estructura t

En la rama de las matemáticas llamada álgebra homológica , una t -estructura es una forma de axiomatizar las propiedades de una subcategoría abeliana de una categoría derivada . Una t -estructura en consiste en dos subcategorías de una categoría triangulada o categoría de infinito estable que abstraen la idea de complejos cuya cohomología se desvanece en grados positivos, respectivamente negativos. Puede haber muchas t -estructuras distintas en la misma categoría, y la interacción entre estas estructuras tiene implicaciones para el álgebra y la geometría. La noción de una t -estructura surgió en el trabajo de Beilinson, Bernstein, Deligne y Gabber sobre haces perversos . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

Definición

Fije una categoría triangulada con functor de traducción . Una t -estructura en es un par de subcategorías completas, cada una de las cuales es estable bajo isomorfismo, que satisfacen los siguientes tres axiomas. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle [1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

1. Si X es un objeto de e Y es un objeto de , entonces ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y[-1])=0.}$
2. Si X es un objeto de , entonces X [1] también es un objeto de . De manera similar, si Y es un objeto de , entonces Y [-1] también es un objeto de . ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$
3. Si A es un objeto de , entonces existe un triángulo distinguido tal que X es un objeto de e Y es un objeto de . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X\to A\to Y[-1]\to X[1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$

Se puede demostrar que las subcategorías y son cerradas bajo extensiones en . En particular, son estables bajo sumas directas finitas. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Supongamos que es una t -estructura en . En este caso, para cualquier entero n , definimos como la subcategoría completa de cuyos objetos tienen la forma , donde es un objeto de . De manera similar, es la subcategoría completa de los objetos , donde es un objeto de . Más brevemente, definimos ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X[-n]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ ${\displaystyle Y[-n]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq n}&={\mathcal {D}}^{\leq 0}[-n],\\{\mathcal {D}}^{\geq n}&={\mathcal {D}}^{\geq 0}[-n].\end{aligned}}}$

Con esta notación, los axiomas anteriores pueden reescribirse como:

1. Si X es un objeto de e Y es un objeto de , entonces ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}\subseteq {\mathcal {D}}^{\leq 1}}$y . ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}\supseteq {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$
3. Si A es un objeto de , entonces existe un triángulo distinguido tal que X es un objeto de e Y es un objeto de . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$

El corazón o núcleo de la estructura t es la subcategoría completa que consiste en objetos contenidos tanto en como , es decir, ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\leq 0}\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0}.}$

El corazón de una estructura t es una categoría abeliana (mientras que una categoría triangulada es aditiva pero casi nunca abeliana) y es estable bajo extensiones.

Una categoría triangulada con una elección de estructura t a veces se denomina t -categoría .

Variaciones

Es evidente que, para definir una t -estructura, basta fijar los números enteros m y n y especificar y . Algunos autores definen una t -estructura como el par . ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})}$

Las dos subcategorías y se determinan mutuamente. Un objeto X está en si y solo si para todos los objetos Y en , y viceversa. Es decir, son complementos ortogonales izquierdo y derecho entre sí. En consecuencia, es suficiente especificar solo uno de y . Además, como estas subcategorías están completas por definición, es suficiente especificar sus objetos. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$

La notación anterior está adaptada al estudio de la cohomología. Cuando el objetivo es estudiar la homología, se utiliza una notación ligeramente diferente. Una t -estructura homológica en es un par tal que, si definimos ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0})}$

${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})=({\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0}),}$

entonces es una t -estructura (cohomológica) en . Es decir, la definición es la misma excepto que los índices superiores se convierten en índices inferiores y los roles de y se intercambian. Si definimos ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \leq }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq n}&={\mathcal {D}}_{\geq 0}[n],\\{\mathcal {D}}_{\leq n}&={\mathcal {D}}_{\leq 0}[n],\end{aligned}}}$

Entonces los axiomas para una t -estructura homológica pueden escribirse explícitamente como

