Sistema Póstnikov

En matemáticas, una construcción topológica.

En la teoría de la homotopía , una rama de la topología algebraica , un sistema Postnikov (o torre Postnikov ) es una forma de descomponer los grupos de homotopía de un espacio topológico utilizando un sistema inverso de espacios topológicos cuyo tipo de homotopía en grado concuerda con el tipo de homotopía truncado del espacio originario . Los sistemas Postnikov fueron introducidos por Mikhail Postnikov y llevan su nombre . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

Definición

Un sistema Postnikov de un espacio conectado por caminos es un sistema inverso de espacios. ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *}$

con una secuencia de mapas compatibles con el sistema inverso tal que ${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$

1. El mapa induce un isomorfismo para cada . ${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})}$ ${\displaystyle i\leq n}$
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$para . ^{[1] : 410} ${\displaystyle i>n}$
3. Cada mapa es una fibración , por lo que la fibra es un espacio de Eilenberg- MacLane ,. ${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

Las dos primeras condiciones implican que también es un espacio. De manera más general, si está conectado, entonces es un espacio y todos son contraíbles . Tenga en cuenta que algunos autores solo incluyen la tercera condición de forma opcional. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{1}(X),1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i<n}$

Existencia

Los sistemas Postnikov existen en complejos CW conectados , ^{[1] : 354} y existe una equivalencia de homotopía débil entre y su límite inverso, por lo que ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_{n}}$,

mostrando que es una aproximación CW de su límite inverso. Se pueden construir en un complejo CW eliminando iterativamente grupos de homotopía. Si tenemos un mapa que representa una clase de homotopía , podemos realizar la expulsión a lo largo del mapa de límites , eliminando la clase de homotopía. Porque este proceso se puede repetir para todos , dando un espacio en el que hay grupos de homotopía que desaparecen . Utilizando el hecho de que se puede construir eliminando todos los mapas de homotopía , obtenemos un mapa . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}$ ${\displaystyle X_{m}}$ ${\displaystyle n>m}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}$ ${\displaystyle X_{n-1}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle S^{n}\to X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$

Propiedad principal

Una de las principales propiedades de la torre Postnikov, que la hace tan poderosa para estudiar mientras se calcula la cohomología, es el hecho de que los espacios son homotópicos a un complejo CW que se diferencia solo por las celdas de dimensión . ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \geq n+2}$

Clasificación homotópica de fibraciones.

La secuencia de fibraciones ^[2] tiene invariantes homotópicamente definidas, es decir, las clases de homotopía de mapas dan un tipo de homotopía bien definido . La clase de homotopía proviene de observar la clase de homotopía del mapa de clasificación de la fibra . El mapa de clasificación asociado es ${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle [X]\in \operatorname {Ob} (hTop)}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

${\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)}$,

por lo tanto, la clase de homotopía se clasifica mediante una clase de homotopía ${\displaystyle [p_{n}]}$

${\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}$

llamado el n º invariante de Postnikov de , ya que las clases de homotopía de mapas de espacios de Eilenberg-Maclane dan cohomología con coeficientes en el grupo abeliano asociado. ${\displaystyle X}$

Secuencia de fibras para espacios con dos grupos de homotopía no triviales

Uno de los casos especiales de la clasificación de homotopía es la clase de homotopía de espacios tales que existe una fibración. ${\displaystyle X}$

${\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}$

dando un tipo de homotopía con dos grupos de homotopía no triviales, y . Luego, de la discusión anterior, el mapa de fibración brinda una clase de cohomología en ${\displaystyle \pi _{1}(X)=G}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)=A}$ ${\displaystyle BG\to K(A,n+1)}$

${\displaystyle H^{n+1}(BG,A)}$,

que también puede interpretarse como una clase de cohomología grupal . Este espacio puede considerarse un sistema local superior . ${\displaystyle X}$

Ejemplos de torres Postnikov

Torre Postnikov de una K ( G , n )

Uno de los casos conceptualmente más simples de torre Postnikov es el del espacio Eilenberg-Maclane . Esto da una torre con ${\displaystyle K(G,n)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{for }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{for }}i\geq n\end{matrix}}}$

Torre Postnikov de S 2

La torre Postnikov de la esfera es un caso especial cuyos primeros términos pueden entenderse explícitamente. Dado que tenemos los primeros grupos de homotopía de la simple conexión de , teoría de grados de esferas y la fibración de Hopf, dando para , por lo tanto ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}$ ${\displaystyle k\geq 3}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}}$

Entonces, y proviene de una secuencia de retroceso. ${\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle X_{3}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}}$

que es un elemento en

${\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }$.

