En matemáticas , un espacio topológico finito es un espacio topológico para el cual el conjunto de puntos subyacente es finito . Es decir, es un espacio topológico que tiene sólo un número finito de elementos.
Los espacios topológicos finitos se utilizan a menudo para proporcionar ejemplos de fenómenos interesantes o contraejemplos de conjeturas que parecen plausibles. William Thurston ha calificado el estudio de topologías finitas en este sentido como "un tema extraño que puede dar una buena idea de una variedad de cuestiones". [1]
Sea un conjunto finito. Una topología es un subconjunto de (el conjunto potencia de ) tal que
En otras palabras, un subconjunto de es una topología si contiene tanto como como y está cerrado bajo uniones e intersecciones arbitrarias . Los elementos de se llaman conjuntos abiertos . La descripción general de espacios topológicos requiere que una topología sea cerrada bajo uniones arbitrarias (finitas o infinitas) de conjuntos abiertos, pero solo bajo intersecciones de un número finito de conjuntos abiertos. Aquí esa distinción es innecesaria. Dado que el conjunto potencia de un conjunto finito es finito, sólo puede haber un número finito de conjuntos abiertos (y sólo un número finito de conjuntos cerrados ).
Una topología en un conjunto finito también se puede considerar como una subred que incluye tanto el elemento inferior como el elemento superior .
Existe una topología única en el conjunto vacío ∅. El único conjunto abierto es el vacío. De hecho, este es el único subconjunto de ∅.
Asimismo, existe una topología única en un conjunto singleton { a }. Aquí los conjuntos abiertos son ∅ y { a }. Esta topología es a la vez discreta y trivial , aunque en cierto modo es mejor pensar en ella como un espacio discreto ya que comparte más propiedades con la familia de espacios discretos finitos.
Para cualquier espacio topológico X existe una función continua única de ∅ a X , a saber, la función vacía . También hay una función continua única desde X hasta el espacio singleton { a }, es decir, la función constante hasta a . En el lenguaje de la teoría de categorías, el espacio vacío sirve como objeto inicial en la categoría de espacios topológicos, mientras que el espacio singleton sirve como objeto terminal .
Sea X = { a , b } un conjunto con 2 elementos. Hay cuatro topologías distintas en X :
Es fácil ver que la segunda y tercera topologías anteriores son homeomórficas . La función de X hacia sí misma que intercambia a y b es un homeomorfismo. Un espacio topológico homeomorfo a uno de estos se llama espacio de Sierpiński . Entonces, de hecho, sólo hay tres topologías no equivalentes en un conjunto de dos puntos: la trivial, la discreta y la topología de Sierpiński.
El preorden de especialización en el espacio de Sierpiński { a , b } con { b } abierto viene dado por: a ≤ a , b ≤ b y a ≤ b .
Sea X = { a , b , c } un conjunto de 3 elementos. Hay 29 topologías distintas en X pero sólo 9 topologías no equivalentes:
Los últimos 5 de ellos son todos T 0 . El primero es trivial, mientras que en 2, 3 y 4 los puntos a y b son topológicamente indistinguibles .
Sea X = { a , b , c , d } un conjunto de 4 elementos. Hay 355 topologías distintas en X pero sólo 33 topologías no equivalentes:
Los últimos 16 de ellos son todos T 0 .
Las topologías en un conjunto finito X están en correspondencia uno a uno con los pedidos anticipados en X . Recuerde que un preorden en X es una relación binaria en X que es reflexiva y transitiva .
Dado un espacio topológico X (no necesariamente finito), podemos definir un preorden en X mediante
donde cl{ y } denota el cierre del conjunto singleton { y }. Este pedido anticipado se llama pedido anticipado de especialización en X . Todo conjunto abierto U de X será un conjunto superior con respecto a ≤ (es decir, si x ∈ U y x ≤ y entonces y ∈ U ). Ahora bien , si X es finito, lo contrario también es cierto: todo conjunto superior es abierto en X. Entonces, para espacios finitos, la topología en X está determinada únicamente por ≤.
Yendo en la otra dirección, supongamos que ( X , ≤) es un conjunto preordenado. Defina una topología τ en X tomando los conjuntos abiertos como los conjuntos superiores con respecto a ≤. Entonces la relación ≤ será el preorden de especialización de ( X , τ). La topología definida de esta manera se llama topología de Alexandrov determinada por ≤.
La equivalencia entre preordenes y topologías finitas puede interpretarse como una versión del teorema de representación de Birkhoff , una equivalencia entre redes distributivas finitas (la red de conjuntos abiertos de la topología) y órdenes parciales (el orden parcial de clases de equivalencia del preorden). Esta correspondencia también funciona para una clase más amplia de espacios llamados espacios finitamente generados . Los espacios finitamente generados se pueden caracterizar como espacios en los que una intersección arbitraria de conjuntos abiertos está abierta. Los espacios topológicos finitos son una clase especial de espacios finitamente generados.
Todo espacio topológico finito es compacto ya que cualquier cobertura abierta ya debe ser finita. De hecho, a menudo se piensa que los espacios compactos son una generalización de los espacios finitos, ya que comparten muchas de las mismas propiedades.
Cada espacio topológico finito también es contable en segundo lugar (solo hay un número finito de conjuntos abiertos) y separable (ya que el espacio en sí es contable ).
