Simplex

Los cuatro símplex que pueden representarse completamente en el espacio 3D.

En geometría , un símplex (plural: símplexes o simplices ) es una generalización de la noción de triángulo o tetraedro a dimensiones arbitrarias . El símplex se llama así porque representa el politopo más simple posible en cualquier dimensión dada. Por ejemplo,

Un símplex de dimensión 0 es un punto ,
Un simplex unidimensional es un segmento de línea ,
Un simplex bidimensional es un triángulo ,
Un símplex tridimensional es un tetraedro , y
Un simplex de 4 dimensiones es de 5 celdas .

En concreto, un $k$ -símplex es un politopo de dimensión $k$ que es la envoltura convexa de sus $k$ $+ 1$ vértices . De manera más formal, supongamos que los $k$ $+ 1$ puntos son afínmente independientes , lo que significa que los $k$ vectores son linealmente independientes . Entonces, el símplex determinado por ellos es el conjunto de puntos ${\ Displaystyle u_ {0}, \ puntos, u_ {k}}$ $u_{1}-u_{0},\dots,u_{k}-u_{0}$ $C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\puntos +\theta _{k}u_{k}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=1{\mbox{ y }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ para }}i=0,\puntos ,k\right\}.$

Un símplex regular ^[1] es un símplex que también es un politopo regular . Un $k$ -símplex regular puede construirse a partir de un $(k - 1)$ -símplex regular conectando un nuevo vértice a todos los vértices originales por la longitud de la arista común.

El símplex estándar o símplex de probabilidad ^[2] es el símplex $(k - 1)$ -dimensional cuyos vértices son los $k$ vectores unitarios estándar en , o en otras palabras $\mathbf {R} ^{k}$ $\left\{x\in \mathbf {R} ^{k}:x_{0}+\dots +x_{k-1}=1,x_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\dots ,k-1\right\}.$

En topología y combinatoria , es común "pegar" símplices para formar un complejo simplicial . La estructura combinatoria asociada se denomina complejo simplicial abstracto , en cuyo contexto la palabra "símplice" simplemente significa cualquier conjunto finito de vértices.

Historia

El concepto de símplex era conocido por William Kingdon Clifford , quien escribió sobre estas formas en 1886, pero las llamó «confines primos». Henri Poincaré , escribiendo sobre topología algebraica en 1900, las llamó «tetraedros generalizados». En 1902, Pieter Hendrik Schoute describió el concepto primero con el superlativo latino simplicissimum («el más simple») y luego con el mismo adjetivo latino en la forma normal simplex («simple»). ^[3]

La familia de politopos regulares es la primera de tres familias de politopos regulares , etiquetada por Donald Coxeter como $α n$ , las otras dos son la familia de politopos cruzados , etiquetada como $β n$ , y los hipercubos , etiquetados como $γ n$ . Una cuarta familia, la teselación del espacio $n$ -dimensional por una cantidad infinita de hipercubos , la etiquetó como $δ n$ . ^[4]

Elementos

La envoltura convexa de cualquier subconjunto no vacío de los $n$ $+ 1$ puntos que definen un $n$ -símplex se denomina cara del símplex. Las caras son símplex en sí mismas. En particular, la envoltura convexa de un subconjunto de tamaño $m$ $+ 1$ (de los $n$ $+ 1$ puntos que definen) es un $m$ -símplex, denominado $m$ -cara del $n$ -símplex. Las 0-caras (es decir, los propios puntos que definen como conjuntos de tamaño 1) se denominan vértices (singular: vértice), las 1-caras se denominan aristas , las ( $n$ $- 1$ )-caras se denominan facetas y la única $n$ -cara es el $n$ -símplex completo en sí. En general, el número de $m$ -caras es igual al coeficiente binomial . ^[5] En consecuencia, el número de $m$ -caras de un $n$ -símplice se puede encontrar en la columna ( $m$ $+ 1$ ) de la fila ( $n$ $+ 1$ ) del triángulo de Pascal . Un símplice $A$ es una cocara de un símplice $B$ si $B$ es una cara de $A$ . Cara y faceta pueden tener diferentes significados al describir tipos de símplices en un complejo simplicial . ${\tbinom {n+1}{m+1}}$

El vector f extendido para un $n$ -símplex se puede calcular mediante $(1, 1) n +1$ , como los coeficientes de productos polinómicos . Por ejemplo, un 7-símplex es ( 1 , 1 ) ⁸ = ( 1 ,2, 1 ) ⁴ = ( 1 ,4,6,4, 1 ) ² = ( 1 ,8,28,56,70,56,28,8, 1 ).

