Secuencia espectral de Adams

En matemáticas , la secuencia espectral de Adams es una secuencia espectral introducida por J. Frank Adams  (1958) que calcula los grupos de homotopía estable de espacios topológicos . Como todas las secuencias espectrales, es una herramienta computacional; relaciona la teoría de la homología con lo que ahora se llama teoría de la homotopía estable . Es una reformulación utilizando álgebra homológica , y una extensión, de una técnica llamada 'matar grupos de homotopía' aplicada por la escuela francesa de Henri Cartan y Jean-Pierre Serre .

Motivación

Para todo lo siguiente, de una vez por todas, arreglamos un p primo . Se supone que todos los espacios son complejos CW . Se entiende por grupos de cohomología ordinarios . ${\displaystyle H^{*}(X)}$ ${\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$

El objetivo principal de la topología algebraica es intentar comprender la colección de todos los mapas, hasta la homotopía, entre espacios arbitrarios X e Y. Esto es extraordinariamente ambicioso: en particular, cuando X es , estos mapas forman el n- ésimo grupo de homotopía de Y. Un objetivo más razonable (¡pero aún muy difícil!) es comprender el conjunto de mapas (hasta la homotopía) que quedan después de aplicar el funtor de suspensión una gran cantidad de veces. A esto lo llamamos la colección de mapas estables de X a Y. (Este es el punto de partida de la teoría de la homotopía estable ; los tratamientos más modernos de este tema comienzan con el concepto de espectro . El trabajo original de Adams no usó espectros y evitamos mencionarlos en esta sección para mantener el contenido aquí como lo más elemental posible.) ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle [X,Y]}$

El conjunto resulta ser un grupo abeliano, y si X e Y son espacios razonables, este grupo se genera de forma finita. Para descubrir cuál es este grupo, primero aislamos un primo p . En un intento de calcular la p -torsión de , analizamos la cohomología: enviar a Hom( H ^* ( Y ), H ^* ( X )). Esta es una buena idea porque los grupos de cohomología suelen ser fáciles de calcular. ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$

La idea clave es que es más que un simple grupo abeliano graduado , y más aún que un anillo graduado (a través del producto copa ). La representabilidad del funtor de cohomología hace que H ^* ( X ) sea un módulo sobre el álgebra de sus operaciones de cohomología estables , el álgebra A de Steenrod . Pensar en H ^* ( X ) como un módulo A olvida cierta estructura del producto en forma de taza, pero la ganancia es enorme: Hom( H ^* ( Y ), H ^* ( X )) ahora puede considerarse A -lineal. A priori, el módulo A no ve más de [ X , Y ] que cuando lo consideramos un mapa de espacios vectoriales sobre F _p . Pero ahora podemos considerar los functores derivados de Hom en la categoría de A -módulos, Ext _A ^r ( H ^* ( Y ), H ^* ( X )). Éstos adquieren una segunda calificación a partir de la calificación en H ^* ( Y ), por lo que obtenemos una "página" bidimensional de datos algebraicos. Los grupos Ext están diseñados para medir el fracaso de la preservación de la estructura algebraica de Hom, por lo que este es un paso razonable. ${\displaystyle H^{*}(X)}$

El punto de todo esto es que A es tan grande que la hoja anterior de datos cohomológicos contiene toda la información que necesitamos para recuperar la p -parte primaria de [ X , Y ], que son datos de homotopía. Este es un logro importante porque la cohomología fue diseñada para ser computable, mientras que la homotopía fue diseñada para ser poderosa. Este es el contenido de la secuencia espectral de Adams.

Formulación clásica

Formulación para calcular grupos de espectros de homotopía.

La secuencia espectral clásica de Adams se puede enunciar para cualquier espectro conectivo de tipo finito, es decir, para y es un grupo abeliano finitamente generado en cada grado. Entonces, existe una secuencia espectral ^{[1] : 41} tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$ ${\displaystyle i<0}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)}$ ${\displaystyle E_{*}^{*,*}(X)}$

1. ${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\text{Ext}}_{A_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),\mathbb {Z} /p)}$para el álgebra mod de Steenrod ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle p}$
2. Para de tipo finito, es un grupo bigrado asociado con una filtración de (los enteros p-ádicos ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{*,*}}$ ${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

