Las matemáticas condensadas son una teoría desarrollada por Dustin Clausen y Peter Scholze que, según algunos, [¿ quiénes? ] pretende unificar varios subcampos matemáticos , entre ellos la topología , la geometría compleja y la geometría algebraica . [ cita requerida ]
La idea fundamental en el desarrollo de la teoría viene dada por la sustitución de los espacios topológicos por conjuntos condensados , definidos a continuación. La categoría de conjuntos condensados, así como categorías relacionadas como la de grupos abelianos condensados , se comportan mucho mejor que la categoría de espacios topológicos . En particular, a diferencia de la categoría de grupos abelianos topológicos , la categoría de grupos abelianos condensados es una categoría abeliana , lo que permite el uso de herramientas del álgebra homológica en el estudio de esas estructuras.
El marco de las matemáticas condensadas resulta ser lo suficientemente general como para que, al considerar varios "espacios" con haces valorados en álgebras condensadas, uno sea capaz de incorporar geometría algebraica , geometría analítica p -ádica y geometría analítica compleja . [1]
Un conjunto condensado es un haz de conjuntos en el lugar de los conjuntos profinitos , con la topología de Grothendieck dada por colecciones finitas y conjuntamente sobreyectivas de morfismo. De manera similar, un grupo condensado , un anillo condensado , etc. se define como un haz de grupos, anillos, etc. en este lugar.
A todo espacio topológico se le puede asociar un conjunto condensado, habitualmente denominado , que a todo conjunto profinito le asocia el conjunto de funciones continuas . Si es un grupo o anillo topológico, entonces es un grupo o anillo condensado.
En 2013, Bhargav Bhatt y Peter Scholze introdujeron una noción general de sitio pro - étale asociado a un esquema arbitrario . En 2018, junto con Dustin Clausen, llegaron a la conclusión de que ya el sitio pro-étale de un solo punto, que es isomorfo al sitio de conjuntos profinitos introducido anteriormente, tiene una estructura lo suficientemente rica como para realizar grandes clases de espacios topológicos como haces en él. Desarrollos posteriores han llevado a una teoría de conjuntos condensados y grupos abelianos sólidos , a través de los cuales uno puede incorporar geometría no arquimediana a la teoría. [2]
En 2020, Scholze completó una demostración de un resultado que permitiría la incorporación del análisis funcional y la geometría compleja en el marco de las matemáticas condensadas, utilizando la noción de espacios vectoriales líquidos . El argumento resultó ser bastante sutil y, para eliminar cualquier duda sobre la validez del resultado, pidió a otros matemáticos que proporcionaran una prueba formalizada y verificada . [3] [4] Durante un período de 6 meses, un grupo dirigido por Johan Commelin verificó la parte central de la prueba utilizando el asistente de prueba Lean . [5] [4] A fecha de 14 de julio de 2022, la prueba se ha completado. [6]
Por coincidencia, en 2019 Barwick y Haine introdujeron una teoría muy similar de los objetos picnóticos . Esta teoría está muy relacionada con la de los conjuntos condensados, y las principales diferencias son de naturaleza teórica de conjuntos: la teoría picnótica depende de una elección de universos de Grothendieck , mientras que las matemáticas condensadas pueden desarrollarse estrictamente dentro de ZFC . [7]
