Multicategoría

En matemáticas (especialmente en teoría de categorías ), una multicategoría es una generalización del concepto de categoría que permite morfismos de aridad múltiple . Si los morfismos de una categoría se consideran análogos a las funciones , entonces los morfismos de una multicategoría son análogos a las funciones de varias variables. Las multicategorías también se denominan a veces operadas u operadas coloreadas.

Definición

Una multicategoría (no simétrica) consta de

• una colección (a menudo una clase propia ) de objetos ;
• para cada secuencia finita de objetos ( ) y cada objeto Y , un conjunto de morfismos de a Y ; y ${\displaystyle (X_{i})_{i\in [n]}}$ ${\displaystyle [n]=\{0,1,2,...,n\}}$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in n}}$
• para cada objeto X , un morfismo identidad especial (con n = 1) de X a X .

Además, existen operaciones de composición: Dada una secuencia de secuencias de objetos, una secuencia de objetos y un objeto Z : si ${\displaystyle ((X_{ij})_{i\in n_{j}})_{j\in m}}$ ${\displaystyle (Y_{j})_{j\in m}}$

• para cada , f _j es un morfismo de a Y _j ; y ${\displaystyle j\in m}$ ${\displaystyle (X_{ij})_{i\in n_{j}}}$
• g es un morfismo de a Z : ${\displaystyle (Y_{j})_{j\in m}}$

Entonces existe un morfismo compuesto de a Z . Este debe satisfacer ciertos axiomas: ${\displaystyle g(f_{j})_{j\in m}}$ ${\displaystyle (X_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}}$

• Si m = 1, Z = Y ₀ , y g es el morfismo identidad para Y ₀ , entonces g ( f ₀ ) = f ₀ ;
• si para cada , n _j = 1, , y f _j es el morfismo identidad para Y _j , entonces ; y ${\displaystyle j\in m}$ ${\displaystyle X_{0j}=Y_{j}}$ ${\displaystyle g(f_{j})_{j\in m}=g}$
• una condición de asociatividad : si para cada y , es un morfismo de a , entonces son morfismos idénticos de a Z . ${\displaystyle j\in m}$ ${\displaystyle i\in n_{j}}$ ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle (W_{hij})_{h\in o_{ij}}}$ ${\displaystyle X_{ij}}$ ${\displaystyle g\left(f_{j}(e_{ij})_{i\in n_{j}}\right)_{j\in m}=g(f_{j})_{j\in m}(e_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}}$ ${\displaystyle (W_{hij})_{h\in o_{ij},i\in n_{j},j\in m}}$

Categorías de comercio

Una co-categoría (co-multi-categoría) es un conjunto O totalmente ordenado de objetos, un conjunto A de multiflechas con dos funciones

${\displaystyle \mathrm {head} :A\rightarrow O,}$

${\displaystyle \mathrm {ground} :A\rightarrow O^{\%},}$

donde O ^% es el conjunto de todas las secuencias finitas ordenadas de elementos de O . La imagen dual de una multiflecha f puede resumirse

${\displaystyle f:\mathrm {head} (f)\Leftarrow \mathrm {ground} (f).}$

Una categoría C también tiene un multiproducto con el carácter habitual de una operación de composición. Se dice que C es asociativa si se cumple un axioma de multiproducto en relación con este operador.

Cualquier multicategoría, simétrica o no simétrica, junto con un ordenamiento total del conjunto de objetos, puede convertirse en una comcategoría equivalente.

Un multiorden es una comategoría que satisface las siguientes condiciones.

• Hay como máximo una multiflecha con punta y base determinadas.
• Cada objeto x tiene una unidad multiflecha.
• Una multiflecha es una unidad si su base tiene una entrada.