Tenga en cuenta que esto implica que , esto calcula la torsión de los grupos de homotopía del espectro de esferas , es decir, los grupos de homotopía estables de las esferas. Además, debido a que para cualquier complejo CW podemos considerar el espectro de suspensión , esto también da la afirmación de la formulación anterior. ${\displaystyle X=\mathbb {S} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }Y}$

Esta afirmación se generaliza un poco más reemplazando el módulo con los grupos de cohomología para algún espectro conectivo (o espacio topológico ). Esto se debe a que la construcción de la secuencia espectral utiliza una resolución "libre" como módulo, por lo tanto, podemos calcular los grupos Ext como segunda entrada. Por lo tanto, obtenemos una secuencia espectral con -page dada por ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle H^{*}(Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H^{*}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$ ${\displaystyle H^{*}(Y)}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),H^{*}(Y))}$

que tiene la propiedad de convergencia de ser isomorfo a las piezas graduadas de una filtración de la torsión del grupo de homotopía estable de clases de homotopía de mapas entre y , es decir ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E_{2}^{s,t}\Rightarrow \pi _{k}^{\mathbb {S} }([X,Y])\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

Secuencia espectral para los grupos de esferas de homotopía estable.

Por ejemplo, si dejamos que ambos espectros sean el espectro de la esfera, entonces la secuencia espectral de Adams tiene la propiedad de convergencia ${\displaystyle X=Y=\mathbb {S} }$

${\displaystyle E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(\mathbb {S} ),H^{*}(\mathbb {S} ))\Rightarrow \pi _{*}(\mathbb {S} )\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

proporcionando una herramienta técnica para abordar un cálculo de los grupos de esferas de homotopía estable. Resulta que muchos de los primeros términos se pueden calcular explícitamente a partir de información puramente algebraica ^{[2] págs. 23-25} . También tenga en cuenta que podemos reescribir , por lo que la página es ${\displaystyle H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{t,s}=\operatorname {Ext} _{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(\mathbb {Z} /p,\mathbb {Z} /p)\Rightarrow \pi _{*}(\mathbb {S} )\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

Incluimos esta información de cálculo a continuación para . ${\displaystyle p=2}$

Términos extendidos de la resolución

Dada la resolución Adams

${\displaystyle \cdots \to H^{*}(F_{2})\to H^{*}(F_{1})\to H^{*}(F_{0})\to H^{*}(X)}$

tenemos los términos como ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{s,t}=\operatorname {Hom} _{{\mathcal {A}}_{p}}^{t}(H^{*}(F_{s}),H^{*}(Y))}$

para los grupos Hom graduados. Entonces la página se puede escribir como ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}={\begin{array}{c|ccc}3&\vdots &\vdots &\vdots \\2&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\1&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\0&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\\hline &0&1&2\end{array}}}$

por lo que se puede pensar en el grado de cuán "profundo" en la resolución de Adams llegamos antes de que podamos encontrar los generadores. ${\displaystyle s}$

Cálculos

La secuencia en sí no es un dispositivo algorítmico, pero se presta a la resolución de problemas en casos particulares.

Calificación del diferencial

El décimo diferencial de Adams siempre va hacia la izquierda 1 y hacia arriba . Eso es, ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle d_{r}\colon E_{r}^{s,t}\to E_{r}^{s+r,t+r-1}}$.

Ejemplos con espectros de Eilenberg-Maclane

Algunos de los cálculos más simples se realizan con espectros de Eilenberg-Maclane como y . ^{[1] : 48} Para el primer caso, tenemos la página ${\displaystyle X=H\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X=H\mathbb {Z} /(p^{k})}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

dando una secuencia espectral colapsada, por lo tanto . Esto se puede reescribir como ${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$

${\displaystyle {\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(H\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} /p)={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ if }}t\neq s\end{cases}}}$

dando la página. Para el otro caso, tenga en cuenta que hay una secuencia de cofibras. ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle H\mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot p^{k}} H\mathbb {Z} \to H\mathbb {Z} /p^{k}\to \Sigma H\mathbb {Z} }$

lo que termina dando una división en cohomología, así como -módulos. Entonces, la página de se puede leer como ${\displaystyle H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle H^{*}(H\mathbb {Z} /p)}$

${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{if }}t-s=0,1\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

La página esperada es ${\displaystyle E_{\infty }}$

${\displaystyle E_{\infty }^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p^{k}&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$.

