En topología , una rama de las matemáticas , el producto aplastante de dos espacios puntiagudos (es decir, espacios topológicos con puntos base distinguidos) ( X, x 0 ) y ( Y , y 0 ) es el cociente del espacio producto X × Y bajo las identificaciones ( x , y 0 ) ~ ( x 0 , y ) para todo x en X e y en Y . El producto aplastante es en sí mismo un espacio puntiagudo, siendo el punto base la clase de equivalencia de ( x 0 , y 0 ). El producto aplastante generalmente se denota X ∧ Y o X ⨳ Y . El producto aplastante depende de la elección de los puntos base (a menos que tanto X como Y sean homogéneos ).
Se puede pensar que X e Y se encuentran dentro de X × Y como los subespacios X × { y 0 } y { x 0 } × Y . Estos subespacios se intersecan en un único punto: ( x 0 , y 0 ), el punto base de X × Y . Por lo tanto, la unión de estos subespacios se puede identificar con la suma de cuña . En particular, { x 0 } × Y en X × Y se identifica con Y en , lo mismo para X × { y 0 } y X . En , los subespacios X e Y se intersecan en el único punto . El producto de aplastamiento es entonces el cociente
El producto de aplastamiento aparece en la teoría de homotopía , una rama de la topología algebraica . En la teoría de homotopía, a menudo se trabaja con una categoría de espacios diferente a la categoría de todos los espacios topológicos . En algunas de estas categorías, la definición del producto de aplastamiento debe modificarse ligeramente. Por ejemplo, el producto de aplastamiento de dos complejos CW es un complejo CW si se utiliza el producto de complejos CW en la definición en lugar de la topología del producto . Se necesitan modificaciones similares en otras categorías.
Para cualquier espacio puntiagudo X , Y y Z en una categoría "conveniente" apropiada (por ejemplo, la de espacios generados de forma compacta ), existen homeomorfismos naturales (que preservan el punto base).
Sin embargo, para la categoría ingenua de espacios puntiagudos, esto falla, como lo demuestra el contraejemplo encontrado por Dieter Puppe . [1] Una prueba debida a Kathleen Lewis de que el contraejemplo de Puppe es de hecho un contraejemplo se puede encontrar en el libro de Johann Sigurdsson y J. Peter May . [2]
Estos isomorfismos convierten la categoría apropiada de espacios puntiagudos en una categoría monoidal simétrica con el producto de aplastamiento como producto monoidal y la esfera 0 puntiaguda (un espacio discreto de dos puntos) como objeto unitario. Por lo tanto, se puede pensar en el producto de aplastamiento como una especie de producto tensorial en una categoría apropiada de espacios puntiagudos.
Los funtores adjuntos hacen que la analogía entre el producto tensorial y el producto de aplastamiento sea más precisa. En la categoría de R -módulos sobre un anillo conmutativo R , el funtor tensorial es adjunto por la izquierda al funtor interno Hom , de modo que
En la categoría de espacios puntiagudos , el producto de aplastamiento juega el papel del producto tensorial en esta fórmula: si son Hausdorff compactos entonces tenemos una adjunción
donde denota mapas continuos que envían un punto base a otro y lleva la topología compacta-abierta . [3]
En particular, tomando como círculo unitario , vemos que el funtor de suspensión reducido es adjunto por la izquierda al funtor del espacio de bucles :