En matemáticas , cuando un fenómeno matemático va en contra de alguna intuición, entonces el fenómeno a veces se llama patológico . Por otro lado, si un fenómeno no va en contra de la intuición, a veces se le llama buen comportamiento . Estos términos a veces son útiles en la investigación y la enseñanza de las matemáticas, pero no existe una definición matemática estricta de patológico o de buen comportamiento. [1]
Un ejemplo clásico de patología es la función de Weierstrass , una función que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna. [1] La suma de una función diferenciable y la función de Weierstrass es nuevamente continua pero en ninguna parte diferenciable; por lo que hay al menos tantas funciones como funciones diferenciables. De hecho, utilizando el teorema de la categoría de Baire , se puede demostrar que las funciones continuas no son genéricamente diferenciables en ninguna parte. [2]
Estos ejemplos se consideraron patológicos cuando se descubrieron por primera vez: Para citar a Henri Poincaré : [3]
La lógica a veces engendra monstruos. Durante medio siglo han ido surgiendo una serie de funciones extrañas, que parecen esforzarse por parecerse lo menos posible a funciones honestas y de cierta utilidad. No más continuidad, o bien continuidad pero no derivadas, etc. Más aún, desde el punto de vista de la lógica, son estas extrañas funciones las más generales; los que se encuentran sin ser buscados ya no aparecen como más que un caso particular, y les queda poco rincón.
Antiguamente, cuando se inventaba una nueva función, era con vistas a algún fin práctico. Hoy en día se inventan expresamente para demostrar que los razonamientos de nuestros antepasados eran erróneos, y nunca sacaremos de ellos nada más que eso.
Si la lógica fuera la única guía del profesor, éste tendría que comenzar por las funciones más generales, es decir, por las más extrañas. Tendría que poner al principiante a luchar con esta colección de monstruosidades. Si no lo haces, podrían decir los lógicos, sólo alcanzarás la exactitud por etapas.
— Henri Poincaré , Ciencia y método (1899), (traducción de 1914), página 125
Desde Poincaré, en ningún lugar se ha demostrado que aparezcan funciones diferenciables en procesos físicos y biológicos básicos como el movimiento browniano y en aplicaciones como el modelo de Black-Scholes en finanzas.
Contraejemplos en análisis es un libro completo de este tipo de contraejemplos. [4]
Un contraejemplo famoso en topología es la esfera con cuernos de Alexander , que muestra que incrustar topológicamente la esfera S 2 en R 3 puede no lograr separar el espacio limpiamente. Como contraejemplo, motivó a los matemáticos a definir la propiedad de mansedumbre , que suprime el tipo de comportamiento salvaje exhibido por la esfera cornuda, el nudo salvaje y otros ejemplos similares. [5]
Como muchas otras patologías, la esfera cornuda juega en cierto sentido con una estructura infinitamente fina y generada recursivamente, que en última instancia viola la intuición ordinaria. En este caso, la topología de una cadena siempre descendente de bucles entrelazados de piezas continuas de la esfera en el límite refleja plenamente la de la esfera común, y uno esperaría que el exterior de ella, después de una incrustación, funcionara de la misma manera. Sin embargo, no es así: no logra estar simplemente conectado .
Para conocer la teoría subyacente, consulte el teorema de Jordan-Schönflies .
Contraejemplos en topología es un libro completo de este tipo de contraejemplos. [6]
Los matemáticos (y aquellos en ciencias afines) hablan con mucha frecuencia de si un objeto matemático (una función , un conjunto , un espacio de un tipo u otro) se "comporta bien" . Si bien el término no tiene una definición formal fija, generalmente se refiere a la cualidad de satisfacer una lista de condiciones prevalecientes, que pueden depender del contexto, los intereses matemáticos, la moda y el gusto. Para garantizar que un objeto se "comporte bien", los matemáticos introducen más axiomas para limitar el dominio de estudio. Esto tiene la ventaja de facilitar el análisis, pero produce una pérdida de generalidad de las conclusiones alcanzadas.
Tanto en matemáticas puras como aplicadas (por ejemplo, optimización , integración numérica , física matemática ), comportarse bien también significa no violar ninguna suposición necesaria para aplicar con éxito cualquier análisis que se esté discutiendo.
El caso contrario suele denominarse "patológico". No es inusual tener situaciones en las que la mayoría de los casos (en términos de cardinalidad o medida ) son patológicos, pero los casos patológicos no surgirán en la práctica, a menos que se construyan deliberadamente.
