Espacio secuencial

Espacio topológico caracterizado por secuencias.

En topología y campos relacionados de las matemáticas , un espacio secuencial es un espacio topológico cuya topología puede caracterizarse completamente por sus secuencias convergentes/divergentes. Se pueden considerar como espacios que satisfacen un axioma de contabilidad muy débil , y todos los primeros espacios contables (especialmente los espacios métricos ) son secuenciales.

En cualquier espacio topológico, si una secuencia convergente está contenida en un conjunto cerrado , entonces el límite de esa secuencia también debe estar contenido . Los conjuntos con esta propiedad se conocen como secuencialmente cerrados . Los espacios secuenciales son precisamente aquellos espacios topológicos para los cuales los conjuntos secuencialmente cerrados son de hecho cerrados. (Estas definiciones también se pueden reformular en términos de conjuntos secuencialmente abiertos; ver más abajo). Dicho de otra manera, cualquier topología se puede describir en términos de redes (también conocidas como secuencias de Moore-Smith), pero esas secuencias pueden ser "demasiado largas" ( indexado por un ordinal demasiado grande) para comprimirlo en una secuencia. Los espacios secuenciales son aquellos espacios topológicos para los cuales redes de longitud contable (es decir, secuencias) son suficientes para describir la topología. ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C}$

Cualquier topología se puede refinar (es decir, hacer más fina) a una topología secuencial, llamada correflexión secuencial de ${\displaystyle X.}$

Los conceptos relacionados de espacios de Fréchet-Urysohn , espacios T -secuenciales y espacios -secuenciales también se definen en términos de cómo la topología de un espacio interactúa con las secuencias, pero tienen propiedades sutilmente diferentes. ${\displaystyle N}$

Los espacios secuenciales y los espacios secuenciales fueron introducidos por SP Franklin . ^[1] ${\displaystyle N}$

Historia

Aunque los espacios que satisfacen tales propiedades se han estudiado implícitamente durante varios años, la primera definición formal se debe a SP Franklin en 1965. Franklin quería determinar "las clases de espacios topológicos que pueden especificarse completamente mediante el conocimiento de sus secuencias convergentes", y Comenzó investigando los primeros espacios contables , para lo cual ya se sabía que bastaba con secuencias. Luego, Franklin llegó a la definición moderna abstrayendo las propiedades necesarias de los primeros espacios contables.

Definiciones preliminares

Sea un conjunto y sea una secuencia en ; es decir, una familia de elementos de , indexados por los números naturales . En este artículo, significa que cada elemento de la secuencia es un elemento de y, si es un mapa, entonces Para cualquier índice , la cola que comienza en es la secuencia. Eventualmente se encuentra una secuencia si alguna cola de satisface ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle x_{\geq i}=(x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ){\text{.}}}$$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S.}$

Sea una topología y una secuencia en la misma . La secuencia converge a un punto escrito (cuando el contexto lo permite ), si, para cada vecindad de eventualmente se encuentra entonces se llama punto límite de ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Una función entre espacios topológicos es secuencialmente continua si implica ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle f(x_{\bullet })\to f(x).}$

Cierre secuencial/interior

Sea un espacio topológico y sea un subconjunto. El cierre topológico (resp. interior topológico ) de in se denota por (resp. ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$

El cierre secuencial de in es el conjunto que define un mapa, el operador de cierre secuencial , en el conjunto potenciado de Si es necesario para mayor claridad, este conjunto también puede escribirse o Siempre se da el caso, pero lo contrario puede fallar. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ $${\displaystyle \operatorname {scl} (S)=\left\{x\in X:{\text{there exists a sequence }}s_{\bullet }\subseteq S{\text{ such that }}s_{\bullet }\to x\right\}}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}(S).}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$

El interior secuencial de in es el conjunto (el espacio topológico nuevamente indicado con un subíndice si es necesario). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ $${\displaystyle \operatorname {sint} (S)=\{s\in S:{\text{whenever }}x_{\bullet }\subseteq X{\text{ and }}x_{\bullet }\to s,{\text{ then }}x_{\bullet }{\text{ is eventually in }}S\}}$$

El cierre secuencial y el interior satisfacen muchas de las buenas propiedades del cierre topológico y el interior: para todos los subconjuntos ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$

• ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {sint} _{X}(S)}$y ; ${\displaystyle \operatorname {sint} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {scl} _{X}(S)}$
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (\emptyset )=\emptyset }$y ; ${\displaystyle \operatorname {sint} (\emptyset )=\emptyset }$
• ${\textstyle \operatorname {sint} (S)\subseteq S\subseteq \operatorname {scl} (S)}$;
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (R\cup S)=\operatorname {scl} (R)\cup \operatorname {scl} (S)}$; y
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)\subseteq \operatorname {scl} (\operatorname {scl} (S)).}$

Es decir, el cierre secuencial es un operador de precierre . A diferencia del cierre topológico, el cierre secuencial no es idempotente : la última contención puede ser estricta. Por lo tanto, el cierre secuencial no es un operador de cierre ( Kuratowski ) .

