En matemáticas , la teoría de Galois de Grothendieck es un enfoque abstracto de la teoría de campos de Galois, desarrollada alrededor de 1960 para proporcionar una forma de estudiar el grupo fundamental de la topología algebraica en el contexto de la geometría algebraica . Proporciona, en el contexto clásico de la teoría de campos , una perspectiva alternativa a la de Emil Artin basada en el álgebra lineal , que se convirtió en estándar a partir de aproximadamente la década de 1930.
El enfoque de Alexander Grothendieck se ocupa de las propiedades de teoría de categorías que caracterizan las categorías de los G -conjuntos finitos para un grupo profinito fijo G . Por ejemplo, G podría ser el grupo denotado (véase entero profinito ), que es el límite inverso de los grupos aditivos cíclicos Z / n Z —o equivalentemente la completitud del grupo cíclico infinito Z para la topología de subgrupos de índice finito . Un G -conjunto finito es entonces un conjunto finito X sobre el que G actúa a través de un grupo cíclico finito cociente, de modo que se especifica dando alguna permutación de X .
En el ejemplo anterior, se puede ver una conexión con la teoría clásica de Galois al considerar como el grupo de Galois profinito Gal( F / F ) de la clausura algebraica F de cualquier cuerpo finito F , sobre F . Es decir, los automorfismos de F que fijan F se describen por el límite inverso, a medida que tomamos cuerpos de división finitos cada vez más grandes sobre F . La conexión con la geometría se puede ver cuando observamos los espacios de recubrimiento del disco unidad en el plano complejo con el origen eliminado: el recubrimiento finito realizado por la función z n del disco, pensado por medio de una variable numérica compleja z , corresponde al subgrupo n . Z del grupo fundamental del disco perforado.
La teoría de Grothendieck, publicada en SGA1 , muestra cómo reconstruir la categoría de G -conjuntos a partir de un funtor de fibra Φ, que en el contexto geométrico toma la fibra de una cubierta por encima de un punto base fijo (como conjunto). De hecho, hay un isomorfismo demostrado del tipo
siendo este último el grupo de automorfismos ( equivalencias autonaturales ) de Φ. Se da una clasificación abstracta de categorías con un funtor a la categoría de conjuntos, por medio de la cual se pueden reconocer categorías de G -conjuntos para G profinitos.
Para ver cómo se aplica esto al caso de los campos, hay que estudiar el producto tensorial de los campos . En la teoría de topos, esto forma parte del estudio de los topos atómicos .
