Functor

Mapeo entre categorías

En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , un funtor es una aplicación entre categorías . Los funtores se consideraron por primera vez en la topología algebraica , donde los objetos algebraicos (como el grupo fundamental ) se asocian a espacios topológicos , y las aplicaciones entre estos objetos algebraicos se asocian a aplicaciones continuas entre espacios. Hoy en día, los funtores se utilizan en toda la matemática moderna para relacionar varias categorías. Por lo tanto, los funtores son importantes en todas las áreas dentro de las matemáticas a las que se aplica la teoría de categorías .

Las palabras categoría y funtor fueron tomadas prestadas por los matemáticos de los filósofos Aristóteles y Rudolf Carnap , respectivamente. ^[1] Este último utilizó funtor en un contexto lingüístico ; ^[2] véase palabra función .

Definición

Una categoría con objetos X, Y, Z y morfismos f, g, g ∘ f

El funtor debe preservar la composición de morfismos y ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Sean C y D categorías . Un funtor F de C a D es una aplicación que ^[3]

• asocia cada objeto en C a un objeto en D , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)}$
• asocia cada morfismo en C a un morfismo en D tal que se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle F(f)\colon F(X)\to F(Y)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$para cada objeto en C , ${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$para todos los morfismos y en C. ${\displaystyle f\colon X\to Y\,\!}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

Es decir, los funtores deben preservar los morfismos identidad y la composición de morfismos.

Covarianza y contravarianza

Existen muchas construcciones en matemáticas que serían funtores si no fuera por el hecho de que "invierten los morfismos" y "revierten la composición". Definimos entonces un funtor contravariante F de C a D como una aplicación que

• asocia cada objeto en C con un objeto en D , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)}$
• asocia cada morfismo en C con un morfismo en D tal que se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle F(f)\colon F(Y)\to F(X)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$para cada objeto en C , ${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}$para todos los morfismos y en C. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

Varianza del funtor (compuesto) ^[4]

• El compuesto de dos funtores de la misma varianza:
  • ${\displaystyle \mathrm {Covariant} \circ \mathrm {Covariant} \to \mathrm {Covariant} }$
  • ${\displaystyle \mathrm {Contravariant} \circ \mathrm {Contravariant} \to \mathrm {Covariant} }$
• El compuesto de dos funtores de varianza opuesta:
  • ${\displaystyle \mathrm {Covariant} \circ \mathrm {Contravariant} \to \mathrm {Contravariant} }$

Tenga en cuenta que los funtores contravariantes invierten la dirección de la composición.

Los funtores ordinarios también se denominan funtores covariantes para distinguirlos de los contravariantes. Nótese que también se puede definir un funtor contravariante como un funtor covariante en la categoría opuesta . ^[5] Algunos autores prefieren escribir todas las expresiones de forma covariante. Es decir, en lugar de decir es un funtor contravariante, simplemente escriben (o a veces ) y lo llaman funtor. ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle F\colon C\to D}$ ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to D}$ ${\displaystyle F\colon C\to D^{\mathrm {op} }}$

Los funtores contravariantes también se denominan ocasionalmente cofunctores . ^[6]

Existe una convención que se refiere a los "vectores" —es decir, campos vectoriales , elementos del espacio de secciones de un fibrado tangente —como "contravariantes" y a los "covectores" —es decir, 1-formas , elementos del espacio de secciones de un fibrado cotangente —como "covariantes". Esta terminología se origina en la física, y su fundamento tiene que ver con la posición de los índices ("arriba" y "abajo") en expresiones como para o para En este formalismo se observa que el símbolo de transformación de coordenadas (que representa la matriz ) actúa sobre las "coordenadas del covector" "de la misma manera" que sobre los vectores base: —mientras que actúa "de manera opuesta" sobre las "coordenadas del vector" (pero "de la misma manera" que sobre los covectores base: ). Esta terminología es contraria a la utilizada en la teoría de categorías porque son los covectores los que tienen retrocesos en general y por lo tanto son contravariantes , mientras que los vectores en general son covariantes ya que pueden ser empujados hacia adelante . Véase también Covarianza y contravarianza de vectores . ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle {x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.}$ ${\displaystyle \Lambda _{i}^{j}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}}$

Functor opuesto

Todo funtor induce al funtor opuesto , donde y son las categorías opuestas a y . ^[7] Por definición, asigna objetos y morfismos de la misma manera que . Dado que no coincide con como categoría, y de manera similar para , se distingue de . Por ejemplo, al componer con , se debe usar o bien . Nótese que, siguiendo la propiedad de categoría opuesta , . ${\displaystyle F\colon C\to D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle D^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\colon C_{0}\to C_{1}}$ ${\displaystyle G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}}$ ${\displaystyle G\circ F^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {op} }\circ F}$ ${\displaystyle \left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F}$

Bifunctores y multifunctores

Un bifuntor (también conocido como funtor binario ) es un funtor cuyo dominio es una categoría de producto . Por ejemplo, el funtor Hom es del tipo C ^op × C → Set . Puede verse como un funtor en dos argumentos. El funtor Hom es un ejemplo natural; es contravariante en un argumento, covariante en el otro.

