Teoría de la homotopía

Rama de las matemáticas

En matemáticas , la teoría de la homotopía es un estudio sistemático de situaciones en las que los mapas pueden tener homotopías entre sí. Se originó como un tema de la topología algebraica , pero hoy en día se estudia como una disciplina independiente.

Aplicaciones a otros campos de las matemáticas

Además de la topología algebraica, la teoría también se ha utilizado en otras áreas de las matemáticas como:

• Geometría algebraica (p. ej., teoría de ^homotopía A1 )
• Teoría de categorías (específicamente el estudio de categorías superiores )

Conceptos

Espacios y mapas

En la teoría de homotopía y topología algebraica, la palabra "espacio" denota un espacio topológico . Para evitar patologías , rara vez se trabaja con espacios arbitrarios; en cambio, se requieren espacios que cumplan con restricciones adicionales, como ser Hausdorff débil generado de manera compacta o un complejo CW .

En la misma línea que el anterior, un " mapa " es una función continua, posiblemente con algunas restricciones adicionales.

A menudo, se trabaja con un espacio apuntado , es decir, un espacio con un "punto distinguido", llamado punto base. Una función apuntada es entonces una función que conserva los puntos base; es decir, envía el punto base del dominio al del codominio. Por el contrario, una función libre es una que no necesita conservar los puntos base.

El producto cartesiano de dos espacios apuntados no es naturalmente apuntado. Un sustituto es el producto de ruptura que se caracteriza por la relación adjunta ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X\wedge Y}$

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\wedge Y,Z)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$,

es decir, un producto de aplastamiento es un análogo de un producto tensorial en álgebra abstracta (ver adjunción tensorial-hom ). Explícitamente, es el cociente de por la suma de cuña . ${\displaystyle X\wedge Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\vee Y}$

Homotopía

Sea I el intervalo unitario . Un mapa ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle h:X\times I\to Y}$

se llama homotopía del mapa al mapa , donde . Intuitivamente, podemos pensar en como un camino del mapa al mapa . De hecho, se puede demostrar que una homotopía es una relación de equivalencia . Cuando X , Y son espacios puntiagudos, se requiere que los mapas preserven el punto base y la homotopía se llama homotopía basada. Una homotopía basada es lo mismo que un mapa (basado) donde está junto con un punto base disjunto. ^[1] ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{t}(x)=h(x,t)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X\wedge I_{+}\to Y}$ ${\displaystyle I_{+}}$ ${\displaystyle I}$

Dado un espacio puntiagudo X y un entero , sean las clases de homotopía de los mapas basados ​​de una n -esfera (puntiaguda) a X . Resulta que, ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \pi _{n}X=[S^{n},X]}$ ${\displaystyle S^{n}\to X}$ ${\displaystyle S^{n}}$

• para , son grupos llamados grupos de homotopía ; en particular, se llama grupo fundamental de X , ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \pi _{n}X}$ ${\displaystyle \pi _{1}X}$
• porque , son grupos abelianos según el argumento de Eckmann-Hilton , ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{n}X}$
• ${\displaystyle \pi _{0}X}$se puede identificar con el conjunto de componentes conectados por trayectorias en . ${\displaystyle X}$

Cada grupo es el grupo fundamental de algún espacio. ^[2]

Una función se denomina equivalencia de homotopía si existe otra función tal que y son ambas homotópicas a las identidades. Se dice que dos espacios son equivalentes de homotopía si existe una equivalencia de homotopía entre ellos. Una clase de espacios de equivalencia de homotopía se denomina entonces tipo de homotopía . Existe una noción más débil: se dice que una función es una equivalencia de homotopía débil si es un isomorfismo para cada una de las opciones de un punto base. Una equivalencia de homotopía es una equivalencia de homotopía débil, pero no es necesario que lo inverso sea cierto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}:\pi _{n}(X)\to \pi _{n}(Y)}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

A través de la adjunción

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\times I,Y)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (I,Y)),\,\,h\mapsto (x\mapsto h(x,\cdot ))}$,

Una homotopía a veces se considera como un mapa . ${\displaystyle h:X\times I\to Y}$ ${\displaystyle X\to Y^{I}=\operatorname {Map} (I,Y)}$