El número de 1-caras (aristas) del $n$ -símplex es el $n$ -ésimo número de triángulo , el número de 2-caras del $n$ -símplex es el $(n -1)$ -ésimo número de tetraedro , el número de 3-caras del $n$ -símplex es el $(n -2)$ -ésimo número de 5 celdas, y así sucesivamente.

Un $n$ -símplex es el politopo con menos vértices que requiere $n$ dimensiones. Considere un segmento de línea AB como una forma en un espacio unidimensional (el espacio unidimensional es la línea en la que se encuentra el segmento). Se puede colocar un nuevo punto $C$ en algún lugar fuera de la línea. La nueva forma, el triángulo ABC , requiere dos dimensiones; no cabe en el espacio unidimensional original. El triángulo es el 2-símplex, una forma simple que requiere dos dimensiones. Considere un triángulo ABC , una forma en un espacio bidimensional (el plano en el que reside el triángulo). Se puede colocar un nuevo punto $D$ en algún lugar fuera del plano. La nueva forma, el tetraedro ABCD , requiere tres dimensiones; no cabe en el espacio bidimensional original. El tetraedro es el 3-símplex, una forma simple que requiere tres dimensiones. Considere el tetraedro ABCD , una forma en un espacio tridimensional (el espacio tridimensional en el que se encuentra el tetraedro). Se puede colocar un nuevo punto $E$ en algún lugar fuera del espacio tridimensional. La nueva forma ABCDE , llamada 5-celda, requiere cuatro dimensiones y se llama 4-símplex; no cabe en el espacio tridimensional original. (Tampoco se puede visualizar fácilmente). Esta idea se puede generalizar, es decir, añadiendo un único punto nuevo fuera del espacio ocupado actualmente, lo que requiere ir a la siguiente dimensión superior para contener la nueva forma. Esta idea también se puede trabajar al revés: el segmento de línea con el que empezamos es una forma simple que requiere un espacio unidimensional para contenerla; el segmento de línea es el 1-símplex. El segmento de línea en sí se formó comenzando con un único punto en el espacio 0-dimensional (este punto inicial es el 0-símplex) y añadiendo un segundo punto, lo que requirió el aumento al espacio unidimensional.

Más formalmente, un $(n + 1)$ -símplex se puede construir como una unión (operador ∨) de un $n$ -símplex y un punto, $( )$ . Un $(m + n + 1)$ -símplex se puede construir como una unión de un $m$ -símplex y un $n$ -símplex. Los dos símplex están orientados para ser completamente normales entre sí, con traslación en una dirección ortogonal a ambos. Un 1-símplex es la unión de dos puntos: $( ) \lor ( ) = 2 \cdot ( )$ . Un 2-símplex general (triángulo escaleno) es la unión de tres puntos: $( ) \lor ( ) \lor ( )$ . Un triángulo isósceles es la unión de un 1-símplex y un punto: ${ } \lor ( )$ . Un triángulo equilátero es 3 ⋅ ( ) o {3}. Un 3-símplex general es la unión de 4 puntos: $( ) \lor ( ) \lor ( ) \lor ( )$ . Un 3-símplex con simetría especular se puede expresar como la unión de una arista y dos puntos: ${ } \lor ( ) \lor ( )$ . Un 3-símplex con simetría triangular se puede expresar como la unión de un triángulo equilátero y 1 punto: $3.( )\lor( )$ o ${3}\lor( )$ . Un tetraedro regular es $4 \cdot ( )$ o {3,3} y así sucesivamente.

