Argumento de Eckmann-Hilton

En matemáticas , el argumento de Eckmann-Hilton (o principio de Eckmann-Hilton o teorema de Eckmann-Hilton ) es un argumento sobre dos estructuras de magma unital en un conjunto donde una es un homomorfismo para la otra. Ante esto, las estructuras son las mismas, y el magma resultante es un monoide conmutativo . Esto luego puede usarse para probar la conmutatividad de los grupos de homotopía superior . El principio lleva el nombre de Beno Eckmann y Peter Hilton , quienes lo utilizaron en un artículo de 1962.

El resultado de Eckmann-Hilton

Sea un conjunto equipado con dos operaciones binarias , que escribiremos y y supondremos: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \otimes }$

1. ${\displaystyle \circ }$y ambos son unitarios , es decir que hay elementos de identidad y de tal que y , para todos . ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle 1_{\circ }}$ ${\displaystyle 1_{\otimes }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1_{\circ }\circ a=a=a\circ 1_{\circ }}$ ${\displaystyle 1_{\otimes }\otimes a=a=a\otimes 1_{\otimes }}$ ${\displaystyle a\in X}$
   
2. ${\displaystyle (a\otimes b)\circ (c\otimes d)=(a\circ c)\otimes (b\circ d)}$para todos . ${\displaystyle a,b,c,d\in X}$

Entonces y son lo mismo y de hecho conmutativos y asociativos. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \otimes }$

Observaciones

Las operaciones y a menudo se denominan estructuras monoides o multiplicaciones, pero esto sugiere que se supone que son asociativas, propiedad que no es necesaria para la demostración. De hecho, se sigue la asociatividad. Asimismo, no tenemos por qué exigir que las dos operaciones tengan el mismo elemento neutro; esto es una consecuencia. ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \circ }$

Prueba

Primero observa que las unidades de las dos operaciones coinciden: . ${\displaystyle 1_{\circ }=1_{\circ }\circ 1_{\circ }=(1_{\otimes }\otimes 1_{\circ })\circ (1_{\circ }\otimes 1_{\otimes })=(1_{\otimes }\circ 1_{\circ })\otimes (1_{\circ }\circ 1_{\otimes })=1_{\otimes }\otimes 1_{\otimes }=1_{\otimes }}$

Ahora deja . Entonces . Esto establece que las dos operaciones coinciden y son conmutativas. ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle a\circ b=(1\otimes a)\circ (b\otimes 1)=(1\circ b)\otimes (a\circ 1)=b\otimes a=(b\circ 1)\otimes (1\circ a)=(b\otimes 1)\circ (1\otimes a)=b\circ a}$

Para la asociatividad, . ${\displaystyle (a\otimes b)\otimes c=(a\otimes b)\otimes (1\otimes c)=(a\otimes 1)\otimes (b\otimes c)=a\otimes (b\otimes c)}$

Prueba bidimensional

La prueba anterior también tiene una presentación "bidimensional" que ilustra mejor la aplicación a grupos de homotopía superior . Para esta versión de la prueba, escribimos las dos operaciones como yuxtaposición vertical y horizontal, es decir, y . La propiedad de intercambio se puede entonces expresar de la siguiente manera: ${\displaystyle {\begin{matrix}a\\[-60pt]b\end{matrix}}}$ ${\displaystyle a\ b}$

Para todos , , para que podamos escribir sin ambigüedades. ${\displaystyle a,b,c,d\in X}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}(a\ b)\\[-60pt](c\ d)\end{matrix}}={\begin{pmatrix}a\\[-60pt]c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\[-60pt]d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}a\ b\\[-60pt]c\ d\end{matrix}}}$

Sean y las unidades de composición vertical y horizontal respectivamente. Entonces , entonces ambas unidades son iguales. ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \bullet ={\begin{matrix}\bullet \\[-60pt]\bullet \end{matrix}}={\begin{matrix}\bullet \ \ \circ \\[-60pt]\circ \ \ \bullet \end{matrix}}=\circ \ \circ =\circ }$

Ahora, para todo , , entonces la composición horizontal es la misma que la composición vertical y ambas operaciones son conmutativas. ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle a\ b={\begin{matrix}a\ \ \bullet \\[-60pt]\bullet \ \ b\end{matrix}}={\begin{matrix}a\\[-60pt]b\end{matrix}}={\begin{matrix}\bullet \ \ a\\[-60pt]b\ \ \bullet \end{matrix}}=b\ a={\begin{matrix}b\ \ \bullet \\[-60pt]\bullet \ \ a\end{matrix}}={\begin{matrix}b\\[-60pt]a\end{matrix}}}$