Complejo CW

Un complejo CW es un espacio que tiene una filtración cuya unión es y tal que ${\displaystyle X\supset \cdots \supset X^{n}\supset X^{n-1}\supset \cdots \supset X^{0}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X^{0}}$es un espacio discreto, llamado el conjunto de 0 celdas (vértices) en . ${\displaystyle X}$
2. Cada uno se obtiene uniendo varios n -discos, n -celdas, a través de mapas ; es decir, el límite de un n-disco se identifica con la imagen de en . ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle X^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n-1}\to X^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle X^{n-1}}$
3. Un subconjunto está abierto si y sólo si está abierto para cada . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\cap X^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Por ejemplo, una esfera tiene dos celdas: una celda 0 y una celda , ya que se puede obtener colapsando el límite del disco n a un punto. En general, cada variedad tiene el tipo de homotopía de un complejo CW; ^[3] de hecho, la teoría de Morse implica que una variedad compacta tiene el tipo de homotopía de un complejo CW finito. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

Sorprendentemente, el teorema de Whitehead dice que, para los complejos CW, una equivalencia de homotopía débil y una equivalencia de homotopía son la misma cosa.

Otro resultado importante es el teorema de aproximación. En primer lugar, la categoría de homotopía de los espacios es la categoría en la que un objeto es un espacio pero un morfismo es la clase de homotopía de una función.

Aproximación CW  —  ^[4] Existe un funtor (llamado funtor de aproximación CW)

${\displaystyle \Theta :\operatorname {Ho} ({\textrm {spaces}})\to \operatorname {Ho} ({\textrm {CW}})}$

de la categoría de homotopía de los espacios a la categoría de homotopía de los complejos CW así como una transformación natural

${\displaystyle \theta :i\circ \Theta \to \operatorname {Id} ,}$

donde , de modo que cada uno es una equivalencia de homotopía débil. ${\displaystyle i:\operatorname {Ho} ({\textrm {CW}})\hookrightarrow \operatorname {Ho} ({\textrm {spaces}})}$ ${\displaystyle \theta _{X}:i(\Theta (X))\to X}$

Afirmaciones similares también son válidas para pares y tríadas excisivas. ^{[5] [6]}

Explícitamente, el funtor de aproximación anterior puede definirse como la composición del funtor de cadena singular seguido por el funtor de realización geométrica; ver § Conjunto simplicial. ${\displaystyle S_{*}}$

El teorema anterior justifica un hábito común de trabajar únicamente con complejos CW. Por ejemplo, dado un espacio , se puede definir simplemente la homología de con la homología de la aproximación CW de (la estructura celular de un complejo CW determina la homología natural, la homología celular y que puede tomarse como la homología del complejo). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Cofibración y fibración

Un mapa se denomina cofibración si se da: ${\displaystyle f:A\to X}$

1. Un mapa , y ${\displaystyle h_{0}:X\to Z}$
2. Una homotopía ${\displaystyle g_{t}:A\to Z}$

tal que , existe una homotopía que extiende y tal que . Un ejemplo es una deformación de vecindad retract ; es decir, contiene una vecindad de cilindro de mapeo de un subespacio cerrado y la inclusión (por ejemplo, una vecindad tubular de una subvariedad cerrada). ^[7] De hecho, una cofibración se puede caracterizar como un par de deformación de vecindad retract . ^[8] Otro ejemplo básico es un par CW ; muchos a menudo trabajan solo con complejos CW y la noción de una cofibración allí es a menudo implícita. ${\displaystyle h_{0}\circ f=g_{0}}$ ${\displaystyle h_{t}:X\to Z}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,A)}$

Una fibración en el sentido de Hurewicz es la noción dual de una cofibración: es decir, un mapa es una fibración si dado (1) un mapa y (2) una homotopía tal que , existe una homotopía que extiende y tal que . ${\displaystyle p:X\to B}$ ${\displaystyle h_{0}:Z\to X}$ ${\displaystyle g_{t}:Z\to B}$ ${\displaystyle p\circ h_{0}=g_{0}}$ ${\displaystyle h_{t}:Z\to X}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}$

Mientras que una cofibración se caracteriza por la existencia de un retracto, una fibración se caracteriza por la existencia de una sección llamada elevación de trayectoria, como sigue. Sea el pull-back de una función a lo largo de , llamado espacio de trayectoria de función de . ^[9] Viéndolo como una homotopía (véase § Homotopía), si es una fibración, entonces da una homotopía ^[10] ${\displaystyle p':Np\to B^{I}}$ ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1):B^{I}\to B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle Np\times I\to B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p'}$

