estructura t

En la rama de las matemáticas llamada álgebra homológica , una estructura t es una forma de axiomatizar las propiedades de una subcategoría abeliana de una categoría derivada . Una estructura t consta de dos subcategorías de una categoría triangulada o categoría infinita estable que abstraen la idea de complejos cuya cohomología desaparece en grados positivos, respectivamente negativos. Puede haber muchas estructuras t distintas en la misma categoría, y la interacción entre estas estructuras tiene implicaciones para el álgebra y la geometría. La noción de estructura en T surgió en el trabajo de Beilinson, Bernstein, Deligne y Gabber sobre gavillas perversas . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

Definición

Arreglar una categoría triangulada con funtor de traducción . Una estructura t es un par de subcategorías completas, cada una de las cuales es estable bajo isomorfismo, que satisfacen los tres axiomas siguientes. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle [1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

1. Si X es un objeto de e Y es un objeto de , entonces ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y[-1])=0.}$
2. Si X es un objeto de , entonces X [1] también es un objeto de . De manera similar, si Y es un objeto de , entonces Y [-1] también es un objeto de . ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$
3. Si A es un objeto de , entonces existe un triángulo distinguido tal que X es un objeto de e Y es un objeto de . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X\to A\to Y[-1]\to X[1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$

Se puede demostrar que las subcategorías y están cerradas bajo extensiones en . En particular, son estables bajo sumas directas finitas. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Supongamos que es una estructura t en . En este caso, para cualquier número entero n , definimos como la subcategoría completa cuyos objetos tienen la forma , donde es un objeto de . De manera similar, es la subcategoría completa de objetos , donde es un objeto de . Más brevemente, definimos ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X[-n]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ ${\displaystyle Y[-n]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq n}&={\mathcal {D}}^{\leq 0}[-n],\\{\mathcal {D}}^{\geq n}&={\mathcal {D}}^{\geq 0}[-n].\end{aligned}}}$

Con esta notación, los axiomas anteriores se pueden reescribir como:

1. Si X es un objeto de e Y es un objeto de , entonces ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}\subseteq {\mathcal {D}}^{\leq 1}}$y . ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}\supseteq {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$
3. Si A es un objeto de , entonces existe un triángulo distinguido tal que X es un objeto de e Y es un objeto de . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$

El corazón o núcleo de la estructura t es la subcategoría completa que consta de objetos contenidos en ambos y , es decir, ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\leq 0}\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0}.}$

El corazón de una estructura t es una categoría abeliana (mientras que una categoría triangulada es aditiva pero casi nunca abeliana) y es estable bajo extensiones.

Una categoría triangulada con una opción de estructura t a veces se denomina categoría t .

Variaciones

Está claro que, para definir una estructura t , basta con fijar los números enteros myn y especificar y . Algunos autores definen una estructura t como el par . ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})}$

Las dos subcategorías se determinan entre sí. Un objeto X está en si y sólo si para todos los objetos Y en y viceversa. Es decir, son complementos ortogonales izquierdo y derecho entre sí. En consecuencia, basta con especificar sólo uno de y . Además, como estas subcategorías están completas por definición, basta con especificar sus objetos. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$

La notación anterior está adaptada al estudio de la cohomología. Cuando el objetivo es estudiar la homología, se utiliza una notación ligeramente diferente. Una estructura t homológica es un par tal que, si definimos ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0})}$

${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})=({\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0}),}$

entonces hay una estructura t (cohomológica) en . Es decir, la definición es la misma excepto que los índices superiores se convierten en índices inferiores y las funciones de y se intercambian. si definimos ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \leq }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq n}&={\mathcal {D}}_{\geq 0}[n],\\{\mathcal {D}}_{\leq n}&={\mathcal {D}}_{\leq 0}[n],\end{aligned}}}$

entonces los axiomas para una estructura t homológica pueden escribirse explícitamente como

1. Si X es un objeto de e Y es un objeto de , entonces ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq -1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 1}\subseteq {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$y . ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq 1}\supseteq {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$
3. Si A es un objeto de , entonces existe un triángulo distinguido tal que X es un objeto de e Y es un objeto de . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq -1}}$

