La noción dual es la topología inicial , que para una determinada familia de funciones de un conjunto en espacios topológicos es la topología más burda que hace que esas funciones sean continuas.
Definición
Dado un conjunto y una familia indexada de espacios topológicos con funciones asociadas,
la topología final inducida por la familia de funciones es la mejor topología tal que
Explícitamente, la topología final se puede describir de la siguiente manera:
un subconjunto de está abierto en la topología final (es decir, ) si y solo si está abierto para cada uno .
Los subconjuntos cerrados tienen una caracterización análoga:
un subconjunto de está cerrado en la topología final si y sólo si está cerrado para cada uno .
La familia de funciones que induce la topología final suele ser un conjunto de funciones. Pero se puede realizar la misma construcción si se trata de una clase adecuada de funciones, y el resultado todavía está bien definido en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . En ese caso siempre hay una subfamilia de con un conjunto, de modo que las topologías finales inducidas por y por coinciden. Para obtener más información sobre esto, consulte, por ejemplo, la discusión aquí. [4] Como ejemplo, una variante comúnmente utilizada de la noción de espacio generado de forma compacta se define como la topología final con respecto a una clase adecuada de funciones. [5]
Ejemplos
El caso especial importante en el que la familia de mapas consta de un único mapa sobreyectivo se puede caracterizar completamente utilizando la noción de mapa cociente . Una función sobreyectiva entre espacios topológicos es un mapa cociente si y sólo si la topología coincide con la topología final inducida por la familia . En particular: la topología del cociente es la topología final en el espacio del cociente inducido por el mapa del cociente .
La topología final en un conjunto inducido por una familia de mapas con valores puede verse como una generalización de gran alcance de la topología del cociente, donde se pueden usar múltiples mapas en lugar de solo uno y donde no es necesario que estos mapas sean sobrejecciones.
Dados espacios topológicos , la topología de unión disjunta sobre la unión disjunta es la topología final sobre la unión disjunta inducida por las inyecciones naturales.
Dada una familia de topologías en un conjunto fijo, la topología final con respecto a los mapas de identidad como rangos superiores es el mínimo (o encuentro) de estas topologías en la red de topologías. Es decir , la topología final es igual a la intersección
Dado un espacio topológico y una familia de subconjuntos de cada uno de los cuales tiene la topología de subespacio , la topología final inducida por todos los mapas de inclusión de en es más fina (o igual) que la topología original en El espacio se llama coherente con la familia de subespacios si la topología final coincide con la topología original. En ese caso, un subconjunto estará abierto exactamente cuando la intersección esté abierta para cada uno (consulte el artículo sobre topología coherente para obtener más detalles sobre esta noción y más ejemplos). Como caso particular, Una de las nociones de espacio generado de forma compacta puede caracterizarse como una cierta topología coherente.
Dadas funciones desde espacios topológicos hasta el conjunto , la topología final con respecto a estas funciones satisface la siguiente propiedad:
una función desde hasta algún espacio es continua si y sólo si es continua para cada
Propiedad característica de la topología final.
Esta propiedad caracteriza la topología final en el sentido de que si una topología on satisface la propiedad anterior para todos los espacios y todas las funciones , entonces la topología on es la topología final con respecto a la
Comportamiento bajo composición
Supongamos que es una familia de mapas, y para cada uno la topología es la topología final inducida por alguna familia de mapas valorada en . Entonces la topología final inducida por es igual a la topología final inducida por los mapas
Como consecuencia: si la topología final es inducida por la familia y si cualquier mapa sobreyectivo se valora en algún espacio topológico, entonces es un mapa cociente si y sólo si tiene la topología final inducida por los mapas.
Por la propiedad universal de la topología de unión disjunta sabemos que dada cualquier familia de mapas continuos existe un mapa continuo único
que es compatible con las inyecciones naturales. Si la familia de mapas cubre (es decir, cada uno se encuentra en la imagen de alguno ), entonces el mapa será un mapa cociente si y sólo si tiene la topología final inducida por los mapas.
Efectos de cambiar la familia de mapas
En todo momento, sea una familia de mapas con valores en los que cada mapa tenga la forma y denote la topología final inducida por
La definición de la topología final garantiza que para cada índice el mapa sea continuo .