Un multifuntor es una generalización del concepto de funtor a n variables. Por ejemplo, un bifuntor es un multifuntor con n = 2 .

Propiedades

Dos consecuencias importantes de los axiomas del functor son:

• F transforma cada diagrama conmutativo en C en un diagrama conmutativo en D ;
• si f es un isomorfismo en C , entonces F ( f ) es un isomorfismo en D .

Se pueden componer funtores, es decir, si F es un funtor de A a B y G es un funtor de B a C, entonces se puede formar el funtor compuesto G ∘ F de A a C. La composición de funtores es asociativa donde se define. La identidad de la composición de funtores es el funtor identidad. Esto muestra que los funtores pueden considerarse como morfismos en categorías de categorías, por ejemplo, en la categoría de categorías pequeñas .

Una categoría pequeña con un único objeto es lo mismo que un monoide : los morfismos de una categoría de un único objeto pueden considerarse como elementos del monoide, y la composición en la categoría se considera como la operación monoide. Los funtores entre categorías de un único objeto corresponden a homomorfismos monoides . Por lo tanto, en cierto sentido, los funtores entre categorías arbitrarias son una especie de generalización de homomorfismos monoides a categorías con más de un objeto.

Ejemplos

Diagrama

Para las categorías C y J , un diagrama de tipo J en C es un funtor covariante . ${\displaystyle D\colon J\to C}$

(Categoría teórica) prehaz

Para las categorías C y J , un prehaz J en C es un funtor contravariante . ${\displaystyle D\colon C\to J}$

En el caso especial en que J es un conjunto , la categoría de conjuntos y funciones, D se denomina prehaz sobre C.

Prehaces (sobre un espacio topológico)

Si X es un espacio topológico , entonces los conjuntos abiertos en X forman un conjunto parcialmente ordenado Open( X ) bajo inclusión. Como todo conjunto parcialmente ordenado, Open( X ) forma una pequeña categoría añadiendo una única flecha U → V si y sólo si . Los funtores contravariantes en Open( X ) se denominan prehaces en X . Por ejemplo, al asignar a cada conjunto abierto U el álgebra asociativa de funciones continuas de valor real en U , se obtiene un prehaz de álgebras en X . ${\displaystyle U\subseteq V}$

Functor constante

El funtor C → D que asigna cada objeto de C a un objeto fijo X en D y cada morfismo en C al morfismo identidad en X. Un funtor de este tipo se denomina funtor constante o de selección .

Endofunctor

Un funtor que asigna una categoría a esa misma categoría; por ejemplo, funtor polinomial .

Functor de identidad

En la categoría C , escrita 1 _C o id _C , asigna un objeto a sí mismo y un morfismo a sí mismo. El funtor identidad es un endofuntor.

Functor diagonal

El funtor diagonal se define como el funtor de D a la categoría de funtor D ^C que envía cada objeto en D al funtor constante en ese objeto.

Functor límite

Para una categoría de índice fijo J , si cada funtor J → C tiene un límite (por ejemplo, si C es completo), entonces el funtor límite C ^J → C asigna a cada funtor su límite. La existencia de este funtor se puede demostrar al darse cuenta de que es el adjunto derecho del funtor diagonal e invocar el teorema del funtor adjunto de Freyd . Esto requiere una versión adecuada del axioma de elección . Observaciones similares se aplican al funtor colimite (que asigna a cada funtor su colimite y es covariante).

Functor de conjuntos de potencia

El funtor de conjunto potencia P  : Conjunto → Conjunto asigna cada conjunto a su conjunto potencia y cada función a la función que envía a su imagen . También se puede considerar el funtor de conjunto potencia contravariante que envía a la función que envía a su imagen inversa. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)\subseteq X.}$

Por ejemplo, si entonces . Supongamos que y . Entonces es la función que envía cualquier subconjunto de a su imagen , que en este caso significa , donde denota la asignación bajo , por lo que esto también podría escribirse como . Para los otros valores, Nótese que en consecuencia genera la topología trivial en . Nótese también que aunque la función en este ejemplo se asignó al conjunto potencia de , ese no tiene por qué ser el caso en general. ${\displaystyle X=\{0,1\}}$ ${\displaystyle F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}}$ ${\displaystyle f(0)=\{\}}$ ${\displaystyle f(1)=X}$ ${\displaystyle F(f)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle \{\}\mapsto f(\{\})=\{\}}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle F(f)}$ ${\displaystyle (F(f))(\{\})=\{\}}$ ${\displaystyle \{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\ }$ ${\displaystyle \{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\ }$ ${\displaystyle \{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.}$ ${\displaystyle f(\{0,1\})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Espacio vectorial dual

El mapa que asigna a cada espacio vectorial su espacio dual y a cada mapa lineal su dual o transpuesta es un funtor contravariante de la categoría de todos los espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo hasta sí mismo.