Ejemplos

La estructura T natural

El ejemplo más fundamental de una estructura t es la estructura t natural en una categoría derivada. Sea una categoría abeliana y sea su categoría derivada. Entonces la estructura t natural está definida por el par de subcategorías ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq 0}&=\{X\colon \forall i>0,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq 0}&=\{X\colon \forall i<0,\ H^{i}(X)=0\}.\end{aligned}}}$

Se deduce inmediatamente que

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq n}&=\{X\colon \forall i>n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq n}&=\{X\colon \forall i<n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\heartsuit }&=\{X\colon \forall i\neq 0,\ H^{i}(X)=0\}\cong {\mathcal {A}}.\end{aligned}}}$

En este caso, el tercer axioma de una estructura t , la existencia de cierto triángulo distinguido, puede hacerse explícito de la siguiente manera. Supongamos que es un complejo de cocadenas con valores en . Definir ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }&=(\cdots \to A^{-2}\to A^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to 0\to \cdots ),\\\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }&=(\cdots \to 0\to 0\to A^{0}/\ker d^{0}\to A^{1}\to A^{2}\to \cdots ).\end{aligned}}}$

Está claro que y que existe una secuencia corta y exacta de complejos. ${\displaystyle \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }=A^{\bullet }/\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }}$

${\displaystyle 0\to \tau ^{\leq 0}A^{\bullet }\to A^{\bullet }\to \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }\to 0.}$

Esta secuencia exacta proporciona el triángulo distinguido requerido.

Este ejemplo se puede generalizar a categorías exactas (en el sentido de Quillen). ^[2] También hay estructuras t similares para las categorías derivadas acotadas, acotadas arriba y acotadas abajo. Si es una subcategoría abeliana de , entonces la subcategoría completa de que consta de aquellos complejos cuya cohomología está en tiene una estructura t similar cuyo corazón es . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D_{\mathcal {C}}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

gavillas perversas

La categoría de haces perversos es, por definición, el núcleo de la llamada estructura t perversa en la categoría derivada de la categoría de haces en un espacio analítico complejo X o (trabajando con haces l-ádicos) una variedad algebraica sobre un campo finito. Como se explicó anteriormente, el corazón de la estructura t estándar simplemente contiene gavillas ordinarias, consideradas como complejos concentrados en grado 0. Por ejemplo, la categoría de gavillas perversas en una curva algebraica (posiblemente singular) X (o de manera análoga una superficie posiblemente singular ) está diseñado para que contenga, en particular, objetos de la forma

${\displaystyle i_{*}F_{Z},j_{*}F_{U}[1]}$

donde es la inclusión de un punto, es un haz ordinario, es un subesquema abierto suave y es un haz localmente constante en U. Nótese la presencia del desplazamiento según la dimensión de Z y U respectivamente. Este cambio hace que la categoría de gavillas perversas se comporte bien en espacios singulares. Los objetos simples en esta categoría son los haces de cohomología de intersección de subvariedades con coeficientes en un sistema local irreducible. Esta estructura en T fue introducida por Beilinson, Bernstein y Deligne. ^[4] Beilinson demostró que la categoría derivada del corazón es de hecho equivalente a la categoría derivada original de las gavillas. Este es un ejemplo del hecho general de que una categoría triangulada puede estar dotada de varias estructuras t distintas. ^[5] ${\displaystyle i:Z\to X}$ ${\displaystyle F_{Z}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F_{U}}$ ${\displaystyle D^{b}(Perv(X))}$

Módulos graduados

Un ejemplo no estándar de una estructura en T en la categoría derivada de módulos (graduados) sobre un anillo graduado tiene la propiedad de que su corazón consta de complejos.