1. Si X es un objeto de e Y es un objeto de , entonces ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq -1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 1}\subseteq {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$y . ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq 1}\supseteq {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$
3. Si A es un objeto de , entonces existe un triángulo distinguido tal que X es un objeto de e Y es un objeto de . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq -1}}$

Ejemplos

Lo naturala-estructura

El ejemplo más fundamental de una t -estructura es la t -estructura natural de una categoría derivada. Sea una categoría abeliana y sea su categoría derivada. Entonces la t -estructura natural está definida por el par de subcategorías ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq 0}&=\{X\colon \forall i>0,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq 0}&=\{X\colon \forall i<0,\ H^{i}(X)=0\}.\end{aligned}}}$

De ello se deduce inmediatamente que

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq n}&=\{X\colon \forall i>n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq n}&=\{X\colon \forall i<n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\heartsuit }&=\{X\colon \forall i\neq 0,\ H^{i}(X)=0\}\cong {\mathcal {A}}.\end{aligned}}}$

En este caso, el tercer axioma para una estructura t , la existencia de un cierto triángulo distinguible, se puede hacer explícito de la siguiente manera. Supongamos que es un complejo de cocadena con valores en . Definir ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }&=(\cdots \to A^{-2}\to A^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to 0\to \cdots ),\\\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }&=(\cdots \to 0\to 0\to A^{0}/\ker d^{0}\to A^{1}\to A^{2}\to \cdots ).\end{aligned}}}$

Está claro que existe una secuencia corta y exacta de complejos. ${\displaystyle \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }=A^{\bullet }/\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }}$

${\displaystyle 0\to \tau ^{\leq 0}A^{\bullet }\to A^{\bullet }\to \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }\to 0.}$

Esta secuencia exacta proporciona el triángulo distinguido requerido.

Este ejemplo se puede generalizar a categorías exactas (en el sentido de Quillen). ^[2] También hay estructuras t similares para las categorías derivadas acotadas, acotadas por encima y acotadas por debajo. Si es una subcategoría abeliana de , entonces la subcategoría completa de que consiste en aquellos complejos cuya cohomología está en tiene una estructura t similar cuyo núcleo es . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D_{\mathcal {C}}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Gavillas perversas

La categoría de haces perversos es, por definición, el núcleo de la denominada t-estructura perversa sobre la categoría derivada de la categoría de haces sobre un espacio analítico complejo X o (trabajando con haces l-ádicos) una variedad algebraica sobre un cuerpo finito. Como se explicó anteriormente, el corazón de la t-estructura estándar simplemente contiene haces ordinarios, considerados como complejos concentrados en grado 0. Por ejemplo, la categoría de haces perversos sobre una curva algebraica X (posiblemente singular) (o análogamente una superficie posiblemente singular) está diseñada de modo que contenga, en particular, objetos de la forma

${\displaystyle i_{*}F_{Z},j_{*}F_{U}[1]}$

donde es la inclusión de un punto, es un haz ordinario, es un subesquema abierto suave y es un haz localmente constante en U . Nótese la presencia del desplazamiento según la dimensión de Z y U respectivamente. Este desplazamiento hace que la categoría de haces perversos se comporte bien en espacios singulares. Los objetos simples en esta categoría son los haces de cohomología de intersección de subvariedades con coeficientes en un sistema local irreducible. Esta t-estructura fue introducida por Beilinson, Bernstein y Deligne. ^[4] Beilinson demostró que la categoría derivada del corazón es de hecho equivalente a la categoría derivada original de haces. Este es un ejemplo del hecho general de que una categoría triangulada puede estar dotada de varias t-estructuras distintas. ^[5] ${\displaystyle i:Z\to X}$ ${\displaystyle F_{Z}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F_{U}}$ ${\displaystyle D^{b}(Perv(X))}$

Módulos graduados

Un ejemplo no estándar de una estructura t en la categoría derivada de módulos (graduados) sobre un anillo graduado tiene la propiedad de que su núcleo consiste en complejos

${\displaystyle \dots \to P^{n}\to P^{n+1}\to \dots }$

donde es un módulo generado por su grado (graduado) n . Esta t-estructura llamada t-estructura geométrica juega un papel destacado en la dualidad de Koszul . ^[6] ${\displaystyle P^{n}}$

