Cociente de una categoría abeliana

En matemáticas , el cociente (también llamado cociente de Serre o cociente de Gabriel ) de una categoría abeliana por una subcategoría de Serre es la categoría abeliana que, intuitivamente, se obtiene de ignorando (es decir, tratando como cero ) todos los objetos de . Existe un funtor exacto canónico cuyo núcleo es , y es en cierto sentido la categoría abeliana más general con esta propiedad. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$

La formación de cocientes de Serre de categorías abelianas es, por tanto, formalmente similar a la formación de cocientes de grupos . Los cocientes de Serre son algo similares a las categorías de cocientes , con la diferencia de que con los cocientes de Serre todas las categorías implicadas son abelianas y todos los funtores son exactos. Los cocientes de Serre también suelen tener el carácter de localizaciones de categorías , especialmente si la subcategoría de Serre es localizadora .

Definición

Formalmente, es la categoría cuyos objetos son los de y cuyos morfismos de X a Y están dados por el límite directo (de grupos abelianos ) ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}(X,Y):=\varinjlim \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X',Y/Y')}$$

donde el límite se toma sobre subobjetos y tales que y . (Aquí, y denotan objetos cocientes calculados en ). Estos pares de subobjetos están ordenados por . ${\displaystyle X'\subseteq X}$ ${\displaystyle Y'\subseteq Y}$ ${\displaystyle X/X'\in {\cal {B}}}$ ${\displaystyle Y'\in {\cal {B}}}$ ${\displaystyle X/X'}$ ${\displaystyle Y/Y'}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (X',Y')\preccurlyeq (X'',Y'')\Longleftrightarrow X''\subseteq X'{\text{ and }}Y'\subseteq Y''}$

La composición de morfismos en está inducida por la propiedad universal del límite directo. ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$

El funtor canónico envía un objeto X a sí mismo y un morfismo al elemento correspondiente del límite directo con X′ = X e Y′ = 0. ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Una construcción alternativa y equivalente de la categoría cociente utiliza lo que se denomina un " cálculo de fracciones " para definir los morfismos de . Aquí, se comienza con la clase de aquellos morfismos en cuyo núcleo y conúcleo ambos pertenecen a . Este es un sistema multiplicativo en el sentido de Gabriel-Zisman, y se puede localizar la categoría en el sistema para obtener . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}:={\mathcal {A}}[S^{-1}]}$

Ejemplos

Sea un cuerpo y considérese la categoría abeliana de todos los espacios vectoriales sobre . Entonces la subcategoría completa de los espacios vectoriales de dimensión finita es una subcategoría de Serre de . El cociente de Serre tiene como objetos los espacios vectoriales -, y el conjunto de morfismos de a en es (que es un cociente de espacios vectoriales ). Esto tiene el efecto de identificar todos los espacios vectoriales de dimensión finita con 0, y de identificar dos aplicaciones lineales siempre que su diferencia tenga imagen de dimensión finita . Este ejemplo muestra que el cociente de Serre puede comportarse como una categoría de cociente . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\rm {Mod}}(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\rm {mod}}(k)}$ ${\displaystyle {\rm {Mod}}(k)}$ ${\displaystyle {\cal {{C}={\rm {Mod}}(k)/{\rm {mod}}(k)}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\cal {C}}}$ $${\displaystyle \{k{\text{-linear maps from }}X{\text{ to }}Y\}/\{k{\text{-linear maps from }}X{\text{ to }}Y{\text{ with finite-dimensional image}}\}}$$

Como otro ejemplo, tomemos la categoría abeliana Ab de todos los grupos abelianos y la subcategoría de Serre de todos los grupos abelianos de torsión . El cociente de Serre aquí es equivalente a la categoría de todos los espacios vectoriales sobre los racionales, con el funtor canónico dado por tensorización con . De manera similar, el cociente de Serre de la categoría de grupos abelianos finitamente generados por la subcategoría de grupos de torsión finitamente generados es equivalente a la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre . ^[2] Aquí, el cociente de Serre se comporta como una localización . ${\displaystyle \operatorname {Mod} ({\mathbb {Q}})}$ ${\displaystyle \mathbf {Ab} \to \operatorname {Mod} ({\mathbb {Q}})}$ ${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$

