Esqueleto (teoría de categorías)

Construcción matemática en la teoría de categorías

En matemáticas , un esqueleto de una categoría es una subcategoría que, en términos generales, no contiene ningún isomorfismo extraño . En cierto sentido, el esqueleto de una categoría es la categoría equivalente "más pequeña" , que captura todas las "propiedades categóricas" del original. De hecho, dos categorías son equivalentes si y solo si tienen esqueletos isomorfos . Una categoría se llama esquelética si los objetos isomorfos son necesariamente idénticos.

Definición

Un esqueleto de una categoría C es una categoría equivalente D en la que los objetos isomorfos son iguales. Normalmente, se considera que un esqueleto es una subcategoría D de C tal que:

• La inclusión de D en C es plena y esencialmente sobreyectiva , y

• D es esquelético: dos objetos isomorfos de D son iguales.

Existencia y singularidad

Es un hecho básico que cada categoría pequeña tiene un esqueleto; más generalmente, cada categoría accesible tiene un esqueleto. ^{[ cita requerida ]} (Esto es equivalente al axioma de elección ). Además, aunque una categoría puede tener muchos esqueletos distintos, dos esqueletos cualesquiera son isomorfos como categorías , por lo que hasta el isomorfismo de categorías, el esqueleto de una categoría es único .

La importancia de los esqueletos proviene del hecho de que son (salvo isomorfismo de categorías), representantes canónicos de las clases de equivalencia de categorías bajo la relación de equivalencia de equivalencia de categorías . Esto se desprende del hecho de que cualquier esqueleto de una categoría C es equivalente a C , y que dos categorías son equivalentes si y solo si tienen esqueletos isomorfos.

Ejemplos

• La categoría Conjunto de todos los conjuntos tiene como esqueleto la subcategoría de todos los números cardinales .
• La categoría K -Vect de todos los espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo tiene como esqueleto la subcategoría que consiste en todas las potencias , donde α es cualquier número cardinal ; para cualquier m y n finitos , los mapas son exactamente las matrices n × m con entradas en K. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{(\alpha )}}$ ${\displaystyle K^{m}\to K^{n}}$
• FinSet , la categoría de todos los conjuntos finitos , tienecomo esqueleto a FinOrd , la categoría de todos los números ordinales finitos.
• La categoría de todos los conjuntos bien ordenados tiene como esqueleto la subcategoría de todos los números ordinales .
• Un preorden , es decir, una categoría pequeña tal que para cada par de objetos , el conjunto tiene un elemento o está vacío, tiene un conjunto parcialmente ordenado como esqueleto. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle {\mbox{Hom}}(A,B)}$

Véase también

• Glosario de teoría de categorías
• Categoría delgada

Referencias

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst y Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas. Publicado originalmente por John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6 . (ahora edición gratuita en línea)
• Robert Goldblatt (1984). Topoi, el análisis categórico de la lógica (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, 98). Holanda Septentrional. Reimpreso en 2006 por Dover Publications.