Axioma de elección dependiente

Forma débil del axioma de elección

En matemáticas , el axioma de elección dependiente , denotado por , es una forma débil del axioma de elección ( ) que todavía es suficiente para desarrollar gran parte del análisis real . Fue introducido por Paul Bernays en un artículo de 1942 en matemáticas inversas que explora qué axiomas de teoría de conjuntos son necesarios para desarrollar el análisis. ^[a] ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$

Declaración formal

Una relación homogénea se llama relación total si para cada existe algún tal que sea verdadero. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in X,}$ ${\displaystyle b\in X}$ ${\displaystyle a\,R~b}$

El axioma de elección dependiente puede enunciarse de la siguiente manera: Para cada conjunto no vacío y cada relación total en existe una secuencia en tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}}$a pesar de ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

De hecho, x ₀ puede tomarse como cualquier elemento deseado de X . (Para ver esto, aplique el axioma como se indicó anteriormente al conjunto de secuencias finitas que comienzan con x ₀ y en las que los términos subsiguientes están en relación , junto con la relación total en este conjunto de la segunda secuencia que se obtiene a partir de la primera agregando un solo término). ${\displaystyle R}$

Si el conjunto anterior se restringe a ser el conjunto de todos los números reales , entonces el axioma resultante se denota por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.}$

Usar

Incluso sin un axioma de este tipo, para cualquier , se puede utilizar la inducción matemática ordinaria para formar los primeros términos de dicha secuencia. El axioma de elección dependiente dice que podemos formar una secuencia completa ( contablemente infinita ) de esta manera. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

El axioma es el fragmento que se requiere para demostrar la existencia de una secuencia construida por recursión transfinita de longitud contable , si es necesario hacer una elección en cada paso y si algunas de esas elecciones no pueden hacerse independientemente de las elecciones anteriores. ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$

Declaraciones equivalentes

Over ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección), es equivalente al teorema de categoría de Baire para espacios métricos completos. ^[1] ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$

También es equivalente al teorema descendente de Löwenheim-Skolem . ^{[b] [2]} ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$

${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$También es equivalente a la afirmación de que todo árbol podado con niveles tiene una rama ( prueba a continuación ). ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$ ${\displaystyle \omega }$

Además, es equivalente a una forma debilitada del lema de Zorn ; específicamente es equivalente a la afirmación de que cualquier orden parcial tal que cada cadena bien ordenada sea finita y acotada, debe tener un elemento máximo. ^[3] ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$

Relación con otros axiomas

A diferencia de la completa , es insuficiente para probar (dado ) que existe un conjunto no medible de números reales, o que existe un conjunto de números reales sin la propiedad de Baire o sin la propiedad de conjunto perfecto . Esto se deduce porque el modelo de Solovay satisface , y todo conjunto de números reales en este modelo es medible según Lebesgue , tiene la propiedad de Baire y tiene la propiedad de conjunto perfecto . ${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}}$

El axioma de elección dependiente implica el axioma de elección contable y es estrictamente más fuerte. ^{[4] [5]}

Es posible generalizar el axioma para producir sucesiones transfinitas. Si se permite que estas sean arbitrariamente largas, entonces se convierte en equivalente al axioma completo de elección.

Notas

1. "La base del análisis no requiere la generalidad total de la teoría de conjuntos, sino que puede lograrse dentro de un marco más restringido". Bernays, Paul (1942). "Parte III. Infinitud y enumerabilidad. Análisis" (PDF) . Journal of Symbolic Logic . Un sistema de teoría axiomática de conjuntos. 7 (2): 65–89. doi :10.2307/2266303. JSTOR  2266303. MR  0006333. S2CID  250344853.El axioma de elección dependiente se enuncia en la página 86.
2. Moore afirma que el "Principio de las elecciones dependientes " implica el teorema de Löwenheim-Skolem. Véase la tabla Moore, Gregory H. (1982). El axioma de elección de Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia . Springer. p. 325. ISBN ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ 0-387-90670-3.

Referencias

1. "El teorema de categorías de Baire implica el principio de elecciones dependientes". Blair, Charles E. (1977). "El teorema de categorías de Baire implica el principio de elecciones dependientes". Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys . 25 (10): 933–934.
2. La inversa se demuestra en Boolos, George S. ; Jeffrey, Richard C. (1989). Computability and Logic (3.ª ed.). Cambridge University Press. pp. 155–156. ISBN 0-521-38026-X.
3. Wolk, Elliot S. (1983), "Sobre el principio de elecciones dependientes y algunas formas del lema de Zorn", Canadian Mathematical Bulletin , 26 (3): 365–367, doi : 10.4153/CMB-1983-062-5
4. Bernays demostró que el axioma de elección dependiente implica el axioma de elección contable Véase esp. p. 86 en Bernays, Paul (1942). "Parte III. Infinitud y enumerabilidad. Análisis" (PDF) . Journal of Symbolic Logic . Un sistema de teoría de conjuntos axiomáticos. 7 (2): 65–89. doi :10.2307/2266303. JSTOR  2266303. MR  0006333. S2CID  250344853.
5. Para una prueba de que el axioma de elección contable no implica el axioma de elección dependiente, véase Jech, Thomas (1973), The Axiom of Choice , North Holland, págs. 130-131, ISBN. 978-0-486-46624-8

• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos (edición del Tercer Milenio). Springer-Verlag . ISBN 3-540-44085-2. OCLC  174929965. Zbl  1007.03002.