La conjetura de Segal

Teorema de la teoría de la homotopía

La conjetura del anillo de Burnside de Segal , o, más brevemente, la conjetura de Segal , es un teorema de la teoría de la homotopía , una rama de las matemáticas . El teorema relaciona el anillo de Burnside de un grupo finito G con la cohomotopía estable del espacio clasificador BG . La conjetura fue formulada a mediados de la década de 1970 por Graeme Segal y demostrada en 1984 por Gunnar Carlsson . Esta afirmación todavía se conoce comúnmente como la conjetura de Segal, aunque ahora tiene el estatus de teorema.

Enunciado del teorema

La conjetura de Segal tiene varias formulaciones diferentes, no todas equivalentes. He aquí una forma débil: existe, para cada grupo finito G , un isomorfismo

${\displaystyle \varprojlim \pi _{S}^{0}\left(BG_{+}^{(k)}\right)\to {\widehat {A}}(G).}$

Aquí, lim denota el límite inverso , π _S * denota el anillo de cohomotopía estable, B denota el espacio de clasificación, el superíndice k denota el esqueleto k y el subíndice + denota la adición de un punto base disjunto. En el lado derecho, el sombrero denota la finalización del anillo de Burnside con respecto a su ideal de aumento .

El anillo de Burnside

El anillo de Burnside de un grupo finito G se construye a partir de la categoría de G -conjuntos finitos como un grupo de Grothendieck . Más precisamente, sea M ( G ) el monoide conmutativo de clases de isomorfismo de G -conjuntos finitos, con adición de la unión disjunta de G -conjuntos y elemento identidad el conjunto vacío (que es un G -conjunto de una manera única). Entonces A ( G ), el grupo de Grothendieck de M ( G ), es un grupo abeliano. De hecho, es un grupo abeliano libre con elementos base representados por los G -conjuntos G / H , donde H varía sobre los subgrupos de G . (Nótese que aquí no se supone que H sea un subgrupo normal de G , porque si bien G / H no es un grupo en este caso, sigue siendo un G -conjunto). La estructura del anillo en A ( G ) se induce por el producto directo de G -conjuntos; La identidad multiplicativa es la (clase de isomorfismo de cualquier) conjunto de un punto, que se convierte en un G -conjunto de manera única.

El anillo de Burnside es el análogo del anillo de representación en la categoría de conjuntos finitos, a diferencia de la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo (véase la motivación a continuación). Ha demostrado ser una herramienta importante en la teoría de la representación de grupos finitos.

El espacio clasificatorio

Para cualquier grupo topológico G que admita la estructura de un complejo CW , se puede considerar la categoría de los fibrados G principales . Se puede definir un funtor desde la categoría de complejos CW hasta la categoría de conjuntos asignando a cada complejo CW X el conjunto de fibrados G principales en X. Este funtor desciende a un funtor en la categoría de homotopía de complejos CW, y es natural preguntar si el funtor así obtenido es representable . La respuesta es afirmativa, y el objeto de representación se denomina espacio clasificador del grupo G y típicamente se denota BG . Si restringimos nuestra atención a la categoría de homotopía de complejos CW, entonces BG es único. Cualquier complejo CW que sea homotópicamente equivalente a BG se denomina modelo para BG .

Por ejemplo, si G es el grupo de orden 2, entonces un modelo para BG es un espacio proyectivo real de dimensión infinita. Se puede demostrar que si G es finito, entonces cualquier modelo complejo CW de BG tiene celdas de dimensión arbitrariamente grande. Por otro lado, si G = Z , los enteros, entonces el espacio de clasificación BG es homotópicamente equivalente al círculo S ¹ .

Motivación e interpretación

El contenido del teorema se vuelve algo más claro si se lo coloca en su contexto histórico. En la teoría de representaciones de grupos finitos, se puede formar un objeto llamado anillo de representación de una manera completamente análoga a la construcción del anillo de Burnside delineada anteriormente. La cohomotopía estable es en cierto sentido el análogo natural de la teoría K compleja , que se denota . Segal se inspiró para hacer su conjetura después de que Michael Atiyah demostrara la existencia de un isomorfismo ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle KU^{*}}$

${\displaystyle KU^{0}(BG)\to {\widehat {R}}[G]}$

que es un caso especial del teorema de completitud de Atiyah-Segal .

Referencias

• Adams, J. Frank (1980). "Conjetura del anillo de Burnside de Graeme Segal". Simposio de Topología, Siegen 1979. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 788. Berlín: Springer. págs. 378–395. MR  0585670.
• Carlsson, Gunnar (1984). "Homotopía estable equivariante y conjetura del anillo de Burnside de Segal". Anales de Matemáticas . 120 (2): 189–224. doi :10.2307/2006940. JSTOR  2006940. MR  0763905.