${\displaystyle \dots \to P^{n}\to P^{n+1}\to \dots }$

donde es un módulo generado por su grado (graduado) n . Esta estructura en T llamada estructura en T geométrica juega un papel destacado en la dualidad de Koszul . ^[6] ${\displaystyle P^{n}}$

Espectros

La categoría de espectros está dotada de una estructura t generada, en el sentido anterior, por un solo objeto, a saber, el espectro de esfera . La categoría es la categoría de espectros conectivos, es decir, aquellos cuyos grupos de homotopía negativos desaparecen. (En áreas relacionadas con la teoría de la homotopía, es común utilizar convenciones homológicas, en contraposición a las cohomológicas, por lo que en este caso es común reemplazar " " (superíndice) por " " (subíndice). Usando esta convención, la categoría de los espectros conectivos se denotan como .) ${\displaystyle Sp^{\leq 0}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle Sp_{\geq 0}}$

Motivos

Un ejemplo conjetural en la teoría de los motivos es la llamada estructura t motívica . Su existencia (conjetural) está estrechamente relacionada con ciertas conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos y conjeturas de fuga, como la conjetura de Beilinson-Soulé. ^[7]

Funtores de truncamiento

En el ejemplo anterior de la estructura t natural en la categoría derivada de una categoría abeliana, el triángulo distinguido garantizado por el tercer axioma se construyó mediante truncamiento. Como operaciones en la categoría de complejos, los truncamientos y son funtoriales, y la secuencia corta exacta resultante de complejos es natural en . Usando esto, se puede demostrar que existen funtores de truncamiento en la categoría derivada y que inducen un triángulo distinguido natural. ${\displaystyle \tau _{\leq 0}A^{\bullet }}$ ${\displaystyle \tau _{\geq 1}A^{\bullet }}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$

De hecho, este es un ejemplo de un fenómeno general. Si bien los axiomas de una estructura t no suponen la existencia de functores de truncamiento, dichos functores siempre se pueden construir y son esencialmente únicos. Supongamos que es una categoría triangulada y que es una estructura t . La afirmación precisa es que los funtores de inclusión ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\leq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\geq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$

admitir adjuntos . Estos son funtores

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\geq n}\end{aligned}}}$

tal que

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\dashv \tau ^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\dashv \iota ^{\geq n}.\end{aligned}}}$

Además, para cualquier objeto de , existe un único ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle d\in \operatorname {Hom} ^{1}(\tau ^{\geq 1}A,\tau ^{\leq 0}A)}$

tal que d y la unidad y la unidad de las conjunciones juntas definen un triángulo distinguido

${\displaystyle \tau ^{\leq 0}A\to A\to \tau ^{\geq 1}A\ {\stackrel {d}{\to }}\ \tau ^{\leq 0}A[1].}$

Hasta el isomorfismo único, este es el único triángulo distinguido de la forma con y objetos de y , respectivamente. De la existencia de este triángulo se deduce que un objeto se encuentra en (resp. ) si y sólo si (resp. ). ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ ${\displaystyle \tau ^{\geq n+1}(A)=0}$ ${\displaystyle \tau ^{\leq n-1}(A)=0}$

La existencia de implica la existencia de otros functores de truncamiento al cambiar y tomar categorías opuestas. Si es un objeto de , el tercer axioma para una estructura t afirma la existencia de un in y un morfismo que encajan en un determinado triángulo distinguido. Para cada uno , arregle uno de esos triángulos y defina . Los axiomas para una estructura t implican que, para cualquier objeto de , tenemos ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle X\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}(A)=X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,X)\cong \operatorname {Hom} (T,A),}$

siendo el isomorfismo inducido por el morfismo . Esto se presenta como una solución a cierto problema de mapeo universal. Los resultados estándar sobre funtores adjuntos ahora implican que es único hasta un isomorfismo único y que existe una forma única de definir morfismos que lo convierte en un adjunto correcto. Esto prueba la existencia y, por tanto, la existencia de todos los functores de truncamiento. ${\displaystyle X\to A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$ ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$

