Teorema de aproximación simple

Continuous mappings can be approximated by ones that are piecewise simple

En matemáticas , el teorema de aproximación simplicial es un resultado fundamental de la topología algebraica , que garantiza que las asignaciones continuas pueden ser aproximadas (mediante una ligera deformación) por otras que son por partes del tipo más simple. Se aplica a asignaciones entre espacios que se construyen a partir de simples , es decir, complejos simpliciales finitos . El mapeo continuo general entre dichos espacios se puede representar aproximadamente por el tipo de mapeo que es ( afín -) lineal en cada simplex a otro simplex, a costa de (i) una subdivisión baricéntrica suficiente de los simples del dominio, y (ii ) sustitución del mapeo real por uno homotópico .

Este teorema fue demostrado por primera vez por LEJ Brouwer , mediante el uso del teorema de cobertura de Lebesgue (un resultado basado en la compacidad ). ^{[ cita necesaria ]} Sirvió para poner la teoría de la homología de la época, la primera década del siglo XX, sobre una base rigurosa, ya que demostró que el efecto topológico (sobre los grupos de homología ) de los mapeos continuos podría expresarse en un caso dado. de manera finita . Esto debe verse en el contexto de la comprensión en ese momento de que la continuidad era en general compatible con lo patológico , en algunas otras áreas. Esto inició, se podría decir, la era de la topología combinatoria .

Existe otro teorema de aproximación simplificada para homotopías , que establece que una homotopía entre asignaciones continuas también puede aproximarse mediante una versión combinatoria.

Declaración formal del teorema.

Sean y dos complejos simpliciales . Un mapeo simplicial se llama aproximación simplicial de una función continua si para cada punto , pertenece al simplex mínimo cerrado que contiene el punto . Si es una aproximación simplicial a un mapa continuo , entonces la realización geométrica de es necesariamente homotópica . ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f:K\to L}$ ${\displaystyle F:|K|\to |L|}$ ${\displaystyle x\in |K|}$ ${\displaystyle |f|(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle F}$

El teorema de aproximación simple establece que dado cualquier mapa continuo existe un número natural tal que para todos existe una aproximación simple a (donde denota la subdivisión baricéntrica de y denota el resultado de aplicar tiempos de subdivisión baricéntrica), en otras palabras, si y son complejos simpliciales y es una función continua, entonces hay una subdivisión de y un mapa simplicial que es homotópico de . Además, si es un mapa continuo positivo, entonces hay subdivisiones de y un mapa simplicial tal que es -homotópico de ; es decir, existe una homotopía de a tal que para todos . Por tanto, podemos considerar el teorema de aproximación simplicial como un análogo lineal por partes del teorema de aproximación de Whitney. ${\displaystyle F:|K|\to |L|}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle f:\mathrm {Bd} ^{n}K\to L}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {Bd} \;K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {Bd} ^{n}K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f:|K|\to |L|}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g:K'\to L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon :|L|\to {\mathbb {R}}}$ ${\displaystyle K',L'}$ ${\displaystyle K,L}$ ${\displaystyle g:K'\to L'}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H:|K|\times [0,1]\to |L|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {diam} (H(x\times [0,1]))<\epsilon (f(x))}$ ${\displaystyle x\in |K|}$

Referencias

• "Complejo simplicial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]