Si esto fuera trivial implicaría ... ¡Pero este no es el caso! De hecho, esto es responsable de por qué los grupoides infinitos estrictos no modelan tipos de homotopía. ^[3] Calcular esta invariante requiere más trabajo, pero se puede encontrar explícitamente. ^[4] Esta es la forma cuadrática procedente de la fibración de Hopf . Tenga en cuenta que cada elemento proporciona un tipo de homotopía 3 diferente. ${\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$ ${\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$

Grupos de homotopía de esferas.

Una aplicación de la torre Postnikov es el cálculo de grupos de esferas homotópicos . ^[5] Para una esfera -dimensional podemos usar el teorema de Hurewicz para demostrar que cada uno es contráctil para , ya que el teorema implica que los grupos de homotopía inferiores son triviales. Recuerde que existe una secuencia espectral para cualquier fibración de Serre , como la fibración ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S_{i}^{n}}$ ${\displaystyle i<n}$

${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)}$.

Entonces podemos formar una secuencia espectral homológica con términos ${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$.

Y el primer mapa no trivial de , ${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$,

escrito de manera equivalente como

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$.

Si es fácil de calcular y , entonces podemos obtener información sobre cómo se ve este mapa. En particular, si se trata de un isomorfismo, obtenemos un cálculo de . Para el caso , esto se puede calcular explícitamente usando la fibración de camino para , la propiedad principal de la torre Postnikov para (dando , y el teorema del coeficiente universal dando . Además, debido al teorema de suspensión de Freudenthal, esto en realidad da el grupo de homotopía estable ya que es estable para . ${\displaystyle H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)}$ ${\displaystyle H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}$ ${\displaystyle H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0}$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}$ ${\displaystyle \pi _{n+k}\left(S^{n}\right)}$ ${\displaystyle n\geq k+2}$

Tenga en cuenta que se pueden aplicar técnicas similares utilizando la torre Whitehead (abajo) para calcular y , dando los dos primeros grupos de esferas de homotopía estable no triviales. ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{5}\left(S^{3}\right)}$

Torres de espectros Postnikov

Además de la clásica torre Postnikov, existe una noción de torres Postnikov en la teoría de la homotopía estable construida sobre espectros ^{[6] páginas 85-86} .

Definición

Para un espectro, una torre de Postnikov es un diagrama en la categoría de espectros de homotopía, dado por ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})}$

${\displaystyle \cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}}$,

con mapas

${\displaystyle \tau _{n}:E\to E_{(n)}}$

desplazarse con los mapas. Entonces, esta torre es una torre Postnikov si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle p_{n}}$

1. ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0}$para , ${\displaystyle i>n}$
2. ${\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)}$es un isomorfismo para , ${\displaystyle i\leq n}$

donde son grupos de homotopía estables de un espectro. Resulta que cada espectro tiene una torre Postnikov y esta torre se puede construir utilizando un tipo de procedimiento inductivo similar al anterior. ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }}$

Torre de cabeza blanca

Dado un complejo CW , existe una construcción dual en la torre Postnikov llamada torre Whitehead . En lugar de eliminar todos los grupos de homotopía superior, la torre Whitehead elimina de forma iterativa los grupos de homotopía inferior. Esto está dado por una torre de complejos CW, ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$,

dónde

1. Los grupos de homotopía inferiores son cero, por lo que para . ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$ ${\displaystyle i\leq n}$
2. El mapa inducido es un isomorfismo para . ${\displaystyle \pi _{i}:\pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)}$ ${\displaystyle i>n}$
3. Los mapas son fibraciones con fibra . ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$

Trascendencia

Note que es la cubierta universal ya que es un espacio que cubre con una cubierta simplemente conectada. Además, cada uno es la cubierta universal conectada de . ${\displaystyle X_{1}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

Construcción

Los espacios de la torre Whitehead se construyen de forma inductiva. Si construimos a eliminando los grupos de homotopía superior en , ^[7] obtenemos una incrustación . si dejamos ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\right\}}$

para algún punto de base fijo , entonces el mapa inducido es un haz de fibras con fibras homeomórficas para ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}$

${\displaystyle \Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)}$,

y entonces tenemos una fibración Serre

${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}}$.

Usando la secuencia larga exacta en la teoría de la homotopía, tenemos que para , para y, finalmente, hay una secuencia exacta ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)}$ ${\displaystyle i\geq n+1}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}$ ${\displaystyle i<n-1}$

${\displaystyle 0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0}$,

donde si el morfismo medio es un isomorfismo, los otros dos grupos son cero. Esto se puede comprobar observando la inclusión y observando que el espacio de Eilenberg-Maclane tiene una descomposición celular. ${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}$; de este modo,

${\displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)}$,

dando el resultado deseado.