El término "buen comportamiento" se aplica generalmente en un sentido absoluto: o algo se porta bien o no. Por ejemplo:
Inusualmente, el término también podría aplicarse en un sentido comparativo:
Los ejemplos patológicos a menudo tienen algunas propiedades indeseables o inusuales que hacen difícil contenerlos o explicarlos dentro de una teoría. Estos comportamientos patológicos a menudo impulsan nuevas investigaciones, que conducen a nuevas teorías y resultados más generales. Algunos ejemplos históricos importantes de esto son:
En el momento de su descubrimiento, cada uno de ellos se consideraba altamente patológico; hoy, cada uno ha sido asimilado a la teoría matemática moderna. Estos ejemplos incitan a sus observadores a corregir sus creencias o intuiciones y, en algunos casos, requieren una reevaluación de las definiciones y conceptos fundamentales. A lo largo de la historia, han conducido a matemáticas más correctas, más precisas y más poderosas. Por ejemplo, la función de Dirichlet es integrable de Lebesgue y la convolución con funciones de prueba se utiliza para aproximar cualquier función localmente integrable mediante funciones suaves. [Nota 1]
Que una conducta sea patológica está, por definición, sujeta a la intuición personal. Las patologías dependen del contexto, la formación y la experiencia, y lo que es patológico para un investigador puede muy bien ser una conducta estándar para otro.
Los ejemplos patológicos pueden mostrar la importancia de los supuestos de un teorema. Por ejemplo, en estadística , la distribución de Cauchy no satisface el teorema del límite central , aunque su forma de campana simétrica parece similar a muchas distribuciones que sí lo hacen; no cumple con el requisito de tener una media y una desviación estándar que existan y que sean finitas.
Algunas de las paradojas más conocidas , como la paradoja de Banach-Tarski y la paradoja de Hausdorff , se basan en la existencia de conjuntos no mensurables . Los matemáticos, a menos que adopten la posición minoritaria de negar el axioma de elección , en general se resignan a vivir con tales conjuntos. [ cita necesaria ]
En informática , patológico tiene un sentido ligeramente diferente con respecto al estudio de algoritmos . Aquí, se dice que una entrada (o conjunto de entradas) es patológica si provoca un comportamiento atípico en el algoritmo, como una violación de su complejidad promedio de caso , o incluso de su corrección. Por ejemplo, las tablas hash generalmente tienen entradas patológicas: conjuntos de claves que chocan en valores hash. Quicksort normalmente tiene complejidad temporal, pero se deteriora cuando recibe una entrada que desencadena un comportamiento subóptimo.
El término se usa a menudo de manera peyorativa, como una forma de descartar tales entradas como especialmente diseñadas para romper una rutina que de otro modo sería sólida en la práctica (compárese con bizantino ). Por otro lado, es importante ser consciente de las entradas patológicas, ya que pueden explotarse para montar un ataque de denegación de servicio en un sistema informático. Además, el término en este sentido es una cuestión de juicio subjetivo como ocurre con sus otros sentidos. Con un tiempo de ejecución suficiente, una comunidad de usuarios suficientemente grande y diversa (u otros factores), podría ocurrir una entrada que podría descartarse como patológica (como se vio en el primer vuelo de prueba del Ariane 5 ).
Un fenómeno similar pero distinto es el de los objetos excepcionales (y los isomorfismos excepcionales ), que ocurre cuando hay un número "pequeño" de excepciones a un patrón general (como un conjunto finito de excepciones a una regla que de otro modo sería infinita). Por el contrario, en los casos de patología, a menudo la mayoría o casi todos los casos de un fenómeno son patológicos (por ejemplo, casi todos los números reales son irracionales).
Subjetivamente, los objetos excepcionales (como el icosaedro o los grupos simples esporádicos ) generalmente se consideran ejemplos "hermosos" e inesperados de una teoría, mientras que los fenómenos patológicos a menudo se consideran "feos", como su nombre lo indica. En consecuencia, las teorías suelen ampliarse para incluir objetos excepcionales. Por ejemplo, las álgebras de Lie excepcionales se incluyen en la teoría de las álgebras de Lie semisimples : los axiomas se consideran buenos, los objetos excepcionales como inesperados pero válidos.
Por el contrario, los ejemplos patológicos se toman para señalar una deficiencia en los axiomas, lo que requiere axiomas más fuertes para descartarlos. Por ejemplo, exigir la mansedumbre de la incrustación de una esfera en el problema de Schönflies . En general, se puede estudiar la teoría más general, incluidas las patologías, que pueden proporcionar sus propias simplificaciones (los números reales tienen propiedades muy diferentes de los racionales, y del mismo modo las aplicaciones continuas tienen propiedades muy diferentes de las suaves), pero también la teoría más estrecha. teoría, de la cual se extrajeron los ejemplos originales.
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