${\displaystyle s:Np\to E^{I}}$

de modo que donde se da por . ^[11] Esto se llama elevación de trayectoria asociada a . Por el contrario, si hay una elevación de trayectoria , entonces es una fibración ya que se obtiene una homotopía requerida mediante . ${\displaystyle s(e,\chi )(0)=e,\,(p^{I}\circ s)(e,\chi )=\chi }$ ${\displaystyle p^{I}:E^{I}\to B^{I}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$

Un ejemplo básico de una fibración es una función de recubrimiento , ya que viene con una elevación de trayectoria única. Si es un fibrado principal G sobre un espacio paracompacto, es decir, un espacio con una acción de grupo (topológica) libre y transitiva de un grupo ( topológico ), entonces la función de proyección es una fibración, porque una fibración de Hurewicz se puede verificar localmente en un espacio paracompacto. ^[12] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p:E\to X}$

Mientras que una cofibración es inyectiva con imagen cerrada, ^[13] una fibración no necesita ser sobreyectiva.

También existen versiones basadas de una cofibración y una fibración (es decir, se requiere que los mapas estén basados). ^[14]

Propiedad de elevación

Se dice que un par de mapas satisface la propiedad de elevación ^[15] si para cada diagrama cuadrado conmutativo ${\displaystyle i:A\to X}$ ${\displaystyle p:E\to B}$

Hay un mapa que hace que el diagrama anterior siga conmutando. (La noción se origina en la teoría de categorías de modelos ). ${\displaystyle \lambda }$

Sea una clase de mapas. Entonces se dice que un mapa satisface la propiedad de sustentación derecha o la RLP si satisface la propiedad de sustentación anterior para cada en . De manera similar, se dice que un mapa satisface la propiedad de sustentación izquierda o la LLP si satisface la propiedad de sustentación para cada en . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle i:A\to X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Por ejemplo, una fibración de Hurewicz es exactamente una función que satisface el RLP para las inclusiones . Una fibración de Serre es una función que satisface el RLP para las inclusiones donde es el conjunto vacío. Una fibración de Hurewicz es una fibración de Serre y lo inverso se cumple para los complejos CW. ^[16] ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle i_{0}:A\to A\times I}$ ${\displaystyle i:S^{n-1}\to D^{n}}$ ${\displaystyle S^{-1}}$

Por otra parte, una cofibración es exactamente un mapa que satisface la LLP para mapas de evaluación en . ${\displaystyle p:B^{I}\to B}$ ${\displaystyle 0}$

Bucle y suspensión

En la categoría de espacios apuntados, hay dos funtores importantes: el funtor de bucle y el funtor de suspensión (reducido) , que se encuentran en la relación adjunta . Precisamente, se definen como ^[17] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Sigma }$

• ${\displaystyle \Omega X=\operatorname {Map} (S^{1},X)}$, y
• ${\displaystyle \Sigma X=X\wedge S^{1}}$.

Debido a la relación adjunta entre un producto smash y un espacio de aplicación, tenemos:

${\displaystyle \operatorname {Map} (\Sigma X,Y)=\operatorname {Map} (X,\Omega Y).}$

Estos funtores se utilizan para construir secuencias de fibras y secuencias de cofibras . Es decir, si es un mapa, la secuencia de fibras generada por es la secuencia exacta ^[18] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \cdots \to \Omega ^{2}Ff\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega Ff\to \Omega X\to \Omega Y\to Ff\to X\to Y}$

donde es la fibra de homotopía de ; es decir, una fibra obtenida después de reemplazar por una fibración (basada). La secuencia de cofibración generada por es donde es la cofibra homotópica de construida como una fibra de homotopía (use un cociente en lugar de una fibra). ${\displaystyle Ff}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\to Y\to Cf\to \Sigma X\to \cdots ,}$ ${\displaystyle Cf}$ ${\displaystyle f}$

Los funtores se restringen a la categoría de complejos CW en el siguiente sentido débil: un teorema de Milnor dice que si tiene el tipo de homotopía de un complejo CW, entonces también lo tiene su espacio de bucles . ^[19] ${\displaystyle \Omega ,\Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

Espacios de clasificación y operaciones de homotopía

Dado un grupo topológico G , el espacio de clasificación para los fibrados G principales ("el" hasta la equivalencia) es un espacio tal que, para cada espacio X , ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle [X,BG]=}${fibrado principal G en X } / ~ ${\displaystyle ,\,\,[f]\mapsto [f^{*}EG]}$

dónde

• El lado izquierdo es el conjunto de clases de homotopía de mapas , ${\displaystyle X\to BG}$
• ~ se refiere al isomorfismo de haces, y
• = se da retirando el fibrado distinguido ( llamado fibrado universal) a lo largo de una función . ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle X\to BG}$

El teorema de representabilidad de Brown garantiza la existencia de espacios de clasificación.