En algunas convenciones, ^[7] el conjunto vacío se define como un (−1)-símplex. La definición del símplex anterior todavía tiene sentido si $n = -1$ . Esta convención es más común en aplicaciones a la topología algebraica (como la homología simplicial ) que al estudio de politopos.

Gráficas simétricas de simples regulares

Estos polígonos de Petrie (proyecciones ortogonales sesgadas) muestran todos los vértices del símplex regular en un círculo y todos los pares de vértices conectados por aristas.

Simplex estándar

El $n$ -simplex estándar (o $n$ -simplex unitario ) es el subconjunto de $R n +1$ dado por

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\ldots ,n\right\}

El símplex $Δ n$ se encuentra en el hiperplano afín obtenido al eliminar la restricción $t i \geq 0$ en la definición anterior.

Los $n + 1$ vértices del $n$ -símplex estándar son los puntos $e i \in R n +1$ , donde

y 0 = (1, 0, 0, ..., 0),

y 1 = (0, 1, 0, ..., 0),

⋮

y n = (0, 0, 0, ..., 1)

Un símplex estándar es un ejemplo de un politopo 0/1 , con todas las coordenadas como 0 o 1. También puede verse como una faceta de un ortoplex regular ( n $+ 1)$ .

Existe una función canónica del $n$ -símplex estándar a un $n$ -símplex arbitrario con vértices ( $v 0$ , ..., $v n$ ) dado por

(t_{0},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}t_{i}v_{i}

Los coeficientes $t i$ se denominan coordenadas baricéntricas de un punto en el $n$ -símplex. Este símplex general se denomina a menudo $n$ -símplex afín , para enfatizar que la función canónica es una transformación afín . También se denomina a veces $n-$ símplex afín orientado , para enfatizar que la función canónica puede conservar o invertir la orientación.

De manera más general, existe una función canónica del -símplex estándar (con $n$ vértices) sobre cualquier politopo con $n$ vértices, dada por la misma ecuación (modificando la indexación): $(n-1)$

(t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}

Estas se conocen como coordenadas baricéntricas generalizadas y expresan cada politopo como la imagen de un símplex: $\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.$

Una función comúnmente utilizada desde $R n$ al interior del -símplex estándar es la función softmax , o función exponencial normalizada; ésta generaliza la función logística estándar . $(n-1)$

Ejemplos

Δ ⁰ es el punto $1$ en $R 1$ .
Δ ¹ es el segmento de línea que une $(1, 0)$ y $(0, 1)$ en $R 2$ .
Δ ² es el triángulo equilátero con vértices $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$ en $R 3$ .
Δ ³ es el tetraedro regular con vértices $(1, 0, 0, 0)$ , $(0, 1, 0, 0)$ , $(0, 0, 1, 0)$ y $(0, 0, 0, 1)$ en $R 4$ .
Δ ⁴ es la celda regular de 5 celdas con vértices $(1, 0, 0, 0, 0)$ , $(0, 1, 0, 0, 0)$ , $(0, 0, 1, 0, 0)$ , $(0, 0, 0, 1, 0)$ y $(0, 0, 0, 0, 1)$ en $R 5$ .

Aumentando coordenadas

Un sistema de coordenadas alternativo se da tomando la suma indefinida :

{\begin{aligned}s_{0}&=0\\s_{1}&=s_{0}+t_{0}=t_{0}\\s_{2}&=s_{1}+t_{1}=t_{0}+t_{1}\\s_{3}&=s_{2}+t_{2}=t_{0}+t_{1}+t_{2}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=s_{n-1}+t_{n-1}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n-1}\\s_{n+1}&=s_{n}+t_{n}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1\end{aligned}}

Esto produce la presentación alternativa por orden, es decir, como $n$ -tuplas no decrecientes entre 0 y 1:

\Delta _{*}^{n}=\left\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in \mathbf {R} ^{n}\mid 0=s_{0}\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \dots \leq s_{n}\leq s_{n+1}=1\right\}.

