En matemáticas , un subconjunto de un espacio polaco es medible universalmente si es medible con respecto a cada medida de probabilidad completa en que mide todos los subconjuntos de Borel de . En particular, un conjunto de números reales medible universalmente es necesariamente medible según el método de Lebesgue (véase § Condición de finitud más adelante).
Todo conjunto analítico es universalmente medible. De la determinabilidad proyectiva , que a su vez se desprende de la existencia de cardinales suficientemente grandes , se sigue que todo conjunto proyectivo es universalmente medible.
La condición de que la medida sea una medida de probabilidad ; es decir, que la medida de sí misma sea 1, es menos restrictiva de lo que parece. Por ejemplo, la medida de Lebesgue sobre los números reales no es una medida de probabilidad, pero todo conjunto universalmente medible es medible según Lebesgue. Para ver esto, divida la línea real en una cantidad contable de intervalos de longitud 1; digamos, N 0 = [0, 1) , N 1 = [1, 2), N 2 = [-1, 0), N 3 = [2, 3), N 4 = [-2, -1), y así sucesivamente. Ahora, dejando que μ sea la medida de Lebesgue, definamos una nueva medida ν mediante
Entonces, fácilmente ν es una medida de probabilidad en los números reales, y un conjunto es ν-medible si y solo si es medible según el método de Lebesgue. En términos más generales, un conjunto medible universalmente debe ser medible con respecto a cada medida sigma-finita que mida todos los conjuntos de Borel.
Supongamos que es un subconjunto del espacio de Cantor ; es decir, es un conjunto de secuencias infinitas de ceros y unos. Al poner un punto binario antes de dicha secuencia, la secuencia puede verse como un número real entre 0 y 1 (inclusive), con cierta ambigüedad sin importancia. Por lo tanto, podemos pensar en como un subconjunto del intervalo [0,1] y evaluar su medida de Lebesgue , si está definida. Ese valor a veces se llama la medida de lanzamiento de moneda de , porque es la probabilidad de producir una secuencia de caras y cruces que es un elemento de al lanzar una moneda justa infinitas veces.
Ahora bien, del axioma de elección se desprende que existen algunos de ellos sin una medida de Lebesgue bien definida (o una medida de lanzamiento de moneda). Es decir, para un , la probabilidad de que la secuencia de lanzamientos de una moneda justa termine en no está bien definida. Esta es una propiedad patológica de que dice que es "muy complicado" o "mal comportado".
A partir de un conjunto de este tipo , forme un nuevo conjunto realizando la siguiente operación en cada secuencia en : intercale un 0 en cada posición par en la secuencia, moviendo los otros bits para hacer espacio. Aunque intuitivamente no es "más simple" ni "de mejor comportamiento" que , la probabilidad de que la secuencia de lanzamientos de una moneda justa esté en está bien definida. De hecho, para estar en , la moneda debe salir cruz en cada lanzamiento par, lo que sucede con probabilidad cero.
Sin embargo, no es universalmente medible. Para comprobarlo, podemos probarlo con una moneda sesgada que siempre sale cruz en los lanzamientos pares y es justa en los lanzamientos impares. Para que un conjunto de secuencias sea universalmente medible, se puede utilizar una moneda arbitrariamente sesgada (incluso una que pueda "recordar" la secuencia de lanzamientos que ha tenido lugar antes) y la probabilidad de que la secuencia de sus lanzamientos termine en el conjunto debe estar bien definida. Sin embargo, cuando se prueba con la moneda que mencionamos (la que siempre sale cruz en los lanzamientos pares y es justa en los lanzamientos impares), la probabilidad de acertar no está bien definida (por la misma razón por la que no se puede probar con la moneda justa). Por lo tanto, no es universalmente medible.