El truncamiento repetido de una estructura t se comporta de manera similar al truncamiento repetido de complejos. Si , entonces hay transformaciones naturales. ${\displaystyle n\leq m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}&\to \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq n}&\to \tau ^{\geq m},\end{aligned}}}$

que producen equivalencias naturales

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq n}\circ \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\geq m}\circ \tau ^{\geq n},\\\tau ^{\geq n}\circ \tau ^{\leq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq m}\circ \tau ^{\geq n}.\end{aligned}}}$

Funtores de cohomología

El enésimo functor de cohomología se define como ${\displaystyle H^{n}}$

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\leq 0}\circ \tau ^{\geq 0}\circ [n].}$

Como sugiere el nombre, este es un funtor cohomológico en el sentido habitual de una categoría triangulada. Es decir, para cualquier triángulo distinguido , obtenemos una secuencia larga y exacta ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots .}$

En aplicaciones a la topología algebraica, los functores de cohomología pueden indicarse en lugar de . Los functores de cohomología toman valores en el corazón . Por una de las identidades de truncamiento repetidas anteriores, hasta la equivalencia natural es equivalente a definir ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\geq 0}\circ \tau ^{\leq 0}\circ [n].}$

Para la estructura t natural en una categoría derivada , el functor de cohomología es, hasta el cuasi-isomorfismo, el n- ésimo grupo de cohomología habitual de un complejo. Sin embargo, considerados como functores en complejos, esto no es cierto. Consideremos, por ejemplo, lo que se define en términos de la estructura t natural . Por definición, esto es ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle H^{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(A^{\bullet })&=\tau ^{\leq 0}(\tau ^{\geq 0}(A^{\bullet }))\\&=\tau ^{\leq 0}(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to A^{0}\to A^{1}\to \cdots )\\&=(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to \cdots ).\end{aligned}}}$

Este complejo es distinto de cero en grados y , por lo que claramente no es lo mismo que el grupo de cohomología cero del complejo . Sin embargo, el diferencial no trivial es una inyección, por lo que la única cohomología no trivial está en grado , donde es el grupo de cohomología cero del complejo . De ello se deduce que las dos definiciones posibles de son cuasiisomorfas. ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \ker d^{0}/\operatorname {im} d^{-1}}$ ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle H^{0}(A^{\bullet })}$

Una estructura t no es degenerada si la intersección de all , así como la intersección de all , consta únicamente de cero objetos. Para una estructura t no degenerada , la colección de funtores es conservadora. Además, en este caso, (resp. ) puede identificarse con la subcategoría completa de aquellos objetos para los cuales (resp. ). ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ ${\displaystyle \{H^{n}\}_{n\in \mathbf {Z} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H^{i}(A)=0}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle i<n}$

Funtores exactos

Porque , sea una categoría triangulada con una estructura t fija . Supongamos que es un functor exacto (en el sentido habitual para categorías trianguladas, es decir, hasta una equivalencia natural conmuta con la traducción y conserva triángulos distinguidos). Entonces es: ${\displaystyle i=1,2}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{i}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{i}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}_{1}\to {\mathcal {D}}_{2}}$ ${\displaystyle F}$

• Izquierda t -exacta si , ${\displaystyle F({\mathcal {D}}_{1}^{\geq 0})\subseteq {\mathcal {D}}_{2}^{\geq 0}}$
• Derecho t -exacto si , y ${\displaystyle F({\mathcal {D}}_{1}^{\leq 0})\subseteq {\mathcal {D}}_{2}^{\leq 0}}$
• t -exacto si es tanto izquierdo como derecho t -exacto.

Es elemental ver que si es totalmente fiel y t -exacto, entonces un objeto de está en (resp. ) si y sólo si está en (resp. ). También es elemental ver que si hay otro funtor t -exacto izquierdo (o derecho) , entonces el compuesto también es t -exacto izquierdo (o derecho). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\geq 0}}$ ${\displaystyle FA}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}^{\geq 0}}$ ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{2}\to {\mathcal {D}}_{3}}$ ${\displaystyle G\circ F}$

