Prehaz simple

En matemáticas, más específicamente en la teoría de homotopía , un prehaz simplicial es un prehaz en un sitio (por ejemplo, la categoría de espacios topológicos ) que toma valores en conjuntos simpliciales (es decir, un funtor contravariante del sitio a la categoría de conjuntos simpliciales). De manera equivalente, un prehaz simplicial es un objeto simplicial en la categoría de prehaces en un sitio. La noción fue introducida por A. Joyal en la década de 1970. ^[1] De manera similar, un haz simplicial en un sitio es un objeto simplicial en la categoría de haces en el sitio. ^[2]

Ejemplo: Consideremos el sitio étale de un esquema S. Cada U en el sitio representa el prehaz . Por lo tanto, un esquema simplicial , un objeto simplicial en el sitio, representa un prehaz simplicial (de hecho, a menudo un haz simplicial). ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,U)}$

Ejemplo: Sea G un prehaz de grupoides. Luego, tomando los nervios por secciones, se obtiene un prehaz simplicial . Por ejemplo, se podría establecer . Este tipo de ejemplos aparecen en la teoría K. ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle B\operatorname {GL} =\varinjlim B\operatorname {GL_{n}} }$

Si es una equivalencia débil local de prehaces simpliciales, entonces el mapa inducido también es una equivalencia débil local. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} f:\mathbb {Z} X\to \mathbb {Z} Y}$

Haces de homotopía de un prehaz simplicial

Sea F un prehaz simplicial en un sitio. Los haces de homotopía de F se definen de la siguiente manera. Para cualquier en el sitio y un 0-símplex s en F ( X ), establecemos y . Luego establecemos que sea el haz asociado con el prehaz . ${\displaystyle \pi _{*}F}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (\pi _{0}^{\text{pr}}F)(X)=\pi _{0}(F(X))}$ ${\displaystyle (\pi _{i}^{\text{pr}}(F,s))(f)=\pi _{i}(F(Y),f^{*}(s))}$ ${\displaystyle \pi _{i}F}$ ${\displaystyle \pi _{i}^{\text{pr}}F}$

Estructuras de modelos

La categoría de prehaces simpliciales en un sitio admite muchas estructuras de modelos diferentes .

Algunos de ellos se obtienen al considerar los prehaces simples como funtores.

${\displaystyle S^{op}\to \Delta ^{op}Sets}$

La categoría de tales funtores está dotada de (al menos) tres estructuras modelo, a saber, la estructura modelo proyectiva, la de Reedy y la inyectiva. Las equivalencias débiles/fibraciones en la primera son mapas

${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$

de tal manera que

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)}$

es una equivalencia/fibración débil de conjuntos simpliciales, para todo U en el sitio S. La estructura del modelo inyectivo es similar, pero con equivalencias y cofibraciones débiles en su lugar.

Pila

Un prehaz simple F en un sitio se llama pila si, para cualquier X y cualquier hipercobertura H → X , la función canónica

${\displaystyle F(X)\to \operatorname {holim} F(H_{n})}$

es una equivalencia débil como conjuntos simpliciales, donde la derecha es el límite de homotopía de

${\displaystyle [n]=\{0,1,\dots ,n\}\mapsto F(H_{n})}$.

Cualquier haz F en el sitio puede considerarse como una pila al verlo como un conjunto simplicial constante; de ​​esta manera, la categoría de haces en el sitio se incluye como una subcategoría de la categoría de homotopía de prehaces simpliciales en el sitio. El funtor de inclusión tiene un adjunto izquierdo y ese es exactamente . ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle F\mapsto \pi _{0}F}$

Si A es un haz de un grupo abeliano (en el mismo sitio), entonces definimos haciendo una construcción del espacio de clasificación por niveles (la noción proviene de la teoría de la obstrucción ) y establecemos . Se puede demostrar (por inducción): para cualquier X en el sitio, ${\displaystyle K(A,1)}$ ${\displaystyle K(A,i)=K(K(A,i-1),1)}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X;A)=[X,K(A,i)]}$

donde la izquierda denota una cohomología de haz y la derecha la clase de homotopía de mapas.

Véase también

• conjunto cúbico
• Grupo N (teoría de categorías)

Notas

1. Toën, Bertrand (2002), "Pilas y cohomología no abeliana" (PDF) , Taller introductorio sobre pilas algebraicas, teoría de intersecciones y teoría de Hodge no abeliana , MSRI
2. Jardine 2007, §1

Lectura adicional

• Konrad Voelkel, Estructuras modelo sobre presheaves simpliciales

Referencias

• Jardine, JF (2004). "Teorías generalizadas de cohomología de haces". En Greenlees, JPC (ed.). Teoría de homotopía axiomática, enriquecida y motívica. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN, Cambridge, Reino Unido, 9-20 de septiembre de 2002. Serie de Ciencias de la OTAN II: Matemáticas, Física y Química. Vol. 131. Dordrecht: Kluwer Academic. págs. 29-68. ISBN 1-4020-1833-9.Zbl 1063.55004  .
• Jardine, JF (2007). "Prehashes simples" (PDF) .
• B. Toën, Prehaces simpliciales y geometría algebraica derivada

Enlaces externos

• Página de inicio de JF Jardine