Conjunto de cohomotopía

En matemáticas , particularmente en topología algebraica , los conjuntos de cohomotopía son funtores contravariantes particulares de la categoría de espacios topológicos puntiagudos y aplicaciones continuas que preservan el punto base de la categoría de conjuntos y funciones . Son duales a los grupos de homotopía , pero menos estudiados.

Descripción general

El p -ésimo conjunto de cohomotopía de un espacio topológico puntiagudo X se define por

${\displaystyle \pi ^{p}(X)=[X,S^{p}]}$

el conjunto de clases de homotopía puntiagudas de aplicaciones continuas de a la p - esfera . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{p}}$

Para p = 1, este conjunto tiene una estructura de grupo abeliano y se denomina grupo de Bruschlinsky . Si es un complejo CW , es isomorfo al primer grupo de cohomología , ya que el círculo es un espacio de Eilenberg–MacLane de tipo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X)}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$

Un teorema de Heinz Hopf establece que si es un complejo CW de dimensión como máximo p , entonces está en biyección con el p -ésimo grupo de cohomología . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [X,S^{p}]}$ ${\displaystyle H^{p}(X)}$

El conjunto también tiene una estructura de grupo natural si es una suspensión , como por ejemplo una esfera . ${\displaystyle [X,S^{p}]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma Y}$ ${\displaystyle S^{q}}$ ${\displaystyle q\geq 1}$

Si X no es homotópicamente equivalente a un complejo CW, entonces podría no ser isomorfo a . Un contraejemplo lo da el círculo de Varsovia , cuyo primer grupo de cohomología se anula, pero admite una función para la cual no es homotópica a una función constante. ^[2] ${\displaystyle H^{1}(X)}$ ${\displaystyle [X,S^{1}]}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Propiedades

Algunos datos básicos sobre los conjuntos de cohomotopía, algunos más obvios que otros:

• ${\displaystyle \pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})}$para todos p y q .
• Para y , el grupo es igual a . (Para demostrar este resultado, Lev Pontryagin desarrolló el concepto de cobordismo enmarcado .) ${\displaystyle q=p+1}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle \pi ^{p}(S^{q})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
• Si tiene para todo x , entonces , y la homotopía es suave si f y g lo son. ${\displaystyle f,g\colon X\to S^{p}}$ ${\displaystyle \|f(x)-g(x)\|<2}$ ${\displaystyle [f]=[g]}$
• Para una variedad compacta y suave , es isomorfa al conjunto de clases de homotopía de mapas suaves ; en este caso, cada mapa continuo puede ser aproximado uniformemente por un mapa suave y cualquier mapa suave homotópico será suavemente homotópico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi ^{p}(X)}$ ${\displaystyle X\to S^{p}}$
• Si es una variedad - , entonces para . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \pi ^{p}(X)=0}$ ${\displaystyle p>m}$
• Si es una variedad con borde , el conjunto está canónicamente en biyección con el conjunto de clases de cobordismo de subvariedades enmarcadas por codimensión - p del interior . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \pi ^{p}(X,\partial X)}$ ${\displaystyle X\setminus \partial X}$
• El grupo de cohomotopía estable de es el colimite ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{s}^{p}(X)=\varinjlim _{k}{[\Sigma ^{k}X,S^{p+k}]}}$

que es un grupo abeliano.

Historia

Los conjuntos de cohomotopía fueron introducidos por Karol Borsuk en 1936. ^[3] Edwin Spanier realizó un examen sistemático en 1949. ^[4] Franklin P. Peterson definió los grupos de cohomotopía estables en 1956. ^[5]

Referencias

1. "Grupo de cohomotopia", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
2. "El círculo polaco y algunas de sus propiedades inusuales". Apuntes de clase de Matemáticas 205B-2012, Universidad de California Riverside. Consultado el 16 de noviembre de 2023. Véase también el diagrama adjunto "Construcciones sobre el círculo polaco"
3. K. Borsuk, Continúa Sur les groupes des Classes de Transformations , Comptes Rendue de Academie de Science. París 202 (1936), núm. 1400-1403, 2
4. E. Spanier, Grupos de cohomotopía de Borsuk , Anales de Matemáticas. Segunda serie 50 (1949), 203–245. MR 29170 https://doi.org/10.2307/1969362 https://www.jstor.org/stable/1969362
5. FP Peterson, Grupos de cohomotopía generalizados , American Journal of Mathematics 78 (1956), 259–281. MR 0084136