Grupo fundamental

Consideremos la categoría de espacios topológicos puntiagudos , es decir, espacios topológicos con puntos distinguidos. Los objetos son pares ( X , x ₀ ) , donde X es un espacio topológico y x ₀ es un punto en X . Un morfismo de ( X , x ₀ ) a ( Y , y ₀ ) está dado por una función continua f  : X → Y con f ( x ₀ ) = y ₀ .

Para cada espacio topológico X con punto distinguido x ₀ , se puede definir el grupo fundamental basado en x ₀ , denotado π ₁ ( X , x ₀ ) . Este es el grupo de clases de homotopía de bucles basados ​​en x ₀ , con la operación de grupo de concatenación. Si f  : X → Y es un morfismo de espacios apuntados , entonces cada bucle en X con punto base x ₀ puede ser compuesto con f para producir un bucle en Y con punto base y ₀ . Esta operación es compatible con la relación de equivalencia de homotopía y la composición de bucles, y obtenemos un homomorfismo de grupo de π( X , x ₀ ) a π( Y , y ₀ ) . Obtenemos así un funtor de la categoría de espacios topológicos apuntados a la categoría de grupos .

En la categoría de espacios topológicos (sin punto distinguido), se consideran clases homotópicas de curvas genéricas, pero no pueden ser compuestas a menos que compartan un punto final. Por lo tanto, se tiene el grupoide fundamental en lugar del grupo fundamental, y esta construcción es funtorial.

Álgebra de funciones continuas

Un funtor contravariante de la categoría de espacios topológicos (con funciones continuas como morfismos) a la categoría de álgebras asociativas reales se da asignando a cada espacio topológico X el álgebra C( X ) de todas las funciones continuas de valor real en ese espacio. Toda función continua f  : X → Y induce un homomorfismo de álgebra C( f ) : C( Y ) → C( X ) por la regla C( f )( φ ) = φ ∘ f para cada φ en C( Y ).

Fibrados tangentes y cotangentes

La función que envía cada variedad diferenciable a su fibrado tangente y cada función suave a su derivada es un funtor covariante de la categoría de variedades diferenciables a la categoría de fibrados vectoriales .

Al realizar estas construcciones puntualmente se obtiene el espacio tangente , un funtor covariante de la categoría de variedades diferenciables puntiagudas a la categoría de espacios vectoriales reales. Asimismo, el espacio cotangente es un funtor contravariante, esencialmente la composición del espacio tangente con el espacio dual anterior.

Acciones/representaciones grupales

Todo grupo G puede considerarse como una categoría con un único objeto cuyos morfismos son los elementos de G . Un funtor de G a Set no es entonces otra cosa que una acción de grupo de G sobre un conjunto particular, es decir, un G -conjunto. Del mismo modo, un funtor de G a la categoría de espacios vectoriales , Vect _K , es una representación lineal de G . En general, un funtor G → C puede considerarse como una "acción" de G sobre un objeto de la categoría C . Si C es un grupo, entonces esta acción es un homomorfismo de grupo.

Álgebras de Lie

Asignar a cada grupo de Lie real (complejo) su álgebra de Lie real (compleja) define un funtor.

Productos tensoriales

Si C denota la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo, con mapas lineales como morfismos, entonces el producto tensorial define un funtor C × C → C que es covariante en ambos argumentos. ^[8] ${\displaystyle V\otimes W}$

Funtores olvidadizos

El funtor U  : Grp → Set que asigna un grupo a su conjunto subyacente y un homomorfismo de grupo a su función subyacente de conjuntos es un funtor. ^[9] Los funtores como estos, que "olvidan" alguna estructura, se denominan funtores olvidadizos . Otro ejemplo es el funtor Rng → Ab que asigna un anillo a su grupo abeliano aditivo subyacente . Los morfismos en Rng ( homomorfismos de anillo ) se convierten en morfismos en Ab (homomorfismos de grupo abeliano).

Funciones libres

En la dirección opuesta a los funtores olvidadizos se encuentran los funtores libres. El funtor libre F  : Set → Grp envía cada conjunto X al grupo libre generado por X . Las funciones se asignan a homomorfismos de grupo entre grupos libres. Existen construcciones libres para muchas categorías basadas en conjuntos estructurados. Véase objeto libre .