Espectro y cohomología generalizada

La idea de que un espacio de clasificación clasifica los fibrados principales puede llevarse más lejos. Por ejemplo, se podría intentar clasificar las clases de cohomología: dado un grupo abeliano A (como ), ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle [X,K(A,n)]=\operatorname {H} ^{n}(X;A)}$

donde es el espacio de Eilenberg–MacLane . La ecuación anterior conduce a la noción de una teoría de cohomología generalizada; es decir, un funtor contravariante de la categoría de espacios a la categoría de grupos abelianos que satisface los axiomas que generalizan la teoría de cohomología ordinaria. Resulta que un funtor de este tipo puede no ser representable por un espacio, pero siempre puede representarse por una secuencia de espacios (apuntados) con funciones de estructura llamadas espectro. En otras palabras, dar una teoría de cohomología generalizada es dar un espectro. Una K-teoría es un ejemplo de una teoría de cohomología generalizada. ${\displaystyle K(A,n)}$

Un ejemplo básico de espectro es el espectro esférico : ${\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }$

Espectro de anillo y espectro de módulo

Teoremas clave

• Teorema de Seifert-van Kampen
• Teorema de escisión de homotopía
• Teorema de suspensión de Freudenthal (un corolario del teorema de escisión)
• Teorema del funtor exacto de Landweber
• Correspondencia Dold-Kan
• Argumento de Eckmann-Hilton : esto muestra, por ejemplo, que los grupos de homotopía superior son abelianos .
• Teorema del coeficiente universal
• Teorema de Dold-Thom

Teoría de la obstrucción y clase característica

Véase también: Clase característica , Torre Postnikov , Torsión de Whitehead

Localización y finalización de un espacio

Teorías específicas

Hay varias teorías específicas

• teoría de homotopía simple
• teoría de homotopía estable
• teoría de la homotopía cromática
• teoría de la homotopía racional
• teoría de homotopía p-ádica
• teoría de homotopía equivariante

Hipótesis de homotopía

Una de las cuestiones básicas en los fundamentos de la teoría de la homotopía es la naturaleza de un espacio. La hipótesis de la homotopía plantea la pregunta de si un espacio es algo fundamentalmente algebraico.

Si se prefiere trabajar con un espacio en lugar de un espacio apuntado, existe la noción de grupoide fundamental (y variantes superiores): por definición, el grupoide fundamental de un espacio X es la categoría donde los objetos son los puntos de X y los morfismos son caminos.

Teoría abstracta de la homotopía

La teoría de la homotopía abstracta es un enfoque axiomático de la teoría de la homotopía. Dicha axiomatización es útil para aplicaciones no tradicionales de la teoría de la homotopía. Un enfoque de la axiomatización es mediante las categorías modelo de Quillen . Una categoría modelo es una categoría con una elección de tres clases de mapas llamados equivalencias débiles, cofibraciones y fibraciones, sujetas a los axiomas que recuerdan hechos en topología algebraica. Por ejemplo, la categoría de espacios topológicos (razonables) tiene una estructura de una categoría modelo donde una equivalencia débil es una equivalencia de homotopía débil, una cofibración un cierto retracto y una fibración una fibración de Serre. ^[20] Otro ejemplo es la categoría de complejos de cadena no graduados negativamente sobre un anillo base fijo. ^[21]

Conjunto simple

Un conjunto simplicial es una generalización abstracta de un complejo simplicial y puede desempeñar el papel de un "espacio" en algún sentido. A pesar del nombre, no es un conjunto sino una secuencia de conjuntos junto con ciertas funciones (cara y degeneración) entre esos conjuntos.

