Conjetura de Sullivan

Conjetura matemática

En matemáticas , la conjetura de Sullivan o la conjetura de Sullivan sobre aplicaciones de espacios clasificadores puede referirse a cualquiera de los varios resultados y conjeturas impulsados ​​por el trabajo de teoría de homotopía de Dennis Sullivan . Un tema y motivación básicos se refieren al conjunto de puntos fijos en acciones grupales de un grupo finito . La formulación más elemental, sin embargo, es en términos del espacio clasificador de dicho grupo. En términos generales, es difícil mapear dicho espacio de manera continua en un complejo CW finito de una manera no trivial. Esta versión de la conjetura de Sullivan fue probada por primera vez por Haynes Miller . ^[1] Específicamente, en 1984, Miller demostró que el espacio de funciones , que lleva la topología compacta-abierta , de aplicaciones que preservan el punto base de a es débilmente contráctil . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle X}$

Esto es equivalente a la afirmación de que la función → de X al espacio de funciones de funciones → , no necesariamente conservando el punto base, dada al enviar un punto de a la función constante cuya imagen es es una equivalencia débil . El espacio de funciones es un ejemplo de un conjunto de puntos fijos de homotopía. Específicamente, es el conjunto de puntos fijos de homotopía del grupo que actúa por la acción trivial sobre . En general, para un grupo que actúa sobre un espacio , los puntos fijos de homotopía son los puntos fijos del espacio de funciones de funciones de la cobertura universal de a bajo la -acción sobre dada por en actúa sobre una función en enviándola a . La función -equivariante de a un solo punto induce una función natural η: → de los puntos fijos a los puntos fijos de homotopía de actuando sobre . El teorema de Miller es que η es una equivalencia débil para -acciones triviales sobre complejos CW de dimensión finita. Un ingrediente importante y una motivación para su prueba es el resultado de Gunnar Carlsson sobre la homología de como un módulo inestable sobre el álgebra de Steenrod . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(BG,X)}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F(BG,X)}$ ${\displaystyle F(BG,X)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$ ${\displaystyle F(EG,X)}$ ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F(EG,X)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(EG,X)}$ ${\displaystyle gfg^{-1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle X^{G}=F(*,X)^{G}}$ ${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BZ/2}$

El teorema de Miller se generaliza a una versión de la conjetura de Sullivan en la que se permite que la acción sobre no sea trivial. En, ^[3] Sullivan conjeturó que η es una equivalencia débil después de un cierto procedimiento de p-completación debido a A. Bousfield y D. Kan para el grupo . Esta conjetura era incorrecta como se indicó, pero Miller dio una versión correcta, y fue probada independientemente por Dwyer-Miller-Neisendorfer, ^[4] Carlsson, ^[5] y Jean Lannes , ^[6] mostrando que la función natural → es una equivalencia débil cuando el orden de es una potencia de un primo p, y donde denota la p-completación de Bousfield-Kan de . La prueba de Miller involucra una secuencia espectral inestable de Adams , la prueba de Carlsson usa su solución afirmativa de la conjetura de Segal y también proporciona información sobre los puntos fijos de homotopía antes de la completación, y la prueba de Lannes involucra su T-functor. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G=Z/2}$ ${\displaystyle (X^{G})_{p}}$ ${\displaystyle F(EG,(X)_{p})^{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (X)_{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$

Referencias

1. Miller, Haynes (1984). "La conjetura de Sullivan sobre mapas a partir de espacios clasificadores". Anales de Matemáticas . 120 (1): 39–87. doi :10.2307/2007071. JSTOR  2007071.
2. Carlsson, Gunnar (1983). "Conjetura del anillo de Burnside de GB Segal para (Z/2)^k". Topología . 22 (1): 83–103. doi : 10.1016/0040-9383(83)90046-0 .
3. Sullivan, Denis (1971). Topología geométrica. Parte I. Cambridge, MA: Massachusetts Institute of Technology Press. pág. 432.
4. Dwyer, William; Haynes Miller; Joseph Neisendorfer (1989). "Completado por fibras y secuencias espectrales inestables de Adams". Revista israelí de matemáticas . 66 (1–3): 160–178. doi : 10.1007/bf02765891 .
5. Carlsson, Gunnar (1991). "Homotopía estable equivariante y conjetura de Sullivan". Inventiones Mathematicae . 103 : 497–525. doi : 10.1007/bf01239524 .
6. Lannes, Jean (1992). "Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d'un p-groupe abélien élémentaire". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 75 : 135–244. doi :10.1007/bf02699494.
7. Schwartz, Lionel (1994). Módulos inestables sobre el álgebra de Steenrod y la conjetura del conjunto de punto fijo de Sullivan . Chicago y Londres: The University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-74203-8.

Enlaces externos

• Gottlieb, Daniel H. (2001) [1994], "Conjetura de Sullivan", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Extracto del libro
• Notas del curso de J. Lurie