La motivación para el estudio de las propiedades de exactitud t unilateral es que conducen a propiedades de exactitud unilateral en los corazones. Sea la inclusión. Entonces hay un funtor compuesto. ${\displaystyle \iota _{i}^{\heartsuit }\colon {\mathcal {D}}_{i}^{\heartsuit }\to {\mathcal {D}}_{i}}$

${\displaystyle {}^{p}F=H^{0}\circ F\circ \iota _{1}^{\heartsuit }\colon {\mathcal {D}}_{1}^{\heartsuit }\to {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit }.}$

Se puede demostrar que si es exacto a la izquierda (o a la derecha), entonces también es exacto a la izquierda (o a la derecha), y que si también es exacto a la izquierda (o a la derecha), entonces . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{p}F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{p}(G\circ F)=({}^{p}G)\circ ({}^{p}F)}$

Si es derecha (resp. izquierda) t -exacta, y si está en (resp. ), entonces hay un isomorfismo natural (resp. ). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$ ${\displaystyle {}^{p}F(H^{0}A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ H^{0}F(A)}$ ${\displaystyle H^{0}F(A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ {}^{p}F(H^{0}A)}$

Si hay funtores exactos con adjunto izquierdo a , entonces es t exacto derecho si y solo si es t exacto izquierdo y, en este caso, son un par de functores adjuntos . ${\displaystyle (T^{*},T_{*})\colon {\mathcal {D}}_{1}\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T_{*}}$ ${\displaystyle ({}^{p}T^{*},{}^{p}T_{*})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\heartsuit }\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit }}$

Construcciones de estructuras t .

Sea una estructura t en . Si n es un número entero, entonces la traducción por n t -estructura es . La estructura t dual es la estructura t en la categoría opuesta definida por . ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq n},{\mathcal {D}}^{\geq n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\text{op}}}$ ${\displaystyle (({\mathcal {D}}^{\geq 0})^{\text{op}},({\mathcal {D}}^{\leq 0})^{\text{op}})}$

Sea una subcategoría triangulada de una categoría triangulada . Si hay una estructura t en , entonces ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle (({\mathcal {D}}')^{\leq 0},({\mathcal {D}}')^{\geq 0})=({\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

es una estructura t si y solo si es estable bajo el functor de truncamiento . Cuando se cumple esta condición, la estructura t se denomina estructura t inducida . Los funtores de truncamiento y cohomología para la estructura t inducida son la restricción de los de . En consecuencia, la inclusión de in es t -exacta y . ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$ ${\displaystyle (({\mathcal {D}}')^{\leq 0},({\mathcal {D}}')^{\geq 0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}')^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\heartsuit }\cap {\mathcal {D}}'}$

Para construir la categoría de haces perversos, es importante poder definir una estructura en T en una categoría de haces en un espacio trabajando localmente en ese espacio. Las condiciones precisas necesarias para que esto sea posible se pueden resumir un poco en la siguiente configuración. Supongamos que hay tres categorías trianguladas y dos morfismos.

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}\ {\stackrel {i_{*}}{\to }}\ {\mathcal {D}}\ {\stackrel {j^{*}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{U}}$

satisfaciendo las siguientes propiedades.

• Hay dos secuencias de triples de funtores adjuntos y . ${\displaystyle (j_{!},j^{*},j_{*})}$ ${\displaystyle (i^{*},i_{*},i^{!})}$
• Los funtores , , y son plenos y fieles, y satisfacen . ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle j_{!}}$ ${\displaystyle j^{*}}$ ${\displaystyle j^{*}i_{*}=0}$
• Hay diferenciales únicos que forman, para cada K en , triángulos exactos ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{!}j^{*}K&\to K\to i_{*}i^{*}K\to j_{!}j^{*}K[1],\\i_{*}i^{!}K&\to K\to j_{*}j^{*}K\to i_{*}i^{!}K[1].\end{aligned}}}$

En este caso, dadas las estructuras t y on y , respectivamente, hay una estructura t on definida por ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},\ i^{*}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0}\},\\{\mathcal {D}}^{\geq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0},\ i^{!}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0}\}.\end{aligned}}}$