Espectros

La categoría de espectros está dotada de una estructura t generada, en el sentido anterior, por un único objeto, a saber, el espectro de esferas . La categoría es la categoría de espectros conectivos, es decir, aquellos cuyos grupos de homotopía negativos se anulan. (En áreas relacionadas con la teoría de la homotopía, es común utilizar convenciones homológicas, en oposición a las cohomológicas, por lo que en este caso es común reemplazar " " (superíndice) por " " (subíndice). Usando esta convención, la categoría de espectros conectivos se denota como .) ${\displaystyle Sp^{\leq 0}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle Sp_{\geq 0}}$

Motivos

Un ejemplo conjetural en la teoría de motivos es la llamada estructura t motívica . Su existencia (conjetural) está estrechamente relacionada con ciertas conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos y conjeturas de desaparición, como la conjetura de Beilinson-Soulé. ^[7]

Funciones de truncamiento

En el ejemplo anterior de la estructura t natural en la categoría derivada de una categoría abeliana, el triángulo distinguido garantizado por el tercer axioma se construyó por truncamiento. Como operaciones en la categoría de complejos, los truncamientos y son funtores, y la secuencia corta exacta resultante de complejos es natural en . Utilizando esto, se puede demostrar que hay funtores de truncamiento en la categoría derivada y que inducen un triángulo distinguido natural. ${\displaystyle \tau _{\leq 0}A^{\bullet }}$ ${\displaystyle \tau _{\geq 1}A^{\bullet }}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$

De hecho, este es un ejemplo de un fenómeno general. Si bien los axiomas para una estructura t no suponen la existencia de funtores de truncamiento, dichos funtores siempre se pueden construir y son esencialmente únicos. Supongamos que es una categoría triangulada y que es una estructura t . La afirmación precisa es que los funtores de inclusión ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\leq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\geq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$

Admite adjuntos . Estos son funtores.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\geq n}\end{aligned}}}$

de tal manera que

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\dashv \tau ^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\dashv \iota ^{\geq n}.\end{aligned}}}$

Además, para cualquier objeto de , existe un único ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle d\in \operatorname {Hom} ^{1}(\tau ^{\geq 1}A,\tau ^{\leq 0}A)}$

de modo que d y la counidad y unidad de las adjunciones definen juntas un triángulo distinguido

${\displaystyle \tau ^{\leq 0}A\to A\to \tau ^{\geq 1}A\ {\stackrel {d}{\to }}\ \tau ^{\leq 0}A[1].}$

Hasta el isomorfismo único, este es el único triángulo distinguible de la forma con y objetos de y , respectivamente. De la existencia de este triángulo se sigue que un objeto se encuentra en (resp. ) si y solo si (resp. ). ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ ${\displaystyle \tau ^{\geq n+1}(A)=0}$ ${\displaystyle \tau ^{\leq n-1}(A)=0}$

La existencia de implica la existencia de los otros funtores de truncamiento al desplazarse y tomar categorías opuestas. Si es un objeto de , el tercer axioma para una t -estructura afirma la existencia de un en y un morfismo que encaja en un cierto triángulo distinguido. Para cada , fije uno de esos triángulos y defina . Los axiomas para una t -estructura implican que, para cualquier objeto de , tenemos ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle X\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}(A)=X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,X)\cong \operatorname {Hom} (T,A),}$

con el isomorfismo inducido por el morfismo . Esto se muestra como una solución a un cierto problema de mapeo universal. Los resultados estándar sobre funtores adjuntos ahora implican que es único hasta un isomorfismo único y que hay una forma única de definir sobre morfismos que lo convierte en un adjunto derecho. Esto prueba la existencia de y, por lo tanto, la existencia de todos los funtores de truncamiento. ${\displaystyle X\to A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$ ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$

