Categoría de espacios débiles de Hausdorff generados de forma compacta

En matemáticas, la categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta CGWH es una de las categorías típicamente utilizadas en topología algebraica como sustituto de la categoría de espacios topológicos , ya que este último carece de algunas de las propiedades agradables que uno desearía. También existe una categoría para espacios basados, definida al exigir que los mapas preserven los puntos base. ^[1]

Los artículos espacio generado de forma compacta y espacio débil de Hausdorff definen las respectivas propiedades topológicas. Para conocer la motivación histórica detrás de estas condiciones en los espacios, consulte Espacio generado de forma compacta#Motivación . Este artículo se centra en las propiedades de la categoría.

Propiedades

CGWH tiene las siguientes propiedades:

• Es completo ^[2] y cocompleto. ^[3]
• El funtor olvidadizo de los conjuntos conserva pequeños límites. ^[2]
• Contiene todos los espacios de Hausdorff localmente compactos ^[4] y todos los complejos CW . ^[5]
• El Hom interno existe para cualquier par de espacios X , Y ; ^{[6] [7]} se denota por o y se denomina espacio de mapeo ( libre ) de X a Y. Además existe un homeomorfismo ${\displaystyle \operatorname {Map} (X,Y)}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

  ${\displaystyle \operatorname {Map} (X\times Y,Z)\simeq \operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$

eso es natural en X , Y , Z . ^[8] En resumen, la categoría es cartesiana cerrada en un sentido enriquecido.

• Un producto finito de complejos CW es un complejo CW. ^[9]
• Si X , Y son espacios basados, entonces existe el producto smash de ellos. ^{[10] El} espacio de mapeo (basado) de X a Y consta de todos los mapas que preservan el punto base de X a Y y es un subespacio cerrado del espacio de mapeo entre los espacios no basados ​​subyacentes. ^[11] Es un espacio basado en el punto base del mapa constante único. Para espacios basados ​​X , Y , Z , existe un homeomorfismo ${\displaystyle \operatorname {Map} (X,Y)}$

  ${\displaystyle \operatorname {Map} (X\wedge Y,Z)\simeq \operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$

eso es natural en X , Y , Z . ^[12]

Notas

1. Strickland 2009, Definición 4.1.
2. Strickland 2009, Proposición 2.30.
3. Strickland 2009, Corolario 2.23.
4. Strickland 2009, Proposición 1.7.
5. Frankland 2013, Proposición 3.2.
6. Strickland 2009, Proposición 2.24.
7. Frankland 2013, Proposición 2.10.
8. Strickland 2009, Proposición 2.12.
9. Frankland 2013, Proposición 4.2.
10. Strickland 2009, § 5.
11. Strickland 2009, Observación 5.6.
12. Strickland 2009, Proposición 5.7.

Referencias

• Frankland, Martín (4 de febrero de 2013). "Matemáticas 527 - Teoría de la homotopía - Espacios generados de forma compacta" (PDF) .
• Steenrod, NE (1 de mayo de 1967). "Una categoría conveniente de espacios topológicos". Revista de matemáticas de Michigan . 14 (2): 133-152. doi : 10.1307/mmj/1028999711 .
• Strickland, Neil (2009). «La categoría de espacios CGWH» (PDF) .
• "Apéndice". Estructuras celulares en topología . 1990, págs. 241–305. doi :10.1017/CBO9780511983948.007. ISBN 9780521327848.

Lectura adicional

• La categoría CGWH, Dongryul Kim 2017