Isomorfismo de categorías

Relación de categorías en la teoría de categorías

En teoría de categorías , dos categorías C y D son isomorfas si existen funtores F  : C → D y G  : D → C que son mutuamente inversos entre sí, es decir, FG = 1 _D (el funtor identidad en D ) y GF = 1 _C . ^[1] Esto significa que tanto los objetos como los morfismos de C y D se corresponden uno a uno entre sí. Dos categorías isomorfas comparten todas las propiedades que se definen únicamente en términos de teoría de categorías; para todos los fines prácticos, son idénticas y difieren solo en la notación de sus objetos y morfismos.

El isomorfismo de categorías es una condición muy fuerte y rara vez se cumple en la práctica. Mucho más importante es la noción de equivalencia de categorías ; en términos generales, para una equivalencia de categorías no requerimos que sea igual a , sino solo naturalmente isomorfo a , y asimismo que sea naturalmente isomorfo a . ${\displaystyle FG}$ ${\displaystyle 1_{D}}$ ${\displaystyle 1_{D}}$ ${\displaystyle GF}$ ${\displaystyle 1_{C}}$

Propiedades

Como ocurre con cualquier noción de isomorfismo , tenemos las siguientes propiedades generales formalmente similares a una relación de equivalencia :

• Cualquier categoría C es isomorfa a sí misma.
• Si C es isomorfo a D , entonces D es isomorfo a C
• Si C es isomorfo a D y D es isomorfo a E , entonces C es isomorfo a E .

Un funtor F  : C → D produce un isomorfismo de categorías si y sólo si es biyectivo sobre objetos y sobre conjuntos de morfismos . ^[1] Este criterio puede ser conveniente ya que evita la necesidad de construir el funtor inverso G .

Ejemplos

• Considérese un grupo finito G , un cuerpo k y el álgebra de grupo kG . La categoría de representaciones de grupo k -lineales de G es isomorfa a la categoría de módulos izquierdos sobre kG . El isomorfismo puede describirse de la siguiente manera: dada una representación de grupo ρ : G → GL( V ), donde V es un espacio vectorial sobre k , GL( V ) es el grupo de sus automorfismos k -lineales y ρ es un homomorfismo de grupo , convertimos V en un módulo kG izquierdo definiendo para cada v en V y cada elemento Σ a _g g en kG . $${\displaystyle \left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)}$$
  Por el contrario, dado un módulo kG izquierdo M , entonces M es un espacio vectorial k , y la multiplicación con un elemento g de G produce un automorfismo k -lineal de M (ya que g es invertible en kG ), que describe un homomorfismo de grupo G → GL( M ). (Aún quedan varias cosas por comprobar: ambas asignaciones son funtores, es decir, se pueden aplicar a aplicaciones entre representaciones de grupos respectivamente módulos kG , y son inversas entre sí, tanto en objetos como en morfismos). Véase también Teoría de la representación de grupos finitos § Representaciones, módulos y álgebra de convolución .
• Cada anillo puede considerarse como una categoría preaditiva con un único objeto. La categoría de funtores de todos los funtores aditivos de esta categoría a la categoría de grupos abelianos es isomorfa a la categoría de módulos izquierdos sobre el anillo.
• Otro isomorfismo de categorías surge en la teoría de las álgebras de Boole : la categoría de las álgebras de Boole es isomorfa a la categoría de los anillos de Boole . Dada una álgebra de Boole B , convertimos B en un anillo de Boole utilizando la diferencia simétrica como adición y la operación de encuentro como multiplicación. Por el contrario, dado un anillo de Boole R , definimos la operación de unión por a b = a + b + ab , y la operación de encuentro como multiplicación. Nuevamente, ambas asignaciones se pueden extender a morfismos para producir funtores, y estos funtores son inversos entre sí. ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \lor }$
• Si C es una categoría con un objeto inicial s, entonces la categoría de porción ( s ↓ C ) es isomorfa a C . Dualmente , si t es un objeto terminal en C , la categoría de funtor ( C ↓ t ) es isomorfa a C . De manera similar, si 1 es la categoría con un objeto y solo su morfismo identidad (de hecho, 1 es la categoría terminal ), y C es cualquier categoría, entonces la categoría de funtor C ¹ , con objetos funtores c : 1 → C , seleccionando un objeto c ∈Ob( C ), y flechas transformaciones naturales f : c → d entre estos funtores, seleccionando un morfismo f : c → d en C , es nuevamente isomorfa a C .

Véase también

• Equivalencia de categorías

Referencias

1. Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 5 (2.ª ed.). Springer-Verlag. pág. 14. ISBN 0-387-98403-8.Señor 1712872  .