El truncamiento repetido de una estructura t se comporta de manera similar al truncamiento repetido de complejos. Si , entonces hay transformaciones naturales ${\displaystyle n\leq m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}&\to \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq n}&\to \tau ^{\geq m},\end{aligned}}}$

que producen equivalencias naturales

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq n}\circ \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\geq m}\circ \tau ^{\geq n},\\\tau ^{\geq n}\circ \tau ^{\leq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq m}\circ \tau ^{\geq n}.\end{aligned}}}$

Functores de cohomología

El n- ésimo funtor de cohomología se define como ${\displaystyle H^{n}}$

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\leq 0}\circ \tau ^{\geq 0}\circ [n].}$

Como sugiere el nombre, se trata de un funtor cohomológico en el sentido habitual de una categoría triangulada. Es decir, para cualquier triángulo distinguido , obtenemos una secuencia larga y exacta ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots .}$

En aplicaciones a la topología algebraica, los funtores de cohomología pueden denotarse en lugar de . Los funtores de cohomología toman valores en el corazón . Por una de las identidades de truncamiento repetidas anteriores, hasta la equivalencia natural es equivalente a definir ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\geq 0}\circ \tau ^{\leq 0}\circ [n].}$

Para la estructura t natural en una categoría derivada , el funtor de cohomología es, salvo cuasi-isomorfismo, el grupo de cohomología n- ésimo habitual de un complejo. Sin embargo, si se considera como funtores en complejos, esto no es cierto. Consideremos, por ejemplo, como se define en términos de la estructura t natural. Por definición, esto es ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle H^{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(A^{\bullet })&=\tau ^{\leq 0}(\tau ^{\geq 0}(A^{\bullet }))\\&=\tau ^{\leq 0}(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to A^{0}\to A^{1}\to \cdots )\\&=(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to \cdots ).\end{aligned}}}$

Este complejo no es cero en grados y , por lo que claramente no es el mismo que el grupo de cohomología cero del complejo . Sin embargo, la diferencial no trivial es una inyección, por lo que la única cohomología no trivial está en grado , donde es , el grupo de cohomología cero del complejo . De ello se deduce que las dos posibles definiciones de son cuasi-isomorfas. ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \ker d^{0}/\operatorname {im} d^{-1}}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle H^{0}(A^{\bullet })}$

Una t -estructura no es degenerada si la intersección de todos los , así como la intersección de todos los , consiste únicamente en cero objetos. Para una t -estructura no degenerada, la colección de funtores es conservativa. Además, en este caso, (resp. ) puede identificarse con la subcategoría completa de aquellos objetos para los que ( resp. ). ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ ${\displaystyle \{H^{n}\}_{n\in \mathbf {Z} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H^{i}(A)=0}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle i<n}$

Funtores exactos

Para , sea una categoría triangulada con una t -estructura fija . Supongamos que es un funtor exacto (en el sentido habitual para categorías trianguladas, es decir, hasta una equivalencia natural conmuta con la traslación y conserva los triángulos distinguidos). Entonces es: ${\displaystyle i=1,2}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{i}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{i}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}_{1}\to {\mathcal {D}}_{2}}$ ${\displaystyle F}$

• T -exacto a la izquierda si , ${\displaystyle F({\mathcal {D}}_{1}^{\geq 0})\subseteq {\mathcal {D}}_{2}^{\geq 0}}$
• T -exacto correcto si , y ${\displaystyle F({\mathcal {D}}_{1}^{\leq 0})\subseteq {\mathcal {D}}_{2}^{\leq 0}}$
• t -exacto si es tanto izquierdo como derecho t -exacto.

Es elemental ver que si es completamente fiel y t -exacto, entonces un objeto de está en (resp. ) si y solo si está en (resp. ). También es elemental ver que si es otro funtor t -exacto por la izquierda (resp. por la derecha) , entonces el compuesto también es t -exacto por la izquierda (resp. por la derecha). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\geq 0}}$ ${\displaystyle FA}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}^{\geq 0}}$ ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{2}\to {\mathcal {D}}_{3}}$ ${\displaystyle G\circ F}$