Para cualquier subconjunto, la topología final será más fina que (y posiblemente igual a) la topología ; es decir, implica dónde podría mantenerse la igualdad de conjuntos incluso si es un subconjunto adecuado de
Si alguna topología es tal que y es continua para cada índice, entonces debe ser estrictamente más burda que (lo que significa que y esto se escribirá ) y, además, para cualquier subconjunto la topología también será estrictamente más burda que la topología final que induce a (porque ); eso es,
Supongamos que, además, hay una familia indexada de mapas valorados cuyos dominios son espacios topológicos.
Si cada es continuo, agregar estos mapas a la familia no cambiará la topología final , es decir,
explícitamente, esto significa que la topología final inducida por la "familia extendida" es igual a la topología final inducida por la familia original.
Sin embargo, si hubiera existido incluso un solo mapa que no fuera continuo, entonces la topología final inducida por la "familia extendida" sería necesariamente más burda. que la topología final inducida por eso (consulte esta nota al pie [nota 1] para obtener una explicación).
Topología final sobre el límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita
Dote al conjunto con la topología final inducida por la familia de todos los mapas de inclusión. Con esta topología, se convierte en un espacio vectorial topológico secuencial localmente convexo de Hausdorff completo que no es un espacio de Fréchet-Urysohn . La topología es estrictamente más fina que la topología subespacial inducida por donde está dotada de su topología de producto habitual . Dotar a la imagen de la topología final inducida en ella por la biyección , es decir, está dotada de la topología euclidiana transferida a ella desde vía.
Esta topología es igual a la topología subespacial inducida en ella por
Un subconjunto es abierto (respectivamente, cerrado) en si y solo si para cada el conjunto es un subconjunto abierto (respectivamente, cerrado) de
La topología es coherente con la familia de subespacios
Esto lo convierte en un espacio LB. En consecuencia, si y es una secuencia en entonces en si y sólo si existe algo tal que ambos y estén contenidos en y en
A menudo, para cada uno se utiliza el mapa de inclusión para identificar con su imagen de forma explícita, los elementos y se identifican juntos. Bajo esta identificación, se convierte en un límite directo del sistema directo donde para cada mapa está el mapa de inclusión definido por donde hay ceros finales.
Descripción categórica
En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción final de la topología se puede describir de la siguiente manera. Sea un funtor de una categoría discreta a la categoría de espacios topológicos Top que selecciona los espacios para Sea el funtor diagonal de Top a la categoría de functor Top J (este funtor envía cada espacio al funtor constante a ). La categoría de coma es entonces la categoría de coconos de, es decir, objetos en pares donde hay una familia de mapas continuos para If es el funtor olvidadizo de Top a Set y Δ′ es el funtor diagonal de Set a Set J, entonces la categoría de coma es la categoría de todos los co-conos de La construcción de la topología final puede entonces describirse como un funtor de a Este funtor se deja adjunto al funtor olvidadizo correspondiente.
Ver también
Límite directo : caso especial de colimit en la teoría de categorías
Topología inducida – Topología heredadaPages displaying short descriptions of redirect targets
Topología inicial : topología más gruesa que hace que ciertas funciones sean continuas
^ Por definición, el mapa que no es continuo significa que existe al menos un conjunto abierto que no está abierto en En contraste, por definición de la topología final el mapa debe ser continuo. Entonces, la razón por la cual debe ser estrictamente más burda, en lugar de estrictamente más fina, es porque el hecho de que el mapa no sea continuo requiere que uno o más subconjuntos abiertos de sean "eliminados" para que se vuelva continuo. Por lo tanto , sólo se "eliminan" algunos conjuntos abiertos de
^ Singh, Tej Bahadur (5 de mayo de 2013). Elementos de topología. Prensa CRC. ISBN9781482215663. Consultado el 21 de julio de 2020 .
^ Császár, Ákos (1978). Topología general . Bristol [Inglaterra]: A. Hilger. pag. 317.ISBN0-85274-275-4.
^ "Establecer cuestiones teóricas en la definición del espacio k o topología final con una clase adecuada de funciones". Intercambio de pilas de matemáticas .
^ Brown 2006, Sección 5.9, p. 182.
Referencias
Brown, Ronald (junio de 2006). Topología y grupoides . North Charleston: CreateSpace. ISBN 1-4196-2722-8.
Willard, Stephen (1970). Topología general . Serie Addison-Wesley en Matemáticas. Lectura, MA: Addison-Wesley. ISBN 9780201087079. Zbl 0205.26601.. (Proporciona una breve introducción general en la sección 9 y el Ejercicio 9H)