En matemáticas , la topología plana es una topología de Grothendieck utilizada en geometría algebraica . Se utiliza para definir la teoría de la cohomología plana ; también juega un papel fundamental en la teoría de la descendencia (fielmente, descendencia plana). [1] El término plano aquí proviene de módulos planos .
Existen varias topologías planas ligeramente diferentes, de las cuales las más comunes son la topología fppf y la topología fpqc . fppf significa fidèlement plate de présentation finie (fidelidad placa de presentación finita) , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano y de presentación finita. fpqc significa fidèlement plate et quasi-compacte (fidelidad placa y cuasi-compacto) , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano. En ambas categorías, una familia de cobertura se define como una familia que es una cobertura sobre subconjuntos abiertos de Zariski. [2] En la topología fpqc, cualquier morfismo fielmente plano y cuasi-compacto es una cobertura. [3] Estas topologías están estrechamente relacionadas con la descendencia . La topología fielmente plana "pura" sin otras condiciones de finitud como cuasi compacidad o presentación finita no se usa mucho ya que no es subcanónica; en otras palabras, los funtores representables no necesitan ser haces.
Lamentablemente, la terminología para las topologías planas no está estandarizada. Algunos autores utilizan el término "topología" para referirse a una pretopología, y existen varias pretopologías ligeramente diferentes, a veces denominadas (pre)topología fppf o fpqc, que a veces dan la misma topología.
La cohomología plana fue introducida por Grothendieck alrededor de 1960. [4]
Sea X un esquema afín . Definimos una cubierta fppf de X como una familia finita y conjuntamente sobreyectiva de morfismos
con cada X afín y cada φ plano , finitamente presentado . Esto genera una pretopología : para X arbitrario, definimos una cubierta fppf de X como una familia
que es una cubierta fppf después de que la base cambia a un subesquema afín abierto de X . Esta pretopología genera una topología llamada topología fppf . (Esta no es la misma que la topología que obtendríamos si comenzáramos con X y X a arbitrarios y tomáramos las familias de cubierta como familias sobreyectivas conjuntas de morfismos planos, finitamente presentados). Escribimos Fppf para la categoría de esquemas con la topología fppf.
El sitio fppf pequeño de X es la categoría O ( X fppf ) cuyos objetos son esquemas U con un morfismo fijo U → X que es parte de alguna familia de cobertura. (Esto no implica que el morfismo sea plano, finitamente presentado.) Los morfismos son morfismos de esquemas compatibles con las funciones fijas de X . El sitio fppf grande de X es la categoría Fppf/X , es decir, la categoría de esquemas con una función fija de X , considerada con la topología fppf.
"Fppf" es una abreviatura de "fidèlement plate de présentation finie", es decir, "fielmente plana y de presentación finita". Toda familia sobreyectiva de morfismos planos y finitamente presentados es una familia de cobertura para esta topología, de ahí el nombre. La definición de la pretopología fppf también se puede dar con una condición adicional de cuasi-finitez; se deduce del Corolario 17.16.2 en EGA IV 4 que esto da la misma topología.
Sea X un esquema afín. Definimos una cubierta fpqc de X como una familia finita y conjuntamente sobreyectiva de morfismos { u α : X α → X } con cada X α afín y cada u α plano . Esto genera una pretopología: Para X arbitrario, definimos una cubierta fpqc de X como una familia { u α : X α → X } que es una cubierta fpqc después de que la base cambia a un subesquema afín abierto de X . Esta pretopología genera una topología llamada topología fpqc . (Esta no es la misma topología que obtendríamos si comenzáramos con X y X α arbitrarios y tomáramos las familias de cubierta como familias conjuntamente sobreyectivas de morfismos planos). Escribimos Fpqc para la categoría de esquemas con la topología fpqc.
El sitio fpqc pequeño de X es la categoría O ( X fpqc ) cuyos objetos son esquemas U con un morfismo fijo U → X que forma parte de alguna familia de cobertura. Los morfismos son morfismos de esquemas compatibles con las funciones fijas de X . El sitio fpqc grande de X es la categoría Fpqc/X , es decir, la categoría de esquemas con una función fija de X , considerada con la topología fpqc.
"Fpqc" es una abreviatura de "fidèlement plate quasi-compacte", es decir, "fielmente plana y cuasi compacta". Toda familia sobreyectiva de morfismos planos y cuasi compactos es una familia de recubrimiento para esta topología, de ahí el nombre.
El procedimiento para definir los grupos de cohomología es el estándar: la cohomología se define como la secuencia de funtores derivados del funtor que toman las secciones de un haz de grupos abelianos .
Si bien estos grupos tienen diversas aplicaciones, en general no son fáciles de calcular, excepto en los casos en que se reducen a otras teorías, como la cohomología étale .
El siguiente ejemplo muestra por qué la "topología fielmente plana" sin ninguna condición de finitud no se comporta bien. Supongamos que X es la línea afín sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k . Para cada punto cerrado x de X podemos considerar el anillo local R x en este punto, que es un anillo de valoración discreto cuyo espectro tiene un punto cerrado y un punto abierto (genérico). Pegamos estos espectros juntos identificando sus puntos abiertos para obtener un esquema Y . Hay una función natural de Y a X . La línea afín X está cubierta por los conjuntos Spec( R x ) que son abiertos en la topología fielmente plana, y cada uno de estos conjuntos tiene una función natural para Y , y estas funciones son las mismas en las intersecciones. Sin embargo, no se pueden combinar para dar una función de X a Y , porque los espacios subyacentes de X e Y tienen diferentes topologías.