La motivación para el estudio de las propiedades de t -exactitud unilateral es que conducen a propiedades de exactitud unilateral en corazones. Sea la inclusión. Entonces hay un funtor compuesto ${\displaystyle \iota _{i}^{\heartsuit }\colon {\mathcal {D}}_{i}^{\heartsuit }\to {\mathcal {D}}_{i}}$

${\displaystyle {}^{p}F=H^{0}\circ F\circ \iota _{1}^{\heartsuit }\colon {\mathcal {D}}_{1}^{\heartsuit }\to {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit }.}$

Se puede demostrar que si es exacto a la izquierda (resp. a la derecha), entonces también es exacto a la izquierda (resp. a la derecha), y que si también es exacto a la izquierda (resp. a la derecha), entonces . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{p}F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{p}(G\circ F)=({}^{p}G)\circ ({}^{p}F)}$

Si es t -exacto a la derecha (resp. a la izquierda), y si es en (resp. ), entonces hay un isomorfismo natural (resp. ). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$ ${\displaystyle {}^{p}F(H^{0}A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ H^{0}F(A)}$ ${\displaystyle H^{0}F(A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ {}^{p}F(H^{0}A)}$

Si son funtores exactos con adjunto izquierdo a , entonces es t -exacto por la derecha si y sólo si es t -exacto por la izquierda, y en este caso, son un par de funtores adjuntos . ${\displaystyle (T^{*},T_{*})\colon {\mathcal {D}}_{1}\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle ({}^{p}T^{*},{}^{p}T_{*})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\heartsuit }\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit }}$

Construcciones dea-estructuras

Sea una t -estructura en . Si n es un entero, entonces la traducción por n t -estructura es . La t -estructura dual es la t -estructura en la categoría opuesta definida por . ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq n},{\mathcal {D}}^{\geq n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\text{op}}}$ ${\displaystyle (({\mathcal {D}}^{\geq 0})^{\text{op}},({\mathcal {D}}^{\leq 0})^{\text{op}})}$

Sea una subcategoría triangulada de una categoría triangulada . Si es una t -estructura en , entonces ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle (({\mathcal {D}}')^{\leq 0},({\mathcal {D}}')^{\geq 0})=({\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

es una t -estructura en si y solo si es estable bajo el funtor de truncamiento . Cuando se cumple esta condición, la t -estructura se denomina t -estructura inducida . Los funtores de truncamiento y cohomología para la t -estructura inducida son la restricción a de aquellos en . En consecuencia, la inclusión de en es t -exacta y . ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$ ${\displaystyle (({\mathcal {D}}')^{\leq 0},({\mathcal {D}}')^{\geq 0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}')^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\heartsuit }\cap {\mathcal {D}}'}$

Para construir la categoría de haces perversos, es importante poder definir una t -estructura sobre una categoría de haces sobre un espacio trabajando localmente en ese espacio. Las condiciones precisas necesarias para que esto sea posible pueden abstraerse un poco en la siguiente configuración. Supongamos que hay tres categorías trianguladas y dos morfismos

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}\ {\stackrel {i_{*}}{\to }}\ {\mathcal {D}}\ {\stackrel {j^{*}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{U}}$

satisfaciendo las siguientes propiedades.

• Hay dos secuencias de triples de funtores adjuntos y . ${\displaystyle (j_{!},j^{*},j_{*})}$ ${\displaystyle (i^{*},i_{*},i^{!})}$
• Los funtores , , y son completos y fieles, y satisfacen . ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle j_{!}}$ ${\displaystyle j^{*}}$ ${\displaystyle j^{*}i_{*}=0}$
• Hay diferenciales únicos que forman, para cada K en , triángulos exactos ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{!}j^{*}K&\to K\to i_{*}i^{*}K\to j_{!}j^{*}K[1],\\i_{*}i^{!}K&\to K\to j_{*}j^{*}K\to i_{*}i^{!}K[1].\end{aligned}}}$

En este caso, dadas las t -estructuras y en y , respectivamente, existe una t -estructura en definida por ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},\ i^{*}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0}\},\\{\mathcal {D}}^{\geq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0},\ i^{!}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0}\}.\end{aligned}}}$