Conjuntos secuencialmente cerrados y abiertos.

Un conjunto se cierra secuencialmente si ; equivalentemente, para todos y tales que debemos tener ^{[nota 1]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {scl} (S)}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x,}$ ${\displaystyle x\in S.}$

Se define que un conjunto es secuencialmente abierto si su complemento es secuencialmente cerrado. Las condiciones equivalentes incluyen: ${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle S=\operatorname {sint} (S)}$o
• Para todos y aquellos que eventualmente están en (es decir, existe algún número entero tal que la cola ). ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}s,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S}$

Un conjunto es una vecindad secuencial de un punto si contiene en su interior secuencial; Las vecindades secuenciales no necesitan estar secuencialmente abiertas (consulte § Espacios secuenciales T y N a continuación). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$

Es posible que un subconjunto de esté secuencialmente abierto pero no abierto. De manera similar, es posible que exista un subconjunto secuencialmente cerrado que no lo sea. ${\displaystyle X}$

Espacios secuenciales y correflexión.

Como se analizó anteriormente, el cierre secuencial no es en general idempotente y, por lo tanto, no es el operador de cierre de una topología. Se puede obtener un cierre secuencial idempotente mediante iteración transfinita : para un ordinal sucesor, defina (como de costumbre) y, para un ordinal límite, defina. Este proceso proporciona una secuencia creciente de conjuntos indexada por ordinales; resulta que esa secuencia siempre se estabiliza por índice (el primer ordinal incontable ). Por el contrario, el orden secuencial de es el ordinal mínimo en el que, para cualquier elección de la secuencia anterior, se estabilizará. ^[2] ${\displaystyle \alpha +1,}$ $${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha +1}(S)=\operatorname {scl} ((\operatorname {scl} )^{\alpha }(S))}$$ ${\displaystyle \alpha ,}$ $${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha }(S)=\bigcup _{\beta <\alpha }{(\operatorname {scl} )^{\beta }(S)}{\text{.}}}$$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S,}$

El cierre secuencial transfinito de es el terminal establecido en la secuencia anterior: El operador es idempotente y, por tanto, un operador de cierre . En particular, define una topología, la correflexión secuencial. En la correflexión secuencial, cada conjunto secuencialmente cerrado está cerrado (y cada conjunto secuencialmente abierto está abierto). ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}(S).}$ ${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}}$

Espacios secuenciales

Un espacio topológico es secuencial si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$

• ${\displaystyle \tau }$es su propia correflexión secuencial. ^[4]
• Cada subconjunto secuencialmente abierto de está abierto. ${\displaystyle X}$
• Todo subconjunto secuencialmente cerrado de está cerrado. ${\displaystyle X}$
• Para cualquier subconjunto que no esté cerrado existe alguna ^{[nota 2]} y una secuencia que converge a ^[5] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} (S)\setminus S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$
• (Propiedad universal) Para todo espacio topológico un mapa es continuo si y sólo si es secuencialmente continuo (si entonces ). ^[6] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$
• ${\displaystyle X}$es el cociente de un primer espacio contable.
• ${\displaystyle X}$es el cociente de un espacio métrico.

Al tomar y como mapa de identidad en la propiedad universal, se deduce que la clase de espacios secuenciales consiste precisamente en aquellos espacios cuya estructura topológica está determinada por secuencias convergentes. Si dos topologías coinciden en secuencias convergentes, entonces necesariamente tienen la misma correflexión secuencial. Además, una función de es secuencialmente continua si y sólo si es continua en la correflexión secuencial (es decir, cuando está precompuesta con ). ${\displaystyle Y=X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

t- ynorte-espacios secuenciales

Un espacio T -secuencial es un espacio topológico con orden secuencial 1, que equivale a cualquiera de las siguientes condiciones: ^[1]

• El cierre secuencial (o interior) de cada subconjunto de está secuencialmente cerrado (o abierto). ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {scl} }$o son idempotentes. ${\displaystyle \operatorname {sint} }$
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)=\bigcap _{{\text{sequentially closed }}C\supseteq S}{C}}$o ${\textstyle \operatorname {sint} (S)=\bigcup _{{\text{sequentially open }}U\subseteq S}{U}}$
• Cualquier vecindad secuencial de puede reducirse a un conjunto secuencialmente abierto que contenga ; Formalmente, los barrios secuencialmente abiertos son una base de barrio para los barrios secuenciales. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$
• Para cualquier vecindad secuencial de existe una vecindad secuencial de tal que, para cada el conjunto es una vecindad secuencial de ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m.}$

