En matemáticas , una topología de partición es una topología que se puede inducir en cualquier conjunto al dividirlo en subconjuntos disjuntos . Estos subconjuntos forman la base de la topología. Hay dos ejemplos importantes que tienen sus propios nombres:
- ElLa topología par-impar es la topología dondeyEquivalentemente,
- ElLa topología de enteros eliminados se define dejandoy
Las particiones triviales producen la topología discreta (cada punto de es un conjunto en so ) o la topología indiscreta (el conjunto entero está en so ).
Cualquier conjunto con una topología de partición generada por una partición puede verse como un espacio pseudométrico con una pseudométrica dada por:
Esto no es una métrica a menos que produzca la topología discreta.
La topología de partición proporciona un ejemplo importante de la independencia de varios axiomas de separación . A menos que sea trivial, al menos un conjunto en contiene más de un punto, y los elementos de este conjunto son topológicamente indistinguibles : la topología no separa puntos. Por lo tanto no es un espacio de Kolmogorov , ni un espacio T 1 , ni un espacio de Hausdorff ni un espacio de Urysohn . En una topología de partición, el complemento de cada conjunto abierto también es abierto y, por lo tanto, un conjunto es abierto si y solo si es cerrado. Por lo tanto, es regular , completamente regular , normal y completamente normal . es la topología discreta.
Véase también
Referencias