Geométricamente, se trata de un subconjunto $n$ -dimensional de (dimensión máxima, codimensión 0) en lugar de (codimensión 1). Las facetas, que en el símplex estándar corresponden a una coordenada que se desvanece, aquí corresponden a coordenadas sucesivas que son iguales, mientras que el interior corresponde a desigualdades que se vuelven estrictas (secuencias crecientes). $\mathbf {R} ^{n}$ $\mathbf {R} ^{n+1}$ $t_{i}=0,$ $s_{i}=s_{i+1},$

Una distinción clave entre estas presentaciones es el comportamiento bajo la permutación de coordenadas: el símplex estándar se estabiliza permutando las coordenadas, mientras que la permutación de elementos del "símplex ordenado" no lo deja invariante, ya que la permutación de una secuencia ordenada generalmente la hace desordenada. De hecho, el símplex ordenado es un dominio fundamental (cerrado) para la acción del grupo simétrico sobre el $n$ -cubo, lo que significa que la órbita del símplex ordenado bajo los $n$ ! elementos del grupo simétrico divide el $n$ -cubo en símplex mayoritariamente disjuntos (disjuntos excepto por los límites), lo que muestra que este símplex tiene volumen $1/$ $n$ $!$ . Alternativamente, el volumen se puede calcular mediante una integral iterada, cuyos integrandos sucesivos son 1, $x$ , $x$ $2$ $/2$ , $x$ $3$ $/3!$ , ..., $x$ $n$ $/$ $n$ $!$ . $n!$

Una propiedad adicional de esta presentación es que utiliza el orden pero no la suma, y por lo tanto puede definirse en cualquier dimensión sobre cualquier conjunto ordenado y, por ejemplo, puede usarse para definir un símplex de dimensión infinita sin problemas de convergencia de sumas.

Proyección sobre el simplex estándar

Especialmente en aplicaciones numéricas de la teoría de la probabilidad, resulta de interés una proyección sobre el símplex estándar. Dado que se pueden dar entradas negativas, el punto más cercano sobre el símplex tiene coordenadas $(p_{i})_{i}$ $\left(t_{i}\right)_{i}$

t_{i}=\max\{p_{i}+\Delta \,,0\},

donde se elige tal que $\Delta$ ${\textstyle \sum _{i}\max\{p_{i}+\Delta \,,0\}=1.}$

$\Delta$ se puede calcular fácilmente ordenando $p i$ . ^[8] El enfoque de ordenamiento requiere complejidad, que se puede mejorar a una complejidad $O($ $n$ $)$ mediante algoritmos de búsqueda de mediana . ^[9] Proyectar sobre el símplex es computacionalmente similar a proyectar sobre la pelota. $O(n\log n)$ $\ell _{1}$

Esquina del cubo

Finalmente, una variante simple es reemplazar "sumando 1" por "sumando como máximo 1"; esto aumenta la dimensión en 1, por lo que para simplificar la notación, la indexación cambia:

\Delta _{c}^{n}=\left\{(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n}t_{i}\leq 1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.

Esto produce un $n$ -símplex como una esquina del $n$ -cubo, y es un símplex ortogonal estándar. Este es el símplex utilizado en el método símplex , que se basa en el origen y modela localmente un vértice en un politopo con $n$ facetas.

Coordenadas cartesianas para un regularnorte-símplex dimensional enRnorte

Una forma de escribir un $n$ -símplex regular en $R n$ es elegir dos puntos para que sean los dos primeros vértices, elegir un tercer punto para formar un triángulo equilátero, elegir un cuarto punto para formar un tetraedro regular, y así sucesivamente. Cada paso requiere ecuaciones satisfactorias que aseguren que cada nuevo vértice elegido, junto con los vértices elegidos previamente, forme un símplex regular. Hay varios conjuntos de ecuaciones que se pueden escribir y utilizar para este propósito. Estas incluyen la igualdad de todas las distancias entre vértices; la igualdad de todas las distancias desde los vértices hasta el centro del símplex; el hecho de que el ángulo subtendido a través del nuevo vértice por dos vértices previamente elegidos es ; y el hecho de que el ángulo subtendido a través del centro del símplex por dos vértices cualesquiera es . $\pi /3$ $\arccos(-1/n)$