Grupos de homomorfismo

A cada par A , B de grupos abelianos se le puede asignar el grupo abeliano Hom( A , B ) que consiste en todos los homomorfismos de grupo desde A hasta B . Este es un funtor que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo, es decir, es un funtor Ab ^op × Ab → Ab (donde Ab denota la categoría de grupos abelianos con homomorfismos de grupo). Si f  : A ₁ → A ₂ y g  : B ₁ → B ₂ son morfismos en Ab , entonces el homomorfismo de grupo Hom( f , g ) : Hom( A ₂ , B ₁ ) → Hom( A ₁ , B ₂ ) viene dado por φ ↦ g ∘ φ ∘ f . Véase funtor Hom .

Funciones representables

Podemos generalizar el ejemplo anterior a cualquier categoría C . A cada par X , Y de objetos en C se le puede asignar el conjunto Hom( X , Y ) de morfismos de X a Y . Esto define un funtor a Set que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo, es decir es un funtor C ^op × C → Set . Si f  : X ₁ → X ₂ y g  : Y ₁ → Y ₂ son morfismos en C , entonces la función Hom( f , g ) : Hom( X ₂ , Y ₁ ) → Hom( X ₁ , Y ₂ ) viene dada por φ ↦ g ∘ φ ∘ f .

Los funtores como estos se denominan funtores representables . Un objetivo importante en muchos entornos es determinar si un funtor determinado es representable.

Relación con otros conceptos categóricos

Sean C y D categorías. La colección de todos los funtores desde C hasta D forma los objetos de una categoría: la categoría de funtores . Los morfismos en esta categoría son transformaciones naturales entre funtores.

Los funtores suelen definirse mediante propiedades universales ; algunos ejemplos son el producto tensorial , la suma directa y el producto directo de grupos o espacios vectoriales, la construcción de grupos y módulos libres, los límites directos e inversos . Los conceptos de límite y colimite generalizan varios de los anteriores.

Las construcciones universales a menudo dan lugar a pares de funtores adjuntos .

Implementaciones informáticas

Los funtores aparecen a veces en la programación funcional . Por ejemplo, el lenguaje de programación Haskell tiene una clase Functor donde fmapes una función politípica que se utiliza para mapear funciones ( morfismos en Haskell , la categoría de tipos de Haskell) ^[10] entre tipos existentes a funciones entre algunos tipos nuevos. ^[11]

Véase también

• Portal de matemáticas

• Anafunctor
• Profuntor
• Categoría de functor
• Extensión Kan
• Pseudofunctor

Notas

1. Mac Lane, Saunders (1971), Categorías para el matemático en activo , Nueva York: Springer-Verlag, pág. 30, ISBN 978-3-540-90035-1
2. Carnap, Rudolf (1937). La sintaxis lógica del lenguaje , Routledge & Kegan, págs. 13-14.
3. Jacobson (2009), pág. 19, definición 1.2.
4. Simmons (2011), Ejercicio 3.1.4.
5. Jacobson (2009), págs. 19-20.
6. Popescu, Nicolae; Popescu, Liliana (1979). Teoría de las categorías. Dordrecht: Springer. pag. 12.ISBN​ 9789400995505. Recuperado el 23 de abril de 2016 .
7. Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992), Haces en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría de topos , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2
8. Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4
9. Jacobson (2009), pág. 20, ej. 2.
10. No está del todo claro que los tipos de datos de Haskell formen realmente una categoría. Consulte https://wiki.haskell.org/Hask para obtener más detalles.
11. Consulte https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell para obtener más información.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 2 (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
• Simmons, Harold (2011), "Functores y transformaciones naturales", Introducción a la teoría de categorías, págs. 72-107, doi :10.1017/CBO9780511863226.004, ISBN 978-1-107-01087-1

Enlaces externos

• "Functor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Consulte el functor en el laboratorio n y las variaciones analizadas y vinculadas allí.
• André Joyal , CatLab, un proyecto wiki dedicado a la exposición de matemáticas categóricas
• Hillman, Chris (2001). "A Categorical Primer". CiteSeerX  10.1.1.24.3264 . Archivado desde el original el 3 de mayo de 1997.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos Archivado el 21 de abril de 2015 en Wayback Machine.
• Enciclopedia de filosofía de Stanford : "Teoría de categorías" — por Jean-Pierre Marquis. Bibliografía extensa.
• Lista de congresos académicos sobre teoría de categorías
• Baez, John, 1996, "La historia de las n-categorías". Una introducción informal a las categorías de orden superior.
• WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, funtores, transformaciones naturales y propiedades universales .
• The Catsters, un canal de YouTube sobre teoría de categorías.
• Archivo de vídeo de charlas grabadas relevantes sobre categorías, lógica y fundamentos de la física.
• Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.