Como fibra homotópica

Otra forma de ver los componentes de la torre Whitehead es como una fibra homotópica . si tomamos

${\displaystyle {\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})}$

desde la torre Postnikov, obtenemos un espacio que tiene ${\displaystyle X^{n}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}}$

Torre Whitehead de espectros

La noción dual de la torre Whitehead se puede definir de manera similar utilizando fibras de homotopía en la categoría de espectros. si dejamos

${\displaystyle E\langle n\rangle =\operatorname {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n)}\right)}$

luego esto se puede organizar en una torre dando coberturas conectadas de un espectro. Esta es una construcción ampliamente utilizada ^{[8] [9] [10]} en la teoría del bordismo porque las coberturas del espectro del cobordismo no orientado dan otras teorías del bordismo ^[10] ${\displaystyle M{\text{O}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}}$

como el bordismo de cuerdas .

Torre de Whitehead y teoría de cuerdas

En geometría de Spin, el grupo se construye como la cubierta universal del grupo ortogonal especial , por lo que es una fibración, dando el primer término en la torre Whitehead. Hay interpretaciones físicamente relevantes para las partes más altas de esta torre, que pueden leerse como ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$

donde la cubierta conectada se llama grupo de cuerdas y la cubierta conectada se llama grupo de cinco branas . ^{[11] [12]} ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$ ${\displaystyle 7}$

Ver también

• Secuencia espectral de Adams
• Espacio Eilenberg-MacLane
• complejo CW
• Teoría de la obstrucción
• Teoría de la homotopía estable
• Grupos de homotopía de esferas.
• grupo superior

Referencias

1. Hatcher, Allen . Topología algebraica (PDF) .
2. Kahn, Donald W. (1 de marzo de 1963). «Mapas inducidos para sistemas Postnikov» (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 107 (3): 432–450. doi : 10.1090/s0002-9947-1963-0150777-x . ISSN  0002-9947.
3. Simpson, Carlos (9 de octubre de 1998). "Tipos de homotopía de 3 grupos estrictos". arXiv : matemáticas/9810059 .
4. Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1954). "Sobre los Grupos , III: Operaciones y Obstrucciones". Anales de Matemáticas . 60 (3): 513–557. doi :10.2307/1969849. ISSN  0003-486X. JSTOR  1969849. ${\displaystyle H(\Pi ,n)}$
5. Laurențiu-George, Maxim. "Secuencias espectrales y grupos homotópicos de esferas" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 19 de mayo de 2017.
6. Sobre Thom Spectra, orientabilidad y cobordismo. Monografías de Springer en Matemáticas. Berlín, Heidelberg: Springer . 1998. doi :10.1007/978-3-540-77751-9. ISBN 978-3-540-62043-3.
7. Maxim, Laurențiu. "Notas de la conferencia sobre teoría y aplicaciones de la homotopía" (PDF) . pag. 66. Archivado (PDF) desde el original el 16 de febrero de 2020.
8. Colina, Michael A. (2009). "El bordismo de cuerdas de BE8 y BE8 × BE8 hasta la dimensión 14". Revista de Matemáticas de Illinois . 53 (1): 183-196. doi : 10.1215/ijm/1264170845 . ISSN  0019-2082.
9. Bunke, Ulrich; Naumann, Niko (1 de diciembre de 2014). "Invariantes secundarias para bordismo de cuerdas y formas modulares topológicas". Boletín de Ciencias Matemáticas . 138 (8): 912–970. doi : 10.1016/j.bulsci.2014.05.002 . ISSN  0007-4497.
10. Szymik, Markus (2019). "Bordismo de cuerdas y características cromáticas". En Daniel G. Davis; Hans-Werner Henn; JF Jardine; Mark W. Johnson; Charles Rezk (eds.). Teoría de la homotopía: herramientas y aplicaciones . Matemáticas Contemporáneas. vol. 729, págs. 239–254. arXiv : 1312.4658 . doi :10.1090/conm/729/14698. ISBN 9781470442446. S2CID  56461325.
11. "Física matemática: aplicación física de la torre Postnikov, String(n) y Fivebrane(n)". Intercambio de pila de física . Consultado el 16 de febrero de 2020 .
12. "at.topología algebraica: ¿qué tienen que ver las torres Whitehead con la física?". Desbordamiento matemático . Consultado el 16 de febrero de 2020 .

• Póstnikov, Mikhail M. (1951). "Determinación de los grupos de homología de un espacio mediante las invariantes de homotopía". Doklady Akademii Nauk SSSR . 76 : 359–362.
• Maxim, Laurențiu. "Notas de la conferencia sobre teoría y aplicaciones de la homotopía" (PDF) . www.math.wisc.edu .
• Determinación de los segundos grupos de homología y cohomología de un espacio mediante invariantes de homotopía: ofrece ejemplos accesibles de invariantes de Postnikov
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-79540-1.
• Zhang. "Torres Postnikov, torres Whitehead y sus aplicaciones (notas manuscritas)" (PDF) . www.math.purdue.edu . Archivado desde el original (PDF) el 13 de febrero de 2020.