Topología de particiones

En matemáticas , una topología de partición es una topología que se puede inducir en cualquier conjunto al dividirlo en subconjuntos disjuntos . Estos subconjuntos forman la base de la topología. Hay dos ejemplos importantes que tienen sus propios nombres: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P;}$

• ElLa topología par-impar es la topología dondeyEquivalentemente, ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle P={\left\{~\{2k-1,2k\}:k\in \mathbb {N} \right\}}.}$ ${\displaystyle P=\{~\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\ldots \}.}$
• ElLa topología de enteros eliminados se define dejandoy ${\displaystyle X={\begin{matrix}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(n-1,n)\subseteq \mathbb {R} \end{matrix}}}$ ${\displaystyle P={\left\{(0,1),(1,2),(2,3),\ldots \right\}}.}$

Las particiones triviales producen la topología discreta (cada punto de es un conjunto en so ) o la topología indiscreta (el conjunto entero está en so ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P=\{~\{x\}~:~x\in X~\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P=\{X\}}$

Cualquier conjunto con una topología de partición generada por una partición puede verse como un espacio pseudométrico con una pseudométrica dada por: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{if }}x{\text{ and }}y{\text{ are in the same partition element}}\\1&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Esto no es una métrica a menos que produzca la topología discreta. ${\displaystyle P}$

La topología de partición proporciona un ejemplo importante de la independencia de varios axiomas de separación . A menos que sea trivial, al menos un conjunto en contiene más de un punto, y los elementos de este conjunto son topológicamente indistinguibles : la topología no separa puntos. Por lo tanto no es un espacio de Kolmogorov , ni un espacio T 1 , ni un espacio de Hausdorff ni un espacio de Urysohn . En una topología de partición, el complemento de cada conjunto abierto también es abierto y, por lo tanto, un conjunto es abierto si y solo si es cerrado. Por lo tanto, es regular , completamente regular , normal y completamente normal . es la topología discreta. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/P}$

Véase también

• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos

Referencias

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Sr.  0507446