En matemáticas, un espacio generalizado es una generalización de un espacio topológico . Los impulsos para tal generalización vienen al menos en dos formas:
- El deseo de aplicar conceptos como la cohomología a objetos que tradicionalmente no se consideran espacios. Por ejemplo, el topos se introdujo originalmente por este motivo.
- Una necesidad práctica de remediar las deficiencias de que algunas categorías naturales de espacios (por ejemplo, las del análisis funcional ) tienden a no ser abelianas , un requisito estándar para hacer álgebra homológica.
El dictamen de Alexander Grothendieck dice que un topos es un espacio generalizado; precisamente, él y sus seguidores escriben en la exposición 4 de SGA I: [1]
Posiblemente hecho dire que la noción de topos, deriva naturalmente del punto de vista faisceautique en Topologie, constituye a son tour un elargissement sustancial de la noción de espacio topológico, un gran número de situaciones que en otros casos no son consideradas como relevantes de intuición topológica
Sin embargo, William Lawvere sostiene en su artículo de 1975 [2] que este dictamen debería invertirse, es decir, "un topos es el 'álgebra de funciones continuas (con valores de conjunto)' en un espacio generalizado, no el espacio generalizado en sí mismo".
No debe confundirse un espacio generalizado con un objeto geométrico que puede sustituir el papel de los espacios. Por ejemplo, una pila no suele considerarse un espacio sino un objeto geométrico con una estructura más rica.
Ejemplos
- Un lugar es una especie de espacio, aunque quizás no con suficientes puntos. [3] A veces se dice que la teoría de topos es la teoría de lugares generalizados. [4]
- El gros topos de Jean Giraud , el topos topológico de Peter Johnstone [5] o encarnaciones más recientes como los conjuntos condensados o los conjuntos picnóticos . Estos intentan incorporar la categoría de (ciertos) espacios topológicos en una categoría más grande de espacios generalizados, de una manera filosóficamente, si no técnicamente, similar a la forma en que uno generaliza una función a una función generalizada . (Nótese que estas construcciones son más precisas que varias terminaciones de la categoría de espacios topológicos).
Referencias
- ^ Grothendieck y Verdier 1972
- ^ Lawvere 1975
- ^ "Configuraciones regionales como objetos geométricos". MathOverflow . Consultado el 22 de julio de 2024 .
- ^ Johnstone 1985
- ^ "Sobre un Topos Topológico en The n-Category Café". golem.ph.utexas.edu .
- Lawvere, F. William (1975). "Conjuntos de variables continuas; geometría algebraica = lógica geométrica". Coloquio de lógica '73, Actas del Coloquio de lógica . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas. Vol. 80. págs. 135-156. doi :10.1016/S0049-237X(08)71947-5. ISBN 978-0-444-10642-1.
- Lawvere, Las categorías de espacios no pueden ser espacios generalizados como lo ejemplifican los gráficos dirigidos.
- Johnstone, Peter T. (1985). "¿Qué tan general es un espacio generalizado?". Aspectos de la topología . pp. 77–112. doi :10.1017/CBO9781107359925.004. ISBN . 978-0-521-27815-7.
- Grothendieck, A.; Verdier, JL (1972), "Topos", Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 269, Springer, doi :10.1007/BFb0081555
