Segundo lema de isotopía de Thom

En matemáticas, especialmente en topología diferencial , el segundo lema de isotopía de Thom es una versión familiar del primer lema de isotopía de Thom ; es decir, establece que una familia de aplicaciones entre espacios estratificados de Whitney es localmente trivial cuando es una aplicación de Thom . ^[1] Al igual que el primer lema de isotopía, el lema fue introducido por René Thom .

(Mather 2012, § 11) ofrece un esbozo de la prueba. (Verona 1984) ofrece una prueba simplificada. Al igual que el primer lema de isotopía, el lema también se cumple para la estratificación con la condición de Bekka (C), que es más débil que la condición de Whitney (B). ^[2]

Mapeo de Thom

Sea una función suave entre variedades suaves y subvariedades tales que ambas tienen diferencial de rango constante. Entonces se dice que la condición de Thom se cumple si para cada sucesión en X que converge a un punto y en Y y tal que converge a un plano en el Grassmanniano, tenemos ^[3] ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle X,Y\subset M}$ ${\displaystyle f|_{X},f|_{Y}}$ ${\displaystyle (a_{f})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} (d(f|_{X})_{x_{i}})}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {ker} (d(f|_{Y})_{y})\subset \tau .}$

Sean subconjuntos cerrados estratificados de Whitney y aplicaciones de alguna variedad suave Z tal que sea una aplicación sobre Z ; es decir, y . Entonces se denomina aplicación de Thom si se cumplen las siguientes condiciones: ^[3] ${\displaystyle S\subset M,S'\subset N}$ ${\displaystyle p:S\to Z,q:S'\to Z}$ ${\displaystyle f:S\to S'}$ ${\displaystyle f(S)\subset S'}$ ${\displaystyle q\circ f|_{S}=p}$ ${\displaystyle f}$

• ${\displaystyle f|_{S},q}$son apropiadas
• ${\displaystyle q}$es una inmersión en cada estrato de . ${\displaystyle S'}$
• Para cada estrato X de S , se encuentra en un estrato Y de y es una inmersión. ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$
• La condición de Thom se cumple para cada par de estratos de . ${\displaystyle (a_{f})}$ ${\displaystyle S}$

Entonces, el segundo lema de isotopía de Thom dice que una aplicación de Thom es localmente trivial sobre Z ; es decir, cada punto z de Z tiene un vecindario U con homeomorfismos sobre U tales que . ^[3] ${\displaystyle h_{1}:p^{-1}(z)\times U\to p^{-1}(U),h_{2}:q^{-1}(z)\times U\to q^{-1}(U)}$ ${\displaystyle f\circ h_{1}=h_{2}\circ (f|_{p^{-1}(z)}\times \operatorname {id} )}$

Véase también

• Espacio estratificado de Thom-Mather  – Espacio topológico
• Primer lema de isotopía de Thom  – TeoremaPáginas que muestran descripciones breves sin espacios

Referencias

1. Mather 2012, Proposición 11.2.
2. § 3 de Bekka, K. (1991). "C-Régularité et trivialité topologique". Teoría de la singularidad y sus aplicaciones . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1462. Saltador. págs. 42–62. doi :10.1007/BFb0086373. ISBN 978-3-540-53737-3.
3. Mather 2012, § 11.

• Mather, John (2012). "Notas sobre estabilidad topológica". Boletín de la American Mathematical Society . 49 (4): 475–506. doi : 10.1090/S0273-0979-2012-01383-6 .
• Thom, R. (1969). "Conjuntos y morfismos estratificados". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 75 (2): 240–284. doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12138-5 .
• Verona, Andrei (1984). Aplicaciones estratificadas: estructura y triangulación. Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1102. Springer. doi :10.1007/BFb0101672. ISBN . 978-3-540-13898-3.