Por ejemplo, dado un espacio , para cada entero , sea el conjunto de todos los mapas desde el n -símplex hasta . Entonces la secuencia de conjuntos es un conjunto simplicial. ^[22] Cada conjunto simplicial tiene un complejo de cadena naturalmente asociado y la homología de ese complejo de cadena es la homología de . La homología singular de es precisamente la homología del conjunto simplicial . Además, la realización geométrica de un conjunto simplicial es un complejo CW y la composición es precisamente el funtor de aproximación CW. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle S_{n}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{n}X}$ ${\displaystyle K=\{K_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{*}X}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle X\mapsto |S_{*}X|}$

Otro ejemplo importante es una categoría o, más precisamente, el nervio de una categoría , que es un conjunto simplicial. De hecho, un conjunto simplicial es el nervio de alguna categoría si y solo si satisface las condiciones de Segal (un teorema de Grothendieck). Cada categoría está completamente determinada por su nervio. De esta manera, una categoría puede verse como un tipo especial de un conjunto simplicial, y esta observación se utiliza para generalizar una categoría. Es decir, una -categoría o un -grupoide se definen como tipos particulares de conjuntos simpliciales. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Dado que los conjuntos simpliciales son una especie de espacios abstractos (si no espacios topológicos), es posible desarrollar la teoría de homotopía sobre ellos, lo que se denomina teoría de homotopía simplicial . ^[22]

Véase también

• Espectro de anillo altamente estructurado
• Teoría de tipos de homotopía
• Persiguiendo pilas
• Teoría de la forma
• Pila de módulos de leyes de grupos formales
• Módulo cruzado

Referencias

1. Mayo, Cap. 8. § 3. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
2. Mayo, Cap. 4. § 5. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
3. Milnor 1959, Corolario 1. NB: "segundo contable" implica "separable".
4. Mayo, cap. 10, § 5 harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
5. Mayo, cap. 10, § 6 harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
6. Mayo, cap. 10, § 7 harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
7. Hatcher, Ejemplo 0.15.
8. Mayo, Cap. 6. § 4. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
9. Algunos autores utilizan . La definición que aparece aquí es de May, cap. 8, § 5. ${\displaystyle \chi \mapsto \chi (0)}$ harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
10. Mayo, Cap. 7., § 2. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
11. en la referencia debe ser . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{I}}$
12. Mayo, Cap. 7., § 4. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
13. Mayo, Cap. 6., Problema (1) harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
14. Mayo, Cap. 8. § 3. y § 5. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
15. May y Ponto, Definición 14.1.5. harvnb error: no target: CITEREFMayPonto (help)
16. "Una fibración de Serre entre complejos CW es una fibración de Hurewicz en nLab".
17. Mayo, Cap. 8, § 2. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
18. Mayo, Cap. 8, § 6. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
19. Milnor 1959, Teorema 3.
20. Dwyer y Spalinski, ejemplo 3.5. harvnb error: no target: CITEREFDwyerSpalinski (help)
21. Dwyer y Spalinski, ejemplo 3.7. harvnb error: no target: CITEREFDwyerSpalinski (help)
22. May, Cap. 16, § 4. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)

• May, J. Un curso conciso de topología algebraica
• JP May y K. Ponto, Topología algebraica más concisa: localización, completitud y categorías de modelos
• George William Whitehead (1978). Elementos de la teoría de la homotopía. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 61 (3.ª ed.). Nueva York-Berlín: Springer-Verlag. pp. xxi+744. ISBN. 978-0-387-90336-1. MR  0516508 . Consultado el 6 de septiembre de 2011 .
• Ronald Brown, Topología y grupoides (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8 . 
• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopical+algebra
• Teorías de homotopía y categorías de modelos por WG Dwyer y J. Spalinski en Handbook of Algebraic Topology editado por IM James
• Hatcher, Allen. "Topología algebraica".
• Milnor, John (1959). "Sobre espacios que tienen el tipo de homotopía de 𝐶𝑊-complejo". Transactions of the American Mathematical Society . 90 (2): 272–280. doi :10.1090/S0002-9947-1959-0100267-4. ISSN  0002-9947. S2CID  123048606.
• Edwin Spanier, Topología algebraica
• Dennis Sullivan. Genética de la teoría de la homotopía y la conjetura de Adams. Ann. of Math. (2), 100:1–79, 1974.

Lectura adicional

• Notas de Cisinski
• http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf
• Matemáticas 527 - Teoría de la homotopía Primavera de 2013, Sección F1, conferencias de Martin Frankland
• D. Quillen, Álgebra homotópica, Notas de clases de matemáticas, vol. 43, Springer Verlag, 1967.
• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory

Enlaces externos

"teoría de la homotopía". ncatlab.org .