Se dice que esta t -estructura es la unión de las t -estructuras en U y F . Los casos de uso previstos son cuando , , y están acotados por debajo de categorías derivadas de haces en un espacio X , un subconjunto abierto U y el complemento cerrado F de U . Los funtores y son los funtores de retroceso y avance habituales. Esto funciona, en particular, cuando los haces en cuestión son módulos de izquierda sobre un haz de anillos en X y cuando los haces son haces ℓ-ádicos. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}}$ ${\displaystyle j^{*}}$ ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Muchas t-estructuras surgen por medio del siguiente hecho: en una categoría triangulada con sumas directas arbitrarias , y un conjunto de objetos compactos en , las subcategorías ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\geq 1}&=\{X\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (S_{0}[-n],X)=0,n\geq 0\},\\{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{Y\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (Y,{\mathcal {D}}^{\geq 1})=0\},\end{aligned}}}$

se puede demostrar que es una estructura t. ^[8] Se dice que la estructura t resultante se genera mediante ${\displaystyle S_{0}}$ .

Dada una subcategoría abeliana de una categoría triangulada , es posible construir una subcategoría de y una t -estructura sobre esa subcategoría cuyo corazón es . ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Sobre categorías ∞ estables

La teoría elemental de las t -estructuras se traslada al caso de las ∞-categorías con pocos cambios. Sea una ∞-categoría estable. Una t -estructura en se define como una t -estructura en su categoría de homotopía (que es una categoría triangulada). Una t -estructura en una ∞-categoría se puede notar de forma homológica o cohomológica, tal como en el caso de una categoría triangulada. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$

Supongamos que es una ∞-categoría con categoría de homotopía y que es una t -estructura en . Entonces, para cada entero n , definimos y como las subcategorías completas de abarcadas por los objetos en y , respectivamente. Definir ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq 0},\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq 0})}$ ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq n}}$ ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\geq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\leq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$

ser los funtores de inclusión. Al igual que en el caso de una categoría triangulada, estos admiten un adjunto derecho y uno izquierdo, respectivamente, los funtores de truncamiento

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\geq n},\\\tau _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\leq n}\end{aligned}}}$

Estos funtores satisfacen las mismas identidades de truncamiento repetidas que en el caso de la categoría triangulada.

El corazón de una t -estructura en se define como la ∞-subcategoría . La categoría es equivalente al nervio de su categoría de homotopía . El funtor de cohomología se define como , o equivalentemente . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}_{\geq 0}\cap {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$ ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \tau _{\geq 0}\circ \tau _{\leq 0}\circ [-n]}$ ${\displaystyle \tau _{\leq 0}\circ \tau _{\geq 0}\circ [-n]}$

La existencia de significa que es, por definición, un funtor de localización. De hecho, existe una biyección entre las t -estructuras en y ciertos tipos de funtores de localización llamados t -localizaciones . Se trata de funtores de localización L cuya imagen esencial está cerrada bajo extensión, lo que significa que si es una secuencia de fibras con X y Z en la imagen esencial de L , entonces Y también está en la imagen esencial de L . Dado un funtor de localización L de este tipo, la t -estructura correspondiente se define por ${\displaystyle \tau _{\leq n}}$ ${\displaystyle \iota _{\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X\to Y\to Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq 0}&=\{A\colon LA\simeq 0\},\\{\mathcal {D}}_{\leq -1}&=\{A\colon LA\simeq A\}.\end{aligned}}}$

Los funtores de localización t también pueden caracterizarse en términos de los morfismos f para los cuales Lf es una equivalencia. Un conjunto de morfismos S en una ∞-categoría es cuasisaturado si contiene todas las equivalencias, si cualquier 2-símplex en con dos de sus aristas no degeneradas en S tiene su tercera arista no degenerada en S , y si es estable bajo pushouts. Si es un funtor de localización, entonces el conjunto S de todos los morfismos f para los cuales Lf es una equivalencia es cuasisaturado. Entonces L es un funtor de localización t si y solo si S es el conjunto cuasisaturado más pequeño de morfismos que contiene todos los morfismos . ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle L\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \{0\to X\colon LX\simeq 0\}}$