También es posible escribir directamente un $n$ -símplex regular particular en $R n$ que luego puede trasladarse, rotarse y escalarse como se desee. Una forma de hacerlo es la siguiente. Denote los vectores base de $R n$ por $e 1$ a $e n$ . Comience con el $(n - 1)$ -símplex estándar que es la envoltura convexa de los vectores base. Al agregar un vértice adicional, estos se convierten en una cara de un $n$ -símplex regular. El vértice adicional debe estar en la línea perpendicular al baricentro del símplex estándar, por lo que tiene la forma $(α / n, ..., α / n)$ para algún número real $α$ . Dado que la distancia al cuadrado entre dos vectores base es 2, para que el vértice adicional forme un $n$ -símplex regular, la distancia al cuadrado entre él y cualquiera de los vectores base también debe ser 2. Esto produce una ecuación cuadrática para $α$ . Al resolver esta ecuación se ve que hay dos opciones para el vértice adicional:

{\frac {1}{n}}\left(1\pm {\sqrt {n+1}}\right)\cdot (1,\dots ,1).

Cualquiera de estos, junto con los vectores base estándar, produce un $n$ -símplex regular.

El $n$ -símplex regular anterior no está centrado en el origen. Se puede trasladar al origen restando la media de sus vértices. Al cambiar de escala, se le puede dar una longitud de lado unitaria. Esto da como resultado el símplex cuyos vértices son:

{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{i}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}}}{\bigg (}1\pm {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}{\bigg )}\cdot (1,\dots ,1),

para , y $1\leq i\leq n$

\pm {\frac {1}{\sqrt {2(n+1)}}}\cdot (1,\dots ,1).

Tenga en cuenta que aquí se describen dos conjuntos de vértices. Un conjunto se utiliza en cada cálculo. El otro conjunto se utiliza en cada cálculo. $+$ $-$

Este símplex está inscrito en una hiperesfera de radio . ${\sqrt {n/(2(n+1))}}$

Un reescalamiento diferente produce un símplex que está inscrito en una hiperesfera unitaria. Cuando se hace esto, sus vértices son

{\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot \mathbf {e} _{i}-n^{-3/2}({\sqrt {n+1}}\pm 1)\cdot (1,\dots ,1),

donde , y $1\leq i\leq n$

\pm n^{-1/2}\cdot (1,\dots ,1).

La longitud del lado de este símplex es . ${\textstyle {\sqrt {2(n+1)/n}}}$

Una forma altamente simétrica de construir un $n$ -símplex regular es usar una representación del grupo cíclico $Z n +1$ mediante matrices ortogonales . Esta es una matriz ortogonal $n \times n$ $Q$ tal que $Q n +1 = I$ es la matriz identidad , pero ninguna potencia inferior de $Q$ lo es. La aplicación de potencias de esta matriz a un vector apropiado $v$ producirá los vértices de un $n$ -símplex regular. Para llevar a cabo esto, primero observe que para cualquier matriz ortogonal $Q$ , existe una elección de base en la que $Q$ es una matriz diagonal de bloques

Q=\operatorname {diag} (Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{k}),

donde cada $Q i$ es ortogonal y $2 \times 2$ o $1 \times 1$ . Para que $Q$ tenga orden $n + 1$ , todas estas matrices deben tener orden que divida $a n + 1$ . Por lo tanto, cada $Q i$ es una matriz $1 \times 1$ cuya única entrada es $1$ o, si $n$ es impar , $-1$ ; o es una matriz $2 \times 2$ de la forma

{\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&-\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\\\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\end{pmatrix}},

donde cada $ω i$ es un entero entre cero y $n$ inclusive. Una condición suficiente para que la órbita de un punto sea un símplex regular es que las matrices $Q i$ formen una base para las representaciones reales irreducibles no triviales de $Z n +1$ , y el vector que se rota no esté estabilizado por ninguna de ellas.