Propiedades

El cociente de Serre es una categoría abeliana y el funtor canónico es exacto y sobreyectivo sobre los objetos. El núcleo de es , es decir, es cero en si y solo si pertenece a . ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

El cociente de Serre y el funtor canónico se caracterizan por la siguiente propiedad universal : si es cualquier categoría abeliana y es un funtor exacto tal que es un cero en para cada objeto , entonces hay un funtor exacto único tal que . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {F}}\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F={\overline {F}}\circ Q}$

Dadas tres categorías abelianas , , , tenemos ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}\cong {\mathcal {C}}}$

Si y sólo si

existe un funtor exacto y esencialmente sobreyectivo cuyo núcleo es y tal que para cada morfismo en existen morfismos y en de modo que es un isomorfismo y . ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f:FX\to FY}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \phi :W\to X}$ ${\displaystyle \psi :W\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle F\phi }$ ${\displaystyle f=(F\psi )\circ (F\phi )^{-1}}$

Teoremas que involucran cocientes de Serre

Descripción de Serre de haces coherentes en un esquema proyectivo

Según un teorema de Jean-Pierre Serre , la categoría de haces coherentes en un esquema proyectivo (donde es un anillo graduado noetheriano conmutativo , graduado por los números enteros no negativos y generado por elementos de grado 0 y un número finito de elementos de grado 1, y se refiere a la construcción Proj ) puede describirse como el cociente de Serre. ${\displaystyle \operatorname {coh} (X)}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$

$${\displaystyle \operatorname {coh} (X)\cong \operatorname {mod} ^{\mathbb {Z}}(R)\ /\ \operatorname {mod} _{\mathrm {tor} }^{\mathbb {Z}}(R)}$$

donde denota la categoría de módulos graduados finitamente generados sobre y es la subcategoría de Serre que consiste en todos aquellos módulos graduados que son 0 en todos los grados que son suficientemente altos, es decir, para los cuales existe tal que para todos . ^{[4] [5]} ${\displaystyle \operatorname {mod} ^{\mathbb {Z}}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {mod} _{\mathrm {tor} }^{\mathbb {Z}}(R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n_{0}\in {\mathbb {N}}}$ ${\displaystyle M_{n}=0}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$

Existe una descripción similar para la categoría de haces cuasi-coherentes en , incluso si no es noetheriana. ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle R}$

Teorema de Gabriel-Popescu

El teorema de Gabriel-Popescu establece que cualquier categoría de Grothendieck es equivalente a un cociente de Serre de la forma , donde denota la categoría abeliana de módulos rectos sobre algún anillo unital , y es alguna subcategoría localizadora de . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)/{\cal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$

Teorema de localización de Quillen

La teoría K algebraica de Daniel Quillen asigna a cada categoría exacta una secuencia de grupos abelianos , y esta asignación es funcional en . Quillen demostró que, si es una subcategoría de Serre de la categoría abeliana , existe una secuencia exacta larga de la forma ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle K_{n}({\mathcal {C}}),\ n\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle \cdots \to K_{n}({\mathcal {B}})\to K_{n}({\mathcal {A}})\to K_{n}({\mathcal {A/B}})\to K_{n-1}({\mathcal {B}})\to \cdots \to K_{0}({\mathcal {A/B}})\to 0}$$

Referencias

1. Sección 12.10 El Proyecto Stacks
2. "109.76 La categoría de módulos módulo de torsión". El Proyecto Stacks .
3. Gabriel, Pierre, Des categorías abeliennes , Bull. Soc. Math. Francia 90 (1962), 323-448.
4. Görtz, Ulrich; Wedhorn, Torsten (2020). "Observación 13.21". Geometría algebraica I: esquemas: con ejemplos y ejercicios (2.ª ed.). Springer Nature. pág. 381. ISBN 9783658307332.
5. "Proposición 30.14.4". El Proyecto Stacks .
6. N. Popesco; P. Gabriel (1964). "Caracterización de las categorías abeliennes avec générateurs et limites inductivos exactos". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 258 : 4188–4190.
7. Quillen, Daniel (1973). "Teoría K algebraica superior: I" (PDF) . Teorías K superiores . Apuntes de clase de matemáticas. 341. Springer: 85–147. doi :10.1007/BFb0067053. ISBN. 978-3-540-06434-3.