Los multiórdenes son una generalización de los órdenes parciales (posets) y fueron introducidos por primera vez (de pasada) por Tom Leinster. ^[1]

Ejemplos

Existe una multicategoría cuyos objetos son conjuntos (pequeños) , donde un morfismo de los conjuntos X ₁ , X ₂ , ..., y X _n al conjunto Y es una función n -aria , es decir una función del producto cartesiano X ₁ × X ₂ × ... × X _n a Y .

Existe una multicategoría cuyos objetos son espacios vectoriales (sobre los números racionales , por ejemplo), donde un morfismo de los espacios vectoriales X ₁ , X ₂ , ..., y X _n al espacio vectorial Y es un operador multilineal , es decir una transformación lineal del producto tensorial X ₁ ⊗ X ₂ ⊗ ... ⊗ X _n a Y .

De manera más general, dada cualquier categoría monoidal C , existe una multicategoría cuyos objetos son objetos de C , donde un morfismo de los C -objetos X ₁ , X ₂ , ..., y X _n al C -objeto Y es un C -morfismo del producto monoidal de X ₁ , X ₂ , ..., y X _n a Y .

Un operad es una multicategoría con un único objeto; excepto en casos degenerados, dicha multicategoría no proviene de una categoría monoidal.

Los ejemplos de multiórdenes incluyen multiconjuntos puntiagudos (secuencia A262671 en la OEIS ), particiones enteras (secuencia A063834 en la OEIS ) y separaciones combinatorias (secuencia A269134 en la OEIS ). Los triángulos (o composiciones) de cualquier multiorden son morfismos de una categoría (no necesariamente asociativa) de contracciones y una categoría de descomposiciones . La categoría de contracción para el multiorden de particiones multimin (secuencia A255397 en la OEIS ) es la categoría más simple conocida de multiconjuntos. ^[2]

Aplicaciones

A menudo se considera incorrectamente que las multicategorías pertenecen a la teoría de categorías superiores , ya que su aplicación original fue la observación de que los operadores e identidades satisfechos por categorías superiores son los objetos y multiflechas de una multicategoría. El estudio de las n -categorías estuvo a su vez motivado por aplicaciones en topología algebraica e intentos de describir la teoría de homotopía de variedades de dimensiones superiores . Sin embargo, ha surgido principalmente de esta motivación y ahora también se considera parte de las matemáticas puras.[1]

La correspondencia entre contracciones y descomposiciones de triángulos en un multiorden permite construir un álgebra asociativa llamada álgebra de incidencia . Cualquier elemento que no sea cero en todas las flechas unitarias tiene una inversa compositiva, y la función de Möbius de un multiorden se define como la inversa compositiva de la función zeta (constante-uno) en su álgebra de incidencia.

Historia

Las multicategorías fueron introducidas por primera vez con ese nombre por Jim Lambek en "Sistemas deductivos y categorías II" (1969) ^[3]. Menciona (p. 108) que le "dijeron que las multicategorías también habían sido estudiadas por [Jean] Benabou y [Pierre] Cartier", y de hecho Leinster opina que "la idea podría habérsele ocurrido a cualquiera que supiera qué eran tanto una categoría como un mapa multilineal". ^{[1] : 63}

Referencias

1. Tom Leinster (2004). Operadas superiores, categorías superiores . Cambridge University Press. arXiv : math/0305049 . Bibcode :2004hohc.book.....L.Ejemplo 2.1.7, página 37
2. Wiseman, Gus. "Comcategorías y multiórdenes". Google Docs . Consultado el 9 de mayo de 2016 .
3. . Lambek, Joachim (1969). "Sistemas deductivos y categorías II. Construcciones estándar y categorías cerradas". Lecture Notes in Mathematics . Vol. 86. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. págs. 76–122. doi :10.1007/bfb0079385. ISBN 978-3-540-04605-9. ISSN  0075-8434.

• Garner, Richard (2008). "Policategorías a través de leyes pseudodistributivas". Avances en Matemáticas . 218 (3): 781–827. arXiv : math/0606735 . doi : 10.1016/j.aim.2008.02.001 . S2CID  17057235.