En términos prácticos, para $n$ par esto significa que cada matriz $Q i$ es $2 \times 2$ , existe una igualdad de conjuntos

\{\omega _{1},n+1-\omega _{1},\dots ,\omega _{n/2},n+1-\omega _{n/2}\}=\{1,\dots ,n\},

y, para cada $Q i$ , las entradas de $v$ sobre las que actúa $Q i$ no son ambas cero. Por ejemplo, cuando $n = 4$ , una matriz posible es

{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)&-\sin(2\pi /5)&0&0\\\sin(2\pi /5)&\cos(2\pi /5)&0&0\\0&0&\cos(4\pi /5)&-\sin(4\pi /5)\\0&0&\sin(4\pi /5)&\cos(4\pi /5)\end{pmatrix}}.

Aplicando esto al vector $(1, 0, 1, 0)$ se obtiene el símplex cuyos vértices son

{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\\\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\\\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\\\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\\\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\end{pmatrix}},

cada uno de los cuales tiene una distancia √5 de los otros. Cuando $n$ es impar, la condición significa que exactamente uno de los bloques diagonales es $1 \times 1$ , igual a $-1$ , y actúa sobre una entrada distinta de cero de $v$ ; mientras que los bloques diagonales restantes, digamos $Q 1, ..., Q (n - 1) / 2$ , son $2 \times 2$ , existe una igualdad de conjuntos

\left\{\omega _{1},-\omega _{1},\dots ,\omega _{(n-1)/2},-\omega _{n-1)/2}\right\}=\left\{1,\dots ,(n-1)/2,(n+3)/2,\dots ,n\right\},

y cada bloque diagonal actúa sobre un par de entradas de $v$ que no son ambas cero. Así, por ejemplo, cuando $n = 3$ , la matriz puede ser

{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.

Para el vector $(1, 0, 1/ \sqrt 2)$ , el símplex resultante tiene vértices

{\begin{pmatrix}1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},

cada uno de los cuales tiene una distancia 2 de los demás.

Propiedades geométricas

Volumen

El volumen de un $n$ -símplex en un espacio $n$ -dimensional con vértices $(v 0, ..., v n)$ es

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&&v_{2}-v_{0}&&\cdots &&v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right|

donde cada columna del determinante $n \times n$ es un vector que apunta desde el vértice $v$ $0$ a otro vértice $v$ $k$ . ^[10] Esta fórmula es particularmente útil cuando es el origen. $v_{0}$

La expresión

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\det \left[{\begin{pmatrix}v_{1}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\v_{2}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\\vdots \\v_{n}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&v_{2}-v_{0}&\cdots &v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right]^{1/2}

emplea un determinante de Gram y funciona incluso cuando los vértices del $n$ -símplex están en un espacio euclidiano con más de $n$ dimensiones, por ejemplo, un triángulo en . $\mathbf {R} ^{3}$

Una forma más simétrica de calcular el volumen de un $n$ -símplex es $\mathbf {R} ^{n}$

\mathrm {Volume} ={1 \over n!}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|.

Otra forma común de calcular el volumen del símplex es a través del determinante de Cayley-Menger , que funciona incluso cuando los vértices del n-símplex están en un espacio euclidiano con más de n dimensiones. ^[11]

Sin el $1/ n!$ es la fórmula para el volumen de un $n$ - paralelotopo . Esto se puede entender de la siguiente manera: Supongamos que $P$ es un $n$ -paralelotopo construido sobre una base de . Dada una permutación de , llamemos a una lista de vértices un $n$ -camino si $(v_{0},e_{1},\ldots ,e_{n})$ $\mathbf {R} ^{n}$ $\sigma$ $\{1,2,\ldots ,n\}$ $v_{0},\ v_{1},\ldots ,v_{n}$

v_{1}=v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{2}=v_{1}+e_{\sigma (2)},\ldots ,v_{n}=v_{n-1}+e_{\sigma (n)}

(por lo tanto, hay $n!$ $n$ -caminos y no depende de la permutación). Se cumplen las siguientes afirmaciones: $v_{n}$

Si $P$ es el $n$ -hipercubo unitario, entonces la unión de los $n$ -símplex formados por la envoltura convexa de cada $n$ -camino es $P$ , y estos símplex son congruentes y no se superponen entre sí. ^[12] En particular, el volumen de dicho símplex es

{\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {1}{n!}}.