La categoría derivada de una categoría abeliana tiene varias subcategorías correspondientes a diferentes condiciones de acotación. Una estructura t en una categoría ∞ estable se puede utilizar para construir subcategorías similares. Específicamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{+}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {D}}_{\leq n},\\{\mathcal {D}}_{-}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {D}}_{\geq n},\\{\mathcal {D}}_{b}&={\mathcal {D}}_{+}\cap {\mathcal {D}}_{-}.\end{aligned}}}$

Estas son subcategorías estables de . Se dice que está acotada por la izquierda (con respecto a la t -estructura dada) si , acotada por la derecha si , y acotada si . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{b}}$

También es posible formar una completitud izquierda o derecha con respecto a una t -estructura. Esto es análogo a la unión formal de límites dirigidos o colimites dirigidos. La completitud izquierda de es el límite de homotopía del diagrama. ${\displaystyle {\hat {\mathcal {D}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {D}}_{\leq 2}\ {\stackrel {\tau _{\leq 1}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 1}\ {\stackrel {\tau _{\leq 0}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 0}\ {\stackrel {\tau _{\leq -1}}{\to }}\ \cdots .}$

La completitud derecha se define dualmente. Las completitudes izquierda y derecha son en sí mismas ∞-categorías estables que heredan una estructura t canónica . Existe una función canónica de a cualquiera de sus completitudes, y esta función es t -exacta. Decimos que es completa a la izquierda o completa a la derecha si la función canónica a su completitud izquierda o derecha, respectivamente, es una equivalencia. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Conceptos relacionados

Si el requisito , se sustituye por la inclusión opuesta ${\displaystyle D^{\leq 0}\subset D^{\leq 1}}$ ${\displaystyle D^{\geq 1}\subset D^{\geq 0};}$

${\displaystyle D^{\leq 0}\supset D^{\leq 1}}$, ${\displaystyle D^{\geq 1}\supset D^{\geq 0},}$

y los otros dos axiomas se mantienen iguales, la noción resultante se llama co-t-estructura o estructura de peso . ^[11]

Referencias

1. Beĭlinson, AA; Bernstein, J.; Deligne, P. Faisceaux pervertidos. Análisis y topología de espacios singulares, I (Luminy, 1981), 5–171, Astérisque, 100, Soc. Matemáticas. Francia, París, 1982.
2. Beilinson, Bernstein y Deligne, 1.3.22.
3. Beilinson, Bernstein y Deligne, pág. 13.
4. Beĭlinson, AA; Bernstein, J.; Deligne, P. Faisceaux pervertidos. Análisis y topología de espacios singulares, I (Luminy, 1981), 5–171, Astérisque, 100, Soc. Matemáticas. Francia, París, 1982.
5. Beĭlinson, AA Sobre la categoría derivada de haces perversos. K-teoría, aritmética y geometría (Moscú, 1984-1986), 27-41, Lecture Notes in Math., 1289, Springer, Berlín, 1987.
6. Beilinson, Alexander; Ginzburg, Victor; Soergel, Wolfgang. Patrones de dualidad de Koszul en la teoría de la representación. J. Amer. Math. Soc. 9 (1996), núm. 2, 473–527.
7. Hanamura, Masaki. Motivos mixtos y ciclos algebraicos. III. Matemáticas. Res. Letón. 6 (1999), núm. 1, 61–82.
8. Beligiannis, Apostolos; Reiten, Idun. Aspectos homológicos y homotópicos de las teorías de torsión. Mem. Amer. Math. Soc. 188 (2007), n.º 883, viii+207 págs. Teorema III.2.3
9. Beilinson, Bernstein y Deligne, proposición 1.3.13.
10. Lurie, Álgebra superior , proposición 1.2.1.16.
11. Bondarko, MV Estructuras ponderales frente a estructuras t; filtraciones ponderales, secuencias espectrales y complejos (para motivos y en general). J. K-Theory 6 (2010), n.º 3, 387–504.