Se dice que esta estructura t es el pegado de las estructuras t en U y F. Los casos de uso previstos son cuando , y están acotados por debajo de categorías derivadas de haces en un espacio X , un subconjunto abierto U y el complemento cerrado F de U . Los funtores y son los habituales funtores de retroceso y avance. Esto funciona, en particular, cuando las gavillas en cuestión son módulos dejados sobre un haz de anillos en X y cuando las gavillas son gavillas ℓ-ádicas. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}}$ ${\displaystyle j^{*}}$ ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Muchas estructuras t surgen por medio del siguiente hecho: en una categoría triangulada con sumas directas arbitrarias y un conjunto de objetos compactos en , las subcategorías ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\geq 1}&=\{X\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (S_{0}[-n],X)=0,n\geq 0\},\\{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{Y\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (Y,{\mathcal {D}}^{\geq 1})=0\},\end{aligned}}}$

Se puede demostrar que es una estructura en T. ^{[8] Se dice que la estructura} t resultante es generada por ${\displaystyle S_{0}}$ .

Dada una subcategoría abeliana de una categoría triangulada , es posible construir una subcategoría y una estructura t en esa subcategoría cuyo corazón es . ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

En categorías ∞ estables

La teoría elemental de las estructuras t se traslada al caso de las categorías ∞ con pocos cambios. Sea una categoría ∞ estable. Una estructura t en se define como una estructura t en su categoría de homotopía (que es una categoría triangulada). Una estructura t en una categoría ∞ se puede anotar homológica o cohomológicamente, como en el caso de una categoría triangulada. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$

Supongamos que es una categoría ∞ con categoría de homotopía y que es una estructura t en . Luego, para cada número entero n , definimos y como las subcategorías completas de abarcadas por los objetos en y , respectivamente. Definir ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq 0},\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq 0})}$ ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq n}}$ ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\geq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\leq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$

ser los funtores de inclusión. Al igual que en el caso de una categoría triangulada, estas admiten un adjunto derecho y uno izquierdo, respectivamente, los functores de truncamiento

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\geq n},\\\tau _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\leq n}\end{aligned}}}$

Estos functores satisfacen las mismas identidades de truncamiento repetidas que en el caso de la categoría triangulada.

El corazón de una estructura t se define como la subcategoría ∞ . La categoría equivale al nervio de su categoría de homotopía . El funtor de cohomología se define como , o equivalentemente . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}_{\geq 0}\cap {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$ ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \tau _{\geq 0}\circ \tau _{\leq 0}\circ [-n]}$ ${\displaystyle \tau _{\leq 0}\circ \tau _{\geq 0}\circ [-n]}$

La existencia de medios que es, por definición, un funtor de localización. De hecho, existe una biyección entre las estructuras t y ciertos tipos de functores de localización llamados localizaciones t . Estos son funtores de localización L cuya imagen esencial está cerrada bajo extensión, lo que significa que si es una secuencia de fibras con X y Z en la imagen esencial de L , entonces Y también está en la imagen esencial de L. Dado tal funtor de localización L , la estructura t correspondiente está definida por ${\displaystyle \tau _{\leq n}}$ ${\displaystyle \iota _{\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X\to Y\to Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq 0}&=\{A\colon LA\simeq 0\},\\{\mathcal {D}}_{\leq -1}&=\{A\colon LA\simeq A\}.\end{aligned}}}$

Los functores de localización t también se pueden caracterizar en términos de morfismos f para los cuales Lf es una equivalencia. Un conjunto de morfismos S en una categoría ∞ es cuasisaturado si contiene todas las equivalencias, si cualquier 2-simplex con dos de sus aristas no degeneradas en S tiene su tercera arista no degenerada en S , y si es estable bajo expulsiones. Si es un functor de localización, entonces el conjunto S de todos los morfismos f para los cuales Lf es una equivalencia está cuasisaturado. Entonces L es un funtor de localización t si y sólo si S es el conjunto más pequeño de morfismos cuasisaturados que contiene todos los morfismos . ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle L\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \{0\to X\colon LX\simeq 0\}}$