Si $P$ es un paralelotopo general, se cumplen las mismas afirmaciones excepto que ya no es cierto, en dimensión > 2, que los símplex necesitan ser congruentes por pares; sin embargo, sus volúmenes siguen siendo iguales, porque el $n$ -paralelotopo es la imagen del $n$ -hipercubo unitario por el isomorfismo lineal que envía la base canónica de a . Como antes, esto implica que el volumen de un símplex que viene de un $n$ -camino es: $\mathbf {R} ^{n}$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$

{\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {\det(e_{1},\ldots ,e_{n})}{n!}}.

Por el contrario, dado un $n$ -símplex de , se puede suponer que los vectores forman una base de . Considerando el paralelepípedo construido a partir de y , se ve que la fórmula anterior es válida para todo símplex. $(v_{0},\ v_{1},\ v_{2},\ldots v_{n})$ $\mathbf {R} ^{n}$ $e_{1}=v_{1}-v_{0},\ e_{2}=v_{2}-v_{1},\ldots e_{n}=v_{n}-v_{n-1}$ $\mathbf {R} ^{n}$ $v_{0}$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$

Finalmente, la fórmula del inicio de esta sección se obtiene observando que

\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots ,v_{n}-v_{0})=\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{n}-v_{n-1}).

De esta fórmula se deduce inmediatamente que el volumen bajo un $n$ -símplex estándar (es decir, entre el origen y el símplex en $R n +1$ ) es

{1 \over (n+1)!}

El volumen de un $n$ -símplex regular con longitud de lado unitaria es

{\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}

como se puede ver al multiplicar la fórmula anterior por $x n +1$ , para obtener el volumen bajo el $n$ -símplex en función de la distancia de su vértice $x$ desde el origen, diferenciando con respecto a $x$ , en (donde la longitud del lado $n$ -símplex es 1), y normalizando por la longitud del incremento, , a lo largo del vector normal. $x=1/{\sqrt {2}}$ $dx/{\sqrt {n+1}}$ $(dx/(n+1),\ldots ,dx/(n+1))$

Ángulos diedros de los regularesnorte-simplex

Dos caras cualesquiera de $(n - 1) dimensiones de un símplex regular$ $de n$ dimensiones son en sí mismas símplices regulares de $(n - 1)$ dimensiones, y tienen el mismo ángulo diedro de $cos -1 (1/ n)$ . ^[13]^[14]

Esto se puede ver al notar que el centro del símplex estándar es , y los centros de sus caras son permutaciones de coordenadas de . Entonces, por simetría, el vector que apunta desde a es perpendicular a las caras. Por lo tanto, los vectores normales a las caras son permutaciones de , a partir de las cuales se calculan los ángulos diedros. ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ $(-n,1,\dots ,1)$

Simplicidad con una "esquina ortogonal"

Una "esquina ortogonal" significa aquí que hay un vértice en el que todas las aristas adyacentes son ortogonales por pares. De ello se deduce inmediatamente que todas las caras adyacentes son ortogonales por pares. Tales símplices son generalizaciones de triángulos rectángulos y para ellos existe una versión $n$ -dimensional del teorema de Pitágoras : La suma de los volúmenes al cuadrado $(n - 1)$ -dimensionales de las facetas adyacentes a la esquina ortogonal es igual al volumen al cuadrado $(n - 1)$ -dimensional de la faceta opuesta a la esquina ortogonal.

\sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}

donde las facetas son ortogonales entre sí por pares pero no ortogonales a , que es la faceta opuesta a la esquina ortogonal. ^[15] $A_{1}\ldots A_{n}$ $A_{0}$

Para un 2-símplex, el teorema es el teorema de Pitágoras para triángulos con un ángulo recto y para un 3-símplex es el teorema de De Gua para un tetraedro con un vértice ortogonal.