Ser un espacio secuencial T es incomparable con ser un espacio secuencial; hay espacios secuenciales que no son T -secuenciales y viceversa. Sin embargo, un espacio topológico se llama secuencial (o secuencial de vecindad ) si es secuencial y T secuencial. Una condición equivalente es que cada vecindad secuencial contenga una vecindad abierta (clásica). ^[1] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle N}$

Cada primer espacio contable (y por tanto cada espacio metrizable ) es secuencial. Existen espacios vectoriales topológicos que son secuenciales pero no secuenciales (y por lo tanto no T -secuenciales). ^[1] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Espacios de Fréchet-Urysohn

Un espacio topológico se denomina Fréchet-Urysohn si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$

• ${\displaystyle X}$es hereditariamente secuencial; es decir, todo subespacio topológico es secuencial.
• Para cada subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S=\operatorname {cl} _{X}S.}$
• Para cualquier subconjunto que no está cerrado y cada existe una secuencia que converge a ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

A veces también se dice que los espacios de Fréchet-Urysohn son "Fréchet", pero no deben confundirse ni con los espacios de Fréchet en el análisis funcional ni con la condición T 1 .

Ejemplos y condiciones suficientes

Todo complejo CW es secuencial, ya que puede considerarse como un cociente de un espacio métrico.

El espectro primo de un anillo noetheriano conmutativo con topología de Zariski es secuencial. ^[7]

Tome la recta real e identifique el conjunto de números enteros hasta un punto. Como cociente de un espacio métrico, el resultado es secuencial, pero no es primero contable. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Cada primer espacio contable es Fréchet-Urysohn y cada espacio de Fréchet-Urysohn es secuencial. Así, todo espacio metrizable o pseudometrizable (en particular, cada segundo espacio contable , espacio métrico o espacio discreto  ) es secuencial.

Sea un conjunto de aplicaciones desde espacios de Fréchet-Urysohn hasta Entonces la topología final que induce es secuencial. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es secuencial si y sólo si no existe una topología estrictamente más fina con las mismas secuencias convergentes. ^{[8] [9]}

Espacios secuenciales pero no Fréchet-Urysohn

El espacio de Schwartz y el espacio de funciones suaves , como se analiza en el artículo sobre distribuciones , son espacios secuenciales ampliamente utilizados. ^{[10] [11]} ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

De manera más general, todo espacio Montel DF de dimensión infinita es secuencial, pero no Fréchet-Urysohn .

El espacio de Arens es secuencial, pero no el de Fréchet-Urysohn. ^{[12] [13]}

No ejemplos (espacios que no son secuenciales)

El espacio más simple que no es secuencial es la topología contable en un conjunto incontable. Cada secuencia convergente en tal espacio es eventualmente constante; por tanto, todo conjunto es secuencialmente abierto. Pero la topología contable no es discreta . (Se podría llamar a la topología "secuencialmente discreta".) ^[14]

Denotemos el espacio de funciones de prueba suaves con su topología canónica y denotemos el espacio de distribuciones, el espacio dual fuerte de ; ninguno de los dos es secuencial (ni siquiera un espacio de Ascoli). ^{[10] [11]} Por otro lado, ambos y son espacios de Montel ^[15] y, en el espacio dual de cualquier espacio de Montel, una secuencia de funcionales lineales continuos converge en la topología dual fuerte si y sólo si converge en el topología débil* (es decir, converge puntualmente). ^{[10] [16]} ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Consecuencias

Cada espacio secuencial tiene una estanqueidad contable y se genera de forma compacta .

Si se trata de una sobreyección abierta continua entre dos espacios secuenciales de Hausdorff, entonces el conjunto de puntos con preimagen única es cerrado. (Por continuidad, también lo es su preimagen en el conjunto de todos los puntos en los que es inyectivo). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \{y:{|f^{-1}(y)|=1}\}\subseteq Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$

Si es un mapa sobreyectivo (no necesariamente continuo) en un espacio secuencial de Hausdorff y bases para la topología, entonces es un mapa abierto si y sólo si, para cada vecindad básica y secuencia en hay una subsecuencia de que finalmente está en  ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle f(B).}$

Propiedades categóricas

La subcategoría completa Seq de todos los espacios secuenciales se cierra bajo las siguientes operaciones en la categoría Top de espacios topológicos:

• Cocientes
• Imágenes continuas cerradas o abiertas.
• sumas
• Límites inductivos ^{[ disputado – discutir ]}
• Subespacios abiertos y cerrados

La categoría Seq no está cerrada bajo las siguientes operaciones en Top :

• Imágenes continuas
• Subespacios
• productos finitos

Dado que están cerrados bajo sumas y cocientes topológicos, los espacios secuenciales forman una subcategoría correflexiva de la categoría de espacios topológicos . De hecho, son el casco correflectivo de espacios metrizables (es decir, la clase más pequeña de espacios topológicos cerrados bajo sumas y cocientes y que contienen los espacios metrizables).

