Gavilla constante

En matemáticas , el haz constante en un espacio topológico asociado a un conjunto es un haz de conjuntos en cuyos tallos son todos iguales a . Se denota por o . El prehaz constante con valor es el prehaz que asigna a cada subconjunto abierto el valor , y todos cuyos mapas de restricción son el mapa identidad . El haz constante asociado a es la gavillación del prehaz constante asociado a . Este haz se identifica con el haz de funciones de valor constante local en . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle A_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

En ciertos casos, el conjunto puede ser reemplazado por un objeto de alguna categoría (por ejemplo, cuando es la categoría de grupos abelianos o anillos conmutativos ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textbf {C}}}$ ${\displaystyle {\textbf {C}}}$

Los haces constantes de grupos abelianos aparecen en particular como coeficientes en la cohomología de haces .

Lo esencial

Sea un espacio topológico y un conjunto. Las secciones del haz constante sobre un conjunto abierto pueden interpretarse como las funciones continuas , donde se da la topología discreta . Si es conexo , entonces estas funciones localmente constantes son constantes. Si es la función única del espacio de un punto y se considera como un haz en , entonces la imagen inversa es el haz constante en . El espacio del haz de es la función de proyección (donde se da la topología discreta). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:X\to \{{\text{pt}}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{{\text{pt}}\}}$ ${\displaystyle f^{-1}A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\times A\to X}$

Un ejemplo detallado

Prehaz constante en un espacio discreto de dos puntos

Espacio topológico discreto de dos puntos

Sea el espacio topológico formado por dos puntos y con la topología discreta . tiene cuatro conjuntos abiertos: . Las cinco inclusiones no triviales de los conjuntos abiertos de se muestran en el gráfico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing ,\{p\},\{q\},\{p,q\}}$ ${\displaystyle X}$

Un prehaz en elige un conjunto para cada uno de los cuatro conjuntos abiertos de y un mapa de restricción para cada una de las inclusiones (con mapa identidad para ). El prehaz constante con valor , denotado , es el prehaz donde los cuatro conjuntos son , los enteros, y todos los mapas de restricción son la identidad. es un funtor en el diagrama de inclusiones (un prehaz), porque es constante. Satisface el axioma de pegado, pero no es un haz porque no cumple el axioma de identidad local en el conjunto vacío. Esto se debe a que el conjunto vacío está cubierto por la familia vacía de conjuntos, , y vacuamente, dos secciones cualesquiera en son iguales cuando se restringen a cualquier conjunto en la familia vacía . Por lo tanto, el axioma de identidad local implicaría que dos secciones cualesquiera en son iguales, lo cual es falso. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset U}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varnothing =\bigcup \nolimits _{U\in \{\}}U}$ ${\displaystyle F(\varnothing )}$ ${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystyle F(\varnothing )}$

Para modificar esto en un prehaz que satisface el axioma de identidad local, sea , un conjunto de un elemento, y dé el valor en todos los conjuntos no vacíos. Para cada inclusión de conjuntos abiertos, sea la restricción la función única a 0 si el conjunto más pequeño está vacío, o la función identidad en caso contrario. Nótese que está forzada por el axioma de identidad local. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(\varnothing )=0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle G(\varnothing )=0}$

Paso intermedio para la gavilla constante

Ahora es un prehaz separado (satisface la identidad local), pero a diferencia de él, no cumple con el axioma de unión. De hecho, está desconectado , cubierto por conjuntos abiertos no intersecantes y . Elija secciones distintas en sobre y respectivamente. Debido a que y restringen al mismo elemento 0 sobre , el axioma de unión garantizaría la existencia de una sección única en que restringe a sobre y sobre ; pero las aplicaciones de restricción son la identidad, dando , que es falso. Intuitivamente, es demasiado pequeño para llevar información sobre ambos componentes conectados y . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle m\neq n}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G(\{p,q\})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle m=s=n}$ ${\displaystyle G(\{p,q\})}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$

Haz constante en un espacio topológico de dos puntos

Modificando aún más para satisfacer el axioma de pegado, sea

${\displaystyle H(\{p,q\})=\mathrm {Fun} (\{p,q\},\mathbf {Z} )\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$,

las funciones con valores en , y definen los mapas de restricción de como una restricción natural de funciones a y , con el mapa cero restringiendo a . Entonces es un haz, llamado el haz constante en con valor . Dado que todos los mapas de restricción son homomorfismos de anillos, es un haz de anillos conmutativos. ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ ${\displaystyle H}$

Véase también

• Gavilla localmente constante

Referencias

1. "¿Tiene la extensión por haz cero del haz constante alguna descripción interesante?". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 8 de julio de 2022 .

• Sección II.1 de Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Sección 2.4.6 de Tennison, BR (1975), Teoría de haces , ISBN 978-0-521-20784-3