Finalmente, para todos , , la composición es asociativa. ${\displaystyle a,b,c\in X}$ ${\displaystyle a\ (b\ c)=a\ {\begin{pmatrix}b\\[-60pt]c\end{pmatrix}}={\begin{matrix}a\ \ b\\[-60pt]\bullet \ \ c\end{matrix}}={\begin{matrix}(a\ b)\\[-60pt]c\end{matrix}}=(a\ b)\ c}$

Observaciones

Si las operaciones son asociativas, cada una define la estructura de un monoide en , y las condiciones anteriores son equivalentes a la condición más abstracta que es un homomorfismo monoide (o viceversa). Una forma aún más abstracta de enunciar el teorema es: si es un objeto monoide en la categoría de monoides , entonces es de hecho un monoide conmutativo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle (X,\circ )\times (X,\circ )\to (X,\circ )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Es importante que un argumento similar NO dé un resultado tan trivial en el caso de objetos monoides en las categorías de categorías pequeñas o de grupoides. En cambio, la noción de objeto grupal en la categoría de grupoides resulta equivalente a la noción de módulo cruzado . Esto lleva a la idea de utilizar múltiples objetos grupoides en la teoría de la homotopía.

De manera más general, el argumento de Eckmann-Hilton es un caso especial del uso de la ley de intercambio en la teoría de categorías (estrictas) dobles y múltiples. Una categoría doble (estricta) es un conjunto o clase equipado con dos estructuras de categorías, cada una de las cuales es un morfismo de la otra estructura. Si las composiciones en las dos estructuras de categorías están escritas, entonces la ley de intercambio dice ${\displaystyle \circ ,\otimes }$

${\displaystyle (a\circ b)\otimes (c\circ d)=(a\otimes c)\circ (b\otimes d)}$

siempre que ambos lados estén definidos. Para ver un ejemplo de su uso y alguna discusión, consulte el artículo de Higgins al que se hace referencia a continuación. La ley de intercambio implica que una categoría doble contiene una familia de monoides abelianos.

La historia en relación con los grupos de homotopía es interesante. Los investigadores de topología de principios del siglo XX eran conscientes de que el grupo fundamental nobeliano era útil en geometría y análisis; que los grupos de homología abeliana podrían definirse en todas las dimensiones; y que para un espacio conexo, el primer grupo de homología era el grupo fundamental hecho abeliano . De modo que existía el deseo de generalizar el grupo fundamental nobeliano a todas las dimensiones.

En 1932, Eduard Čech presentó un artículo sobre grupos de homotopía superior en el Congreso Internacional de Matemáticas de Zúrich. Sin embargo, Pavel Alexandroff y Heinz Hopf rápidamente demostraron que estos grupos eran abelianos y, por estas razones, persuadieron a Čech para que retirara su artículo, de modo que en las Actas sólo apareció un pequeño párrafo . Se dice que Witold Hurewicz asistió a esta conferencia y su primer trabajo sobre grupos de homotopía superior apareció en 1935. ^{[ cita necesaria ]} Por lo tanto, los sueños de los primeros topólogos se han considerado durante mucho tiempo como un espejismo. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle n>1}$

Los grupoides cúbicos de homotopía superior se construyen para espacios filtrados en el libro Topología algebraica nonabeliana citado a continuación, que desarrolla una topología algebraica básica, incluidos análogos superiores del teorema de Seifert-Van Kampen , sin utilizar homología singular o aproximación simplicial.

Referencias

• John Baez: principio de Eckmann-Hilton (semana 89)
• John Baez: principio de Eckmann-Hilton (semana 100)
• Eckmann, B.; Hilton, PJ (1962), "Estructuras similares a grupos en categorías generales. I. Multiplicaciones y comultiplicaciones", Mathematische Annalen , 145 (3): 227–255, doi :10.1007/bf01451367, MR  0136642.
• Hurewicz , W. (1935), Beitrage zur Topologie der Deformationen , Nederl. Akád. Wetensch. Proc. Ser. Una, vol. 38, págs. 112–119, 521–528.
• Marrón , R.; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011), Topología algebraica nobeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica , Tratados de Matemáticas de la Sociedad Europea de Matemáticas, vol. 15, pág. 703, arXiv : matemáticas/0407275 , SEÑOR  2841564.
• Higgins, PJ (2005), "Elementos delgados y capas conmutativas en categorías $\omega$ cúbicas", Teoría y aplicación de categorías , 14 : 60–74, MR  2122826.
• James, IM (1999), Historia de la topología , Holanda Septentrional
• Murray Bremner y Sara Madariaga. (2014) Permutación de elementos en semigrupos dobles.

enlaces externos

• Eugenia Cheng, del equipo de vídeo de 'The Catsters', explica el argumento de Eckmann-Hilton.
• Teoría de grupos de dimensiones superiores