La categoría derivada de una categoría abeliana tiene varias subcategorías correspondientes a diferentes condiciones de acotación. Se puede utilizar una estructura t en una categoría ∞ estable para construir subcategorías similares. Específicamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{+}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {D}}_{\leq n},\\{\mathcal {D}}_{-}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {D}}_{\geq n},\\{\mathcal {D}}_{b}&={\mathcal {D}}_{+}\cap {\mathcal {D}}_{-}.\end{aligned}}}$

Estas son subcategorías estables de . Se dice que está acotado a la izquierda (con respecto a la estructura t dada ) si , acotado a la derecha si y acotado si . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{b}}$

También es posible formar una terminación izquierda o derecha con respecto a una estructura t . Esto es análogo a límites dirigidos formalmente contiguos o colimits dirigidos. La terminación izquierda de es el límite de homotopía del diagrama. ${\displaystyle {\hat {\mathcal {D}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {D}}_{\leq 2}\ {\stackrel {\tau _{\leq 1}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 1}\ {\stackrel {\tau _{\leq 0}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 0}\ {\stackrel {\tau _{\leq -1}}{\to }}\ \cdots .}$

La terminación correcta se define de forma dual. Las terminaciones izquierda y derecha son en sí mismas categorías ∞ estables que heredan una estructura t canónica . Hay un mapa canónico desde cualquiera de sus terminaciones, y este mapa es t -exacto. Decimos que es completo por la izquierda o completo por la derecha si el mapa canónico hasta su terminación izquierda o derecha, respectivamente, es una equivalencia. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Conceptos relacionados

Si el requisito , se sustituye por la inclusión opuesta ${\displaystyle D^{\leq 0}\subset D^{\leq 1}}$ ${\displaystyle D^{\geq 1}\subset D^{\geq 0};}$

${\displaystyle D^{\leq 0}\supset D^{\leq 1}}$, ${\displaystyle D^{\geq 1}\supset D^{\geq 0},}$

y los otros dos axiomas se mantienen iguales, la noción resultante se llama estructura co-t o estructura de peso . ^[11]

Referencias

1. Beĭlinson, AA; Bernstein, J.; Deligne, P. Faisceaux pervertidos. Análisis y topología de espacios singulares, I (Luminy, 1981), 5–171, Astérisque, 100, Soc. Matemáticas. Francia, París, 1982.
2. Beilinson, Bernstein y Deligne, 3.1.22.
3. Beilinson, Bernstein y Deligne, pág. 13.
4. Beĭlinson, AA; Bernstein, J.; Deligne, P. Faisceaux pervertidos. Análisis y topología de espacios singulares, I (Luminy, 1981), 5–171, Astérisque, 100, Soc. Matemáticas. Francia, París, 1982.
5. Beĭlinson, AA Sobre la categoría derivada de gavillas perversas. Teoría K, aritmética y geometría (Moscú, 1984–1986), 27–41, Lecture Notes in Math., 1289, Springer, Berlín, 1987.
6. Beilinson, Alejandro; Ginzburg, Víctor; Sörgel, Wolfgang. Patrones de dualidad de Koszul en la teoría de la representación. J.Amer. Matemáticas. Soc. 9 (1996), núm. 2, 473–527.
7. Hanamura, Masaki. Motivos mixtos y ciclos algebraicos. III. Matemáticas. Res. Letón. 6 (1999), núm. 1, 61–82.
8. Beligiannis, Apóstolos; Reiten, Idún. Aspectos homológicos y homotópicos de las teorías de torsión. Memoria. América. Matemáticas. Soc. 188 (2007), núm. 883, viii+207 págs. Teorema III.2.3
9. Beilinson, Bernstein y Deligne, proposición 1.3.13.
10. Lurie, Álgebra superior , proposición 1.2.1.16.
11. Bondarko, MV Estructuras de peso versus estructuras en T; filtraciones de peso, secuencias espectrales y complejos (por motivos y en general). J. K-Theory 6 (2010), no. 3, 387–504.