La subcategoría Seq es una categoría cerrada cartesiana respecto de su propio producto (no el de Top ). Los objetos exponenciales están equipados con la topología abierta (secuencia convergente).

PI Booth y A. Tillotson han demostrado que Seq es la subcategoría cerrada cartesiana más pequeña de Top que contiene los espacios topológicos subyacentes de todos los espacios métricos , complejos CW y variedades diferenciables y que está cerrada bajo colimites, cocientes y otras "ciertas identidades razonables". " que Norman Steenrod calificó de "conveniente". ^[17]

Cada espacio secuencial se genera de forma compacta , y los productos finitos en Seq coinciden con los de espacios generados de forma compacta, ya que los productos en la categoría de espacios generados de forma compacta conservan cocientes de espacios métricos.

Ver también

• Axioma de contabilidad  : propiedad de ciertos objetos matemáticos (generalmente en una categoría) que afirma la existencia de un conjunto contable con ciertas propiedades. Sin tal axioma, tal conjunto probablemente no existiría.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Propiedad de gráfico cerrado  : gráfico de un mapa cerrado en el espacio del producto.
• Primer espacio contable  : espacio topológico donde cada punto tiene una base de vecindad contable
• Espacio Fréchet-Urysohn  - Propiedad del espacio topológico
• Mapa de cobertura de secuencia

Notas

1. No se puede aplicar simultáneamente esta "prueba" a una infinidad de subconjuntos (por ejemplo, no se puede utilizar algo parecido al axioma de elección ). No todos los espacios secuenciales son Fréchet-Urysohn , pero sólo en esos espacios se puede determinar la clausura de un conjunto sin que sea necesario nunca considerar ningún otro conjunto que no sea ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
2. Un espacio de Fréchet-Urysohn se define por la condición análoga para todos los siguientes : ${\displaystyle x}$

   Para cualquier subconjunto que no esté cerrado para ninguno, existe una secuencia que converge a ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}(S)\setminus S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

Citas

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2. * Arhangel'skiĭ, AV; Franklin, SP (1968). "Invariantes ordinales para espacios topológicos". Matemáticas de Michigan. J.​ 15 (3): 313–320. doi : 10.1307/mmj/1029000034 .
3. Baron, S. (octubre de 1968). "La subcategoría correflectiva de espacios secuenciales". Boletín de Matemáticas Canadiense . 11 (4): 603–604. doi : 10.4153/CMB-1968-074-4 . ISSN  0008-4395. S2CID  124685527.
4. "¿La topología de conjuntos secuencialmente abiertos es secuencial?". Intercambio de pilas de matemáticas .
5. Arkhangel'skii, AV y Pontryagin LS,  Topología general I, definición 9 p.12
6. Barón, S.; Líder, Salomón (1966). "Solución al problema n.º 5299". El Mensual Matemático Estadounidense . 73 (6): 677–678. doi :10.2307/2314834. ISSN  0002-9890. JSTOR  2314834.
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8. Wilansky 2013, pag. 224.
9. Dudley, RM, Sobre la convergencia secuencial - Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense Vol 112, 1964, págs.
10. Gabrielyan, Saak (2019). "Propiedades topológicas de espacios estrictos y duales fuertes de espacios estrictos de Montel". Monatshefte für Mathematik . 189 (1): 91–99. arXiv : 1702.07867 . doi :10.1007/s00605-018-1223-6. ${\displaystyle (LF)}$ ${\displaystyle (LF)}$
11. T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Académico de Japón. 35 (1959), 31-36.
12. Engelking 1989, ejemplo 1.6.19
13. Mamá, Dan (19 de agosto de 2010). «Una nota sobre el espacio de los Arens» . Consultado el 1 de agosto de 2013 .
14. matemáticas; Sleziak, Martin (6 de diciembre de 2016). "Ejemplo de diferentes topologías con mismas secuencias convergentes". Intercambio de pilas de matemáticas . Desbordamiento de pila . Consultado el 27 de junio de 2022 .
15. "Espacio vectorial topológico". Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 6 de septiembre de 2020 . Es un espacio de Montel, por tanto paracompacto y, por tanto, normal.
16. Trèves 2006, págs. 351–359.
17. Steenrod 1967

Referencias

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