La única forma de que esta secuencia espectral converja en esta página es si hay diferenciales no triviales admitidos en cada elemento con clasificación Adams . ${\displaystyle (s,s+1)}$

Otras aplicaciones

El uso original de Adams para su secuencia espectral fue la primera prueba del problema del invariante 1 de Hopf: admite una estructura de álgebra de división sólo para n = 1, 2, 4 u 8. Posteriormente encontró una prueba mucho más corta utilizando operaciones de cohomología en K- teoría . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El teorema del isomorfismo de Thom relaciona la topología diferencial con la teoría de la homotopía estable, y aquí es donde la secuencia espectral de Adams encontró su primer uso importante: en 1960, John Milnor y Sergei Novikov usaron la secuencia espectral de Adams para calcular el anillo de coeficientes del cobordismo complejo . Además, Milnor y CTC Wall utilizaron la secuencia espectral para probar la conjetura de Thom sobre la estructura del anillo de cobordismo orientado : dos variedades orientadas son cobordantes si y sólo si sus números de Pontryagin y Stiefel-Whitney coinciden.

Grupos de esferas de homotopía estable.

Diagrama visual que muestra la página de la secuencia espectral de Adams que calcula los grupos de esferas de homotopía estable. Los puntos representan elementos sobrantes de la página y las líneas diagonales que se mueven hacia arriba y hacia la izquierda representan varios diferenciales en la secuencia espectral. El diferencial se mueve una unidad hacia la izquierda y unidades hacia arriba. Las líneas verticales se utilizan como herramienta contable para determinar la estructura de los grupos de torsión. Además, representan la multiplicación por . Las líneas que se mueven una unidad hacia arriba y hacia la derecha representan la multiplicación por . ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle h_{1}}$

Usando la secuencia espectral anterior podemos calcular varios términos explícitamente, dando algunos de los primeros grupos de esferas con homotopía estable. ^[2] Porque esto equivale a mirar la página con ${\displaystyle X=Y=\mathbb {S} }$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{2}}^{s,t}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} /2)}$

Esto se puede hacer mirando primero la resolución de Adams de . Como está en grado , tenemos una sobreyección. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}\cdot \iota \to \mathbb {Z} /2}$

donde se denota un generador en grados . El núcleo consta de todos los elementos para la generación de monomios admisibles , por lo tanto tenemos un mapa ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle Sq^{I}\iota }$ ${\displaystyle Sq^{I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle \bigoplus _{I{\text{ admissible}}}{\mathcal {A}}_{2}\cdot Sq^{I}\iota \to K_{0}}$

y denotamos a cada uno de los generadores asignados a en la suma directa como , y al resto de los generadores como para some . Por ejemplo, ${\displaystyle Sq^{i}\iota }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle Sq^{I}\alpha _{j}}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}\mapsto Sq^{1}\iota &&Sq^{2}\alpha _{1}\mapsto Sq^{2,1}\iota \\\alpha _{2}\mapsto Sq^{2}\iota &&Sq^{1}\alpha _{2}\mapsto Sq^{3}\iota \\\alpha _{4}\mapsto Sq^{4}\iota &&Sq^{3}\alpha _{1}\mapsto Sq^{3,1}\iota \\\alpha _{8}\mapsto Sq^{8}&&Sq^{2}\alpha _{2}\mapsto Sq^{3,1}\iota \end{aligned}}}$

Observe que los dos últimos elementos de se asignan al mismo elemento, lo que se deriva de las relaciones de Adem. Además, hay elementos en el núcleo, como desde ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle Sq^{1}\alpha _{1}}$

${\displaystyle Sq^{1}\alpha _{1}\mapsto Sq^{1}Sq^{1}\iota =0}$

debido a la relación Adem. Llamamos al generador de este elemento en , . Podemos aplicar el mismo proceso y obtener un kernel , resolverlo, etc. Cuando lo hacemos, obtenemos una página que se parece a ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{s,t}={\begin{array}{c|ccc}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\4&Sq^{4}\iota ,Sq^{3,1}\iota &Sq^{2,1}\alpha _{1},Sq^{3}\alpha _{1},Sq^{2}\alpha _{2},\alpha _{4}&Sq^{2}\beta _{2}&\cdots \\3&Sq^{3}\iota ,Sq^{2,1}\iota &Sq^{2}\alpha _{1},Sq^{1}\alpha _{2}&Sq^{1}\beta _{2}&\cdots \\2&Sq^{2}\iota &\alpha _{2},Sq^{1}\alpha _{1}&\beta _{2}&\cdots \\1&Sq^{1}\iota &\alpha _{1}&0&\cdots \\0&\iota &0&0&\cdots \\\hline &0&1&2\end{array}}}$