Si un espacio topológico finito es T 1 (en particular, si es Hausdorff ), entonces debe, de hecho, ser discreto. Esto se debe a que el complemento de un punto es una unión finita de puntos cerrados y por tanto cerrados. De ello se deduce que cada punto debe estar abierto.
Por lo tanto, cualquier espacio topológico finito que no sea discreto no puede ser T 1 , Hausdorff ni nada más fuerte.
Sin embargo, es posible que un espacio finito no discreto sea T 0 . En general, dos puntos xey son topológicamente indistinguibles si y sólo si x ≤ y y y ≤ x , donde ≤ es el preorden de especialización en X . De ello se deduce que un espacio X es T 0 si y sólo si el preorden de especialización ≤ en X es un orden parcial . Existen numerosos pedidos parciales en un conjunto finito. Cada uno define una topología T 0 única .
De manera similar, un espacio es R 0 si y sólo si el preorden de especialización es una relación de equivalencia. Dada cualquier relación de equivalencia en un conjunto finito X, la topología asociada es la topología de partición en X. Las clases de equivalencia serán las clases de puntos topológicamente indistinguibles. Dado que la topología de la partición es pseudometrizable , un espacio finito es R 0 si y sólo si es completamente regular .
Los espacios finitos no discretos también pueden ser normales . La topología de puntos excluidos en cualquier conjunto finito es un espacio T 0 completamente normal que no es discreto.
La conectividad en un espacio finito X se comprende mejor considerando el preorden de especialización ≤ en X. Podemos asociar a cualquier conjunto X preordenado un gráfico dirigido Γ tomando los puntos de X como vértices y dibujando una arista x → y siempre que x ≤ y . La conectividad de un espacio finito X puede entenderse considerando la conectividad del gráfico asociado Γ.
En cualquier espacio topológico, si x ≤ y entonces hay un camino de x a y . Simplemente se puede tomar f (0) = x y f ( t ) = y para t > 0. Es fácil verificar que f es continua. De ello se deduce que los componentes de la ruta de un espacio topológico finito son precisamente los componentes (débilmente) conectados del gráfico asociado Γ. Es decir, existe un camino topológico de xay si y sólo si hay un camino no dirigido entre los vértices correspondientes de Γ.
Todo espacio finito está localmente conectado por caminos desde el conjunto
es una vecindad abierta de x conectada por caminos que está contenida en todas las demás vecindades. En otras palabras, este conjunto único forma una base local en x .
Por lo tanto, un espacio finito es conexo si y sólo si está conexo por caminos. Los componentes conectados son precisamente los componentes del camino. Cada uno de estos componentes está cerrado y abierto en X .
Los espacios finitos pueden tener propiedades de conectividad más fuertes. Un espacio finito X es
Por ejemplo, la topología de puntos particular en un espacio finito está hiperconectada, mientras que la topología de puntos excluidos está ultraconectada. El espacio de Sierpiński es ambas cosas.
Un espacio topológico finito es pseudometrizable si y sólo si es R 0 . En este caso, una posible pseudométrica viene dada por
donde x ≡ y significa que xey son topológicamente indistinguibles . Un espacio topológico finito es metrizable si y sólo si es discreto.
Asimismo, un espacio topológico es uniformizable si y sólo si es R 0 . La estructura uniforme será la uniformidad pseudométrica inducida por la pseudométrica anterior.
Quizás sea sorprendente que existan espacios topológicos finitos con grupos fundamentales no triviales . Un ejemplo sencillo es el pseudocírculo , que es el espacio X con cuatro puntos, dos de los cuales son abiertos y dos cerrados. Hay un mapa continuo desde el círculo unitario S 1 a X que es una equivalencia de homotopía débil (es decir, induce un isomorfismo de grupos de homotopía ). De ello se deduce que el grupo fundamental del pseudocírculo es cíclico infinito .
De manera más general, se ha demostrado que para cualquier complejo simplicial abstracto finito K , existe un espacio topológico finito X K y una equivalencia de homotopía débil f : | k | → X K donde | k | es la realización geométrica de K . De ello se deduce que los grupos de homotopía de | k | y X K son isomorfos. De hecho, el conjunto subyacente de X K puede considerarse como el propio K , con la topología asociada al orden parcial de inclusión.
Como se analizó anteriormente, las topologías en un conjunto finito están en correspondencia uno a uno con los pedidos anticipados en el conjunto, y las topologías T 0 están en correspondencia uno a uno con los pedidos parciales . Por lo tanto, el número de topologías en un conjunto finito es igual al número de pedidos anticipados y el número de topologías T 0 es igual al número de pedidos parciales.
La siguiente tabla enumera el número de topologías distintas (T 0 ) en un conjunto con n elementos. También enumera el número de topologías no equivalentes (es decir, no homeomórficas ).
Sea T ( n ) el número de topologías distintas en un conjunto con n puntos. No existe una fórmula simple conocida para calcular T ( n ) para n arbitrario . La Enciclopedia en línea de secuencias enteras actualmente enumera T ( n ) para n ≤ 18.
El número de topologías T 0 distintas en un conjunto con n puntos, denotado T 0 ( n ), está relacionado con T ( n ) mediante la fórmula
donde S ( n , k ) denota el número de Stirling del segundo tipo .
