En el campo matemático de la teoría de conjuntos , el modelo de Solovay es un modelo construido por Robert M. Solovay (1970) en el que se cumplen todos los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), excepto el axioma de elección , pero en el que todos los conjuntos de números reales son medibles según el método de Lebesgue . La construcción se basa en la existencia de un cardinal inaccesible .
De esta manera, Solovay demostró que en la prueba de la existencia de un conjunto no medible a partir de ZFC (teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección), el axioma de elección es esencial, al menos suponiendo que la existencia de un cardinal inaccesible sea consistente con ZFC.
ZF significa teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y DC significa axioma de elección dependiente .
El teorema de Solovay es el siguiente: Suponiendo la existencia de un cardinal inaccesible, existe un modelo interno de ZF + DC de una extensión forzada adecuada V [ G ] tal que todo conjunto de números reales es medible según Lebesgue, tiene la propiedad de conjunto perfecto y tiene la propiedad de Baire .
Solovay construyó su modelo en dos pasos, comenzando con un modelo M de ZFC que contenía un cardinal κ inaccesible.
El primer paso es tomar un colapso de Levy M [ G ] de M agregando un conjunto genérico G para la noción de forzamiento que colapsa todos los cardinales menores que κ a ω. Entonces M [ G ] es un modelo de ZFC con la propiedad de que cada conjunto de números reales que es definible sobre una secuencia contable de ordinales es medible según Lebesgue y tiene las propiedades de conjunto perfecto y de Baire. (Esto incluye todos los conjuntos de números reales definibles y proyectivos ; sin embargo, por razones relacionadas con el teorema de indefinibilidad de Tarski, la noción de un conjunto definible de números reales no se puede definir en el lenguaje de la teoría de conjuntos, mientras que la noción de un conjunto de números reales definibles sobre una secuencia contable de ordinales sí puede).
El segundo paso es construir el modelo N de Solovay como la clase de todos los conjuntos en M [ G ] que son definibles hereditariamente sobre una secuencia contable de ordinales. El modelo N es un modelo interno de M [ G ] que satisface ZF + DC de modo que cada conjunto de números reales es medible según Lebesgue, tiene la propiedad de conjunto perfecto y tiene la propiedad de Baire. La prueba de esto utiliza el hecho de que cada real en M [ G ] es definible sobre una secuencia contable de ordinales y, por lo tanto, N y M [ G ] tienen los mismos números reales.
En lugar de utilizar el modelo N de Solovay , también se puede utilizar el modelo interno más pequeño L ( R ) de M [ G ], que consiste en el cierre construible de los números reales, que tiene propiedades similares.
Solovay sugirió en su artículo que el uso de un cardinal inaccesible podría no ser necesario. Varios autores probaron versiones más débiles del resultado de Solovay sin asumir la existencia de un cardinal inaccesible. En particular, Krivine (1969) demostró que había un modelo de ZFC en el que cada conjunto de números reales definible por ordinales es medible, Solovay demostró que hay un modelo de ZF + DC en el que hay alguna extensión invariante de la traducción de la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de los reales, y Shelah (1984) demostró que hay un modelo en el que todos los conjuntos de números reales tienen la propiedad de Baire (de modo que el cardinal inaccesible es de hecho innecesario en este caso).
El caso de la propiedad de conjunto perfecto fue resuelto por Specker (1957), quien demostró (en ZF) que si cada conjunto de números reales tiene la propiedad de conjunto perfecto y el primer cardinal incontable ℵ 1 es regular, entonces ℵ 1 es inaccesible en el universo construible . Combinado con el resultado de Solovay, esto muestra que las afirmaciones "Hay un cardinal inaccesible" y "Todo conjunto de números reales tiene la propiedad de conjunto perfecto" son equiconsistentes en ZF. [1] p. 371
Finalmente, Shelah (1984) demostró que la consistencia de un cardinal inaccesible también es necesaria para construir un modelo en el que todos los conjuntos de números reales sean medibles según el método de Lebesgue. Más precisamente, demostró que si cada Σ1 3conjunto de números reales es medible, entonces el primer cardinal incontable ℵ 1 es inaccesible en el universo construible, de modo que la condición sobre un cardinal inaccesible no puede eliminarse del teorema de Solovay. Shelah también demostró que el Σ1
3La condición se acerca a la mejor posible al construir un modelo (sin utilizar un cardinal inaccesible) en el que todos los Δ1
3Los conjuntos de números reales son mensurables. Véase Raisonnier (1984), Stern (1985) y Miller (1989) para exposiciones del resultado de Shelah.
Shelah y Woodin (1990) demostraron que si existen cardinales supercompactos , entonces cada conjunto de números reales en L ( R ), los conjuntos construibles generados por los reales, son medibles según el método de Lebesgue y tienen la propiedad de Baire; esto incluye cada conjunto de números reales "razonablemente definible".