L(R)

En teoría de conjuntos , L(R) (pronunciado L de R ) es el modelo interno transitivo más pequeño de ZF que contiene todos los ordinales y todos los reales .

Construcción

Puede construirse de una manera análoga a la construcción de L (es decir, el universo construible de Gödel ), sumando todos los reales al principio y luego iterando la operación del conjunto de poderes definible a través de todos los ordinales.

Suposiciones

En general, el estudio de L(R) supone una amplia gama de grandes axiomas cardinales , ya que sin estos axiomas no se puede demostrar ni siquiera que L(R) es distinto de L. Pero dado que existen suficientes cardinales grandes, L(R) no No satisface el axioma de elección , sino más bien el axioma de determinabilidad . Sin embargo, L(R) seguirá satisfaciendo el axioma de elección dependiente , dado únicamente que el universo de von Neumann , V, también satisface ese axioma.

Resultados

Teniendo en cuenta los supuestos anteriores, algunos resultados adicionales de la teoría son:

Cada conjunto proyectivo de reales –y por tanto cada conjunto analítico y cada conjunto de reales de Borel– es un elemento de L(R).
Todo conjunto de reales en L(R) es medible según Lebesgue (de hecho, universalmente mensurable ) y tiene la propiedad de Baire y la propiedad del conjunto perfecto .
L(R) no satisface el axioma de uniformización ni el axioma de determinabilidad real .
R ^# , el sostenido del conjunto de todos los reales, tiene el grado de Wadge más pequeño de cualquier conjunto de reales no contenidos en L(R).
Si bien no todas las relaciones sobre los reales en L(R) tienen una uniformización en L(R), todas esas relaciones sí tienen una uniformización en L(R ^# ).
Dada cualquier extensión genérica (de tamaño de conjunto) V[G] de V, L(R) es un submodelo elemental de L(R) calculado en V[G]. Por tanto, la teoría de L(R) no se puede cambiar forzando .
L(R) satisface AD ⁺ .

Referencias

Woodin, W. Hugh (1988). "Cardenales supercompactos, conjuntos de reales y árboles débilmente homogéneos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 85 (18): 6587–6591. doi : 10.1073/pnas.85.18.6587 . PMC 282022 . PMID 16593979.