Teorema de suspensión de Freudenthal

Establece el concepto de estabilización de grupos de homotopía.

En matemáticas , y en concreto en el campo de la teoría de homotopía , el teorema de suspensión de Freudenthal es el resultado fundamental que conduce al concepto de estabilización de los grupos de homotopía y, en última instancia, a la teoría de homotopía estable . Explica el comportamiento de tomar suspensiones simultáneamente y aumentar el índice de los grupos de homotopía del espacio en cuestión. Fue demostrado en 1937 por Hans Freudenthal .

El teorema es un corolario del teorema de escisión de homotopía .

Enunciado del teorema

Sea X un espacio puntiagudo n -conexo (un complejo CW puntiagudo o un conjunto simplicial puntiagudo ). La función

${\displaystyle X\to \Omega (\Sigma X)}$

induce un mapa

${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k}(\Omega (\Sigma X))}$

sobre grupos de homotopía, donde Ω denota el funtor de bucle y Σ denota el funtor de suspensión reducido . El teorema de suspensión establece entonces que la función inducida sobre grupos de homotopía es un isomorfismo si k ≤ 2 n y un epimorfismo si k = 2 n + 1.

Un resultado básico sobre los espacios de bucles da la relación

${\displaystyle \pi _{k}(\Omega (\Sigma X))\cong \pi _{k+1}(\Sigma X)}$

De lo contrario, el teorema podría enunciarse en términos del mapa

${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X),}$

con la pequeña salvedad de que en este caso hay que tener cuidado con la indexación.

Prueba

Como se mencionó anteriormente, el teorema de suspensión de Freudenthal se deduce rápidamente de la escisión de homotopía ; esta prueba está en términos del mapa natural . Si un espacio es -conexo, entonces el par de espacios es -conexo, donde es el cono reducido sobre ; esto se deduce de la homotopía relativa secuencia exacta larga . Podemos descomponer como dos copias de , digamos , cuya intersección es . Entonces, la escisión de homotopía dice que el mapa de inclusión: ${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (CX,X)}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle (CX)_{+},(CX)_{-}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle ((CX)_{+},X)\subset (\Sigma X,(CX)_{-})}$

induce isomorfismos en y una sobreyección en . De la misma secuencia exacta relativamente larga, y puesto que además los conos son contráctiles, ${\displaystyle \pi _{i},i<2n+2}$ ${\displaystyle \pi _{2n+2}}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=\pi _{i+1}(CX,X),}$

${\displaystyle \pi _{i}(\Sigma X,(CX)_{-})=\pi _{i}(\Sigma X).}$

Juntando todo esto obtenemos

${\displaystyle \pi _{i}(X)=\pi _{i+1}((CX)_{+},X)=\pi _{i+1}((\Sigma X,(CX)_{-})=\pi _{i+1}(\Sigma X)}$

para , es decir , como se afirmó anteriormente; porque los mapas izquierdo y derecho son isomorfismos, independientemente de cuán conectados estén, y el del medio es una sobreyección por escisión, por lo que la composición es una sobreyección como se afirmó. ${\displaystyle i+1<2n+2}$ ${\displaystyle i\leqslant 2n}$ ${\displaystyle i=2n+1}$ ${\displaystyle X}$

Corolario 1

Sea S ⁿ la n -esfera y observe que está ( n − 1)-conectada de modo que los grupos se estabilizan para por el teorema de Freudenthal. Estos grupos representan el k -ésimo grupo de homotopía estable de esferas . ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$ ${\displaystyle n\geqslant k+2}$

Corolario 2

En términos más generales, para k fijo ≥ 1, k ≤ 2 n para n suficientemente grande , de modo que cualquier espacio n -conexo X tendrá grupos de homotopía estabilizados correspondientes. Estos grupos son en realidad los grupos de homotopía de un objeto correspondiente a X en la categoría de homotopía estable .

Referencias

• Freudenthal, H. (1938), "Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen", Compositio Mathematica , 5 : 299–314.
• Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Teoría de la homotopía simplicial , Progress in Mathematics, vol. 174, Basilea-Boston-Berlín: Birkhäuser.
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.
• Whitehead, GW (1953), "Sobre los teoremas de Freudenthal", Anales de Matemáticas , 57 (2): 209–228, doi :10.2307/1969855, JSTOR  1969855, MR  0055683.