Conjunto no medible

Conjunto al que no se le puede asignar un "volumen" significativo

En matemáticas , un conjunto no medible es un conjunto al que no se le puede asignar un "volumen" significativo. La existencia de tales conjuntos se interpreta para proporcionar información sobre las nociones de longitud , área y volumen en la teoría de conjuntos formales. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de elección implica que existen subconjuntos no mesurables de . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La noción de un conjunto no medible ha sido una fuente de gran controversia desde su introducción. Históricamente, esto llevó a Borel y Kolmogorov a formular la teoría de la probabilidad sobre conjuntos que están restringidos a ser mensurables. Los conjuntos mensurables en la línea son uniones e intersecciones iterables contables de intervalos (llamados conjuntos de Borel ) más-menos conjuntos nulos . Estos conjuntos son lo suficientemente ricos como para incluir todas las definiciones concebibles de un conjunto que surgen en las matemáticas estándar, pero requieren mucho formalismo para demostrar que los conjuntos son mensurables.

En 1970, Robert M. Solovay construyó el modelo de Solovay , que demuestra que es coherente con la teoría de conjuntos estándar sin elección incontable, que todos los subconjuntos de los números reales son mensurables. Sin embargo, el resultado de Solovay depende de la existencia de un cardinal inaccesible , cuya existencia y consistencia no se pueden demostrar dentro de la teoría de conjuntos estándar.

Construcciones históricas

El primer indicio de que podría haber un problema al definir la longitud de un conjunto arbitrario provino del teorema de Vitali . ^[1] Una construcción combinatoria más reciente que es similar a la construcción de Robin Thomas de un conjunto medible no Lebesgue con algunas propiedades adicionales apareció en American Mathematical Monthly. ^[2]

Se esperaría que la medida de la unión de dos conjuntos disjuntos fuera la suma de la medida de los dos conjuntos. Una medida con esta propiedad natural se llama finitamente aditiva . Si bien una medida finitamente aditiva es suficiente para la mayoría de las intuiciones de área y es análoga a la integración de Riemann , se considera insuficiente para la probabilidad , porque los tratamientos modernos convencionales de secuencias de eventos o variables aleatorias exigen aditividad contable .

En este sentido, el plano es similar a la línea; existe una medida aditiva finita, que extiende la medida de Lebesgue, que es invariante bajo todas las isometrías . Para dimensiones mayores , la situación empeora. La paradoja de Hausdorff y la paradoja de Banach-Tarski muestran que una bola tridimensional de radio 1 se puede diseccionar en 5 partes que se pueden volver a ensamblar para formar dos bolas de radio 1.

Ejemplo

Consideremos el conjunto de todos los puntos en el círculo unitario, y la acción sobre por un grupo que consiste en todas las rotaciones racionales (rotaciones por ángulos que son múltiplos racionales de ). Aquí es contable (más específicamente, es isomorfo a ) mientras que es incontable. Por lo tanto, se descompone en incontables órbitas bajo (la órbita de es el conjunto contable ). Usando el axioma de elección , podríamos escoger un solo punto de cada órbita, obteniendo un subconjunto incontable con la propiedad de que todas las traducciones racionales (copias traducidas de la forma para alguna racional ) ^[3] de por son disjuntas por pares (es decir, disjuntas de y entre sí). El conjunto de esas traducciones divide el círculo en una colección contable de conjuntos disjuntos, que son todos congruentes por pares (por rotaciones racionales). El conjunto no será medible para ninguna medida de probabilidad contablemente aditiva invariante a la rotación en : si tiene medida cero, la aditividad contable implicaría que todo el círculo tiene medida cero. Si tiene medida positiva, la aditividad contable demostraría que el círculo tiene medida infinita. ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}}$ ${\displaystyle X\subset S}$ ${\displaystyle e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definiciones consistentes de medida y probabilidad

La paradoja de Banach-Tarski muestra que no hay forma de definir el volumen en tres dimensiones a menos que se haga una de las siguientes cinco concesiones: ^{[ cita requerida ]}

1. El volumen de un conjunto puede cambiar cuando se gira.
2. El volumen de la unión de dos conjuntos disjuntos puede ser diferente de la suma de sus volúmenes.
3. Algunos conjuntos podrían estar etiquetados como "no mensurables" y sería necesario verificar si un conjunto es "mensurable" antes de hablar de su volumen.
4. Tal vez sea necesario modificar los axiomas de ZFC ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección).
5. El volumen de es o . ${\displaystyle [0,1]^{3}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$

La teoría de la medida estándar adopta la tercera opción. Se define una familia de conjuntos mensurables, que es muy rica, y casi cualquier conjunto definido explícitamente en la mayoría de las ramas de las matemáticas estará entre esta familia. ^{[ cita requerida ]} Por lo general, es muy fácil demostrar que un subconjunto específico dado del plano geométrico es medible. ^{[ cita requerida ]} El supuesto fundamental es que una secuencia infinita numerable de conjuntos disjuntos satisface la fórmula de la suma, una propiedad llamada σ-aditividad .

En 1970, Solovay demostró que la existencia de un conjunto no medible para la medida de Lebesgue no es demostrable dentro del marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en ausencia de un axioma adicional (como el axioma de elección), al mostrar que (asumiendo la consistencia de un cardinal inaccesible ) hay un modelo de ZF, llamado modelo de Solovay , en el que se cumple la elección contable , todo conjunto es medible según Lebesgue y en el que falla el axioma de elección completo. ^{[ cita requerida ]}

El axioma de elección es equivalente a un resultado fundamental de la topología de conjuntos puntuales , el teorema de Tichonoff , y también a la conjunción de dos resultados fundamentales del análisis funcional, el teorema de Banach-Alaoglu y el teorema de Kerin-Milman . ^{[ cita requerida ]} También afecta en gran medida al estudio de los grupos infinitos, así como a la teoría de anillos y órdenes (véase el teorema del ideal primo de Boole ). ^{[ cita requerida ]} Sin embargo, los axiomas de determinación y elección dependiente juntos son suficientes para la mayoría de las teorías de medidas geométricas , teorías del potencial , series de Fourier y transformadas de Fourier , al tiempo que hacen que todos los subconjuntos de la línea real sean medibles según Lebesgue. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Paradoja de Banach-Tarski  – Teorema geométrico
• Criterio de Carathéodory  : condición necesaria y suficiente para un conjunto mediblePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Paradoja de Hausdorff
• Medida (matemáticas)  – Generalización de masa, longitud, área y volumen
• Conjunto no boreliano  : clase de conjuntos matemáticosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Medida exterior  – Función matemática
• Conjunto de Vitali  : conjunto de números reales que no son medibles según Lebesgue

Referencias

Notas

1. Moore, Gregory H., El axioma de elección de Zermelo, Springer-Verlag, 1982, págs. 100-101
2. Sadhukhan, A. (diciembre de 2022). "Una prueba combinatoria de la existencia de subconjuntos densos sin la propiedad tipo "Steinhaus"". Am. Math. Mon. 130 (2): 175. arXiv : 2201.03735 . doi :10.1080/00029890.2022.2144665. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. Ábrego, Bernardo M.; Fernández-Merchant, Silvia; Llano, Bernardo (enero de 2010). "Sobre el número máximo de traslaciones en un conjunto de puntos". Geometría discreta y computacional . 43 (1): 1–20. doi : 10.1007/s00454-008-9111-9 . ISSN  0179-5376.

Bibliografía

• Dewdney, AK (1989). "Un fabricante de materia proporciona material para el pensamiento". Scientific American (abril): 116–119. doi :10.1038/scientificamerican0489-116.