007/BF01238530, SEÑOR  0547371.
2. JP May, Un curso conciso en topología algebraica . (1999) University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 (Ver capítulo 5) 
3. Strickland, Neil P. (2009). «La categoría de los espacios CGWH» ( PDF ) .
4. McCord, MC (1969), "Clasificación de espacios y productos simétricos infinitos", Transactions of the American Mathematical Society , 146 : 273–298, doi : 10.2307/1995173 , JSTOR  1995173, MR  0251719.
5. Lawson, J; Madison, B (1974). "Cocientes de k-semigrupos". Foro Semigrupo . 9 : 1–18. doi :10.1007/BF02194829.