que puede ampliarse por ordenador hasta cierto punto con relativa facilidad. Utilizando los generadores y las relaciones encontrados, podemos calcular la página con relativa facilidad. A veces, a los teóricos de la homotopía les gusta reorganizar estos elementos haciendo que el índice horizontal indique y el índice vertical indique un tipo diferente de diagrama para la página ^{[2] página 21} . Consulte el diagrama de arriba para obtener más información. ${\displaystyle 100}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t-s}$ ${\displaystyle E_{2}}$

Generalizaciones

La secuencia espectral de Adams-Novikov es una generalización de la secuencia espectral de Adams introducida por Novikov (1967) donde la cohomología ordinaria es reemplazada por una teoría de cohomología generalizada , a menudo bordismo complejo o cohomología de Brown-Peterson . Esto requiere conocimiento del álgebra de operaciones de cohomología estable para la teoría de cohomología en cuestión, pero permite cálculos que son completamente intratables con la secuencia espectral clásica de Adams.

Ver también

• Sistema Póstnikov
• Álgebra de Steenrod
• Espectro (topología)
• resolución de Adams
• Las conjeturas de Ravenel

Referencias

• Adams, J. Frank (1958), "Sobre la estructura y aplicaciones del álgebra de Steenrod", Commentarii Mathematici Helvetici , 32 (1): 180–214, doi :10.1007/BF02564578, ISSN  0010-2571, MR  0096219, S2CID  15677036
• Adams, J. Frank (2013) [1964], Teoría de la homotopía estable, Lecture Notes in Mathematics, vol. 3, Springer, ISBN 9783662159422, SEÑOR  0185597
• Botvinnik, Boris (1992), Manifolds with Singularities and the Adams-Novikov Spectral Sequence, Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, Cambridge University Press , ISBN 0-521-42608-1
• McCleary, John (febrero de 2001), Guía del usuario sobre secuencias espectrales , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 58 (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6, señor  1793722
• Novikov, Sergei (1967), "Métodos de topología algebraica desde el punto de vista de la teoría del cobordismo", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (en ruso), 31 : 855–951
• Ravenel, Douglas C. (1978), "Una guía para principiantes sobre la secuencia espectral Adams-Novikov", en Barratt, MG; Mahowald, Mark E. (eds.), Aplicaciones geométricas de la teoría de la homotopía (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II , Lecture Notes in Mathematics, vol. 658, Springer, págs. 404–475, doi :10.1007/BFb0068728, ISBN 978-3-540-08859-2, SEÑOR  0513586
• Ravenel, Douglas C. (2003), Cobordismo complejo y grupos de esferas de homotopía estable (2ª ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, señor  0860042.

Resúmenes de cálculos

• Isaksen, DC; Wang, G.; Xu, Z. (2020). "Tallos más estables". arXiv : 2001.04511 [matemáticas.AT].– calcula todas las secuencias espectrales de Adams para los grupos de esferas de homotopía estable hasta el grado 90

Términos de orden superior

• Baués, HJ; Jibladze, M. (2004). "Cálculo del término E_3 de la secuencia espectral de Adams". arXiv : matemáticas/0407045 .
• Baués, HJ; Blanc, D. (2015). "Funtores derivados de orden superior y la secuencia espectral de Adams". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 219 (2): 199–239. arXiv : 1108.3376 . doi :10.1016/j.jpaa.2014.04.018. S2CID  119144480.
• Baués, HJ; Frankland, M. (2016). "Álgebras de 2 pistas y la secuencia espectral de Adams". J. Relación de homotopía. Estructura . 11 (4): 679–713. arXiv : 1505.03885 . doi :10.1007/s40062-016-0147-x. S2CID  119658430.

enlaces externos

• Bruner, Robert R. (2 de junio de 2009), Introducción a la secuencia espectral de Adams (PDF)
• Hatcher, Allen , "La secuencia espectral de Adams" (PDF) , Secuencias espectrales

Notas

1. Ravenel, Douglas C. (1986). Cobordismo complejo y grupos de esferas de homotopía estable. Orlando: Prensa académica. ISBN 978-0-08-087440-1. OCLC  316566772.
2. Hatcher, Allen. "Secuencias espectrales en topología algebraica" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 28 de julio de 2018.