La paradoja de Hausdorff es una paradoja en matemáticas que lleva el nombre de Felix Hausdorff . Implica la esfera (la superficie de una bola tridimensional en ). Establece que si se elimina un cierto subconjunto numerable de , entonces el resto se puede dividir en tres subconjuntos disjuntos y tales que y son todos congruentes . En particular, se deduce que en no hay una medida finitamente aditiva definida en todos los subconjuntos tal que la medida de los conjuntos congruentes sea igual (porque esto implicaría que la medida de es simultáneamente , y de la medida no nula de toda la esfera).
La paradoja se publicó en Mathematische Annalen en 1914 y también en el libro de Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre , el mismo año. La prueba de la mucho más famosa paradoja de Banach-Tarski utiliza las ideas de Hausdorff. La prueba de esta paradoja se basa en el axioma de elección .
Esta paradoja muestra que no existe una medida finitamente aditiva en una esfera definida en todos los subconjuntos que sea igual en las partes congruentes. (Hausdorff fue el primero en mostrar en el mismo artículo el resultado más fácil de que no existe una medida contablemente aditiva definida en todos los subconjuntos). La estructura del grupo de rotaciones en la esfera juega un papel crucial aquí – la afirmación no es verdadera en el plano o la línea. De hecho, como fue mostrado posteriormente por Banach , [1] es posible definir un "área" para todos los subconjuntos acotados en el plano euclidiano (así como una "longitud" en la línea real) de tal manera que los conjuntos congruentes tendrán una "área" igual. (Esta medida de Banach , sin embargo, es sólo finitamente aditiva, por lo que no es una medida en el sentido pleno, pero es igual a la medida de Lebesgue en conjuntos para los que esta última existe). Esto implica que si dos subconjuntos abiertos del plano (o la línea real) son equi-descomponibles entonces tienen una área igual.