Relación con el (norte+ 1)-hipercubo

El diagrama de Hasse de la red de caras de un $n$ -símplex es isomorfo al gráfico de las aristas del $(n + 1)$ -hipercubo , con los vértices del hipercubo mapeándose a cada uno de los elementos $del n$ -símplex, incluyendo el símplex completo y el politopo nulo como los puntos extremos de la red (mapeados a dos vértices opuestos en el hipercubo). Este hecho puede usarse para enumerar eficientemente la red de caras del símplex, ya que los algoritmos de enumeración de red de caras más generales son más costosos computacionalmente.

El $n$ -símplex es también la figura del vértice del $(n +1)$ -hipercubo . También es la faceta del $(n +1)$ -ortoplex .

Topología

Topológicamente , un $n$ -símplex es equivalente a una $n$ -bola . Todo $n$ -símplex es una variedad $n$ -dimensional con vértices .

Probabilidad

En teoría de la probabilidad, los puntos del $n$ -símplex estándar en el espacio $(n + 1)$ forman el espacio de posibles distribuciones de probabilidad en un conjunto finito que consiste en $n + 1$ resultados posibles. La correspondencia es la siguiente: para cada distribución descrita como una $(n + 1)$ -tupla ordenada de probabilidades cuya suma es (necesariamente) 1, asociamos el punto del símplex cuyas coordenadas baricéntricas son precisamente esas probabilidades. Es decir, se asigna al $k$ -ésimo vértice del símplex la $k$ -ésima probabilidad de la $(n + 1)$ -tupla como su coeficiente baricéntrico. Esta correspondencia es un homeomorfismo afín.

Geometría de Aitchison

La geometría de Aitchinson es una forma natural de construir un espacio de producto interno a partir del símplex estándar . Define las siguientes operaciones con símplex y números reales: $\Delta ^{D-1}$

Perturbación (adición)

x\oplus y=\left[{\frac {x_{1}y_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},{\frac {x_{2}y_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}y_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}}\right]\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}

Potenciación (multiplicación escalar)

\alpha \odot x=\left[{\frac {x_{1}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},{\frac {x_{2}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},\ldots ,{\frac {x_{D}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}}\right]\qquad \forall x\in \Delta ^{D-1},\;\alpha \in \mathbb {R}

Producto interior

\langle x,y\rangle ={\frac {1}{2D}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}\log {\frac {x_{i}}{x_{j}}}\log {\frac {y_{i}}{y_{j}}}\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}

Compuestos

Como todos los simples son autoduales, pueden formar una serie de compuestos;

Dos triángulos forman un hexagrama {6/2}.
Dos tetraedros forman un compuesto de dos tetraedros o stella octangula .
Dos celdas de 5 forman un compuesto de dos celdas de 5 en cuatro dimensiones.

Topología algebraica

En topología algebraica , los símplices se utilizan como bloques de construcción para construir una clase interesante de espacios topológicos llamados complejos simpliciales . Estos espacios se construyen a partir de símplices pegados entre sí de manera combinatoria . Los complejos simpliciales se utilizan para definir un cierto tipo de homología llamada homología simplicial .

Un conjunto finito de $k$ -símplex incluidos en un subconjunto abierto de $R n$ se denomina $k$ -cadena afín . Los símplex de una cadena no necesitan ser únicos; pueden ocurrir con multiplicidad . En lugar de utilizar la notación de conjuntos estándar para denotar una cadena afín, es una práctica estándar utilizar signos más para separar cada miembro del conjunto. Si algunos de los símplex tienen la orientación opuesta , se les antepone un signo menos. Si algunos de los símplex ocurren en el conjunto más de una vez, se les antepone un número entero. Por lo tanto, una cadena afín toma la forma simbólica de una suma con coeficientes enteros.

Nótese que cada faceta de un $n$ -símplex es un $(n - 1)$ -símplex afín y, por lo tanto, el límite de un $n$ -símplex es una $(n - 1)$ -cadena afín. Por lo tanto, si denotamos un simplex afín orientado positivamente como

\sigma =[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}]

con la denotación de los vértices, entonces el límite de $σ$ es la cadena $v_{j}$ $\partial \sigma$

\partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}].

De esta expresión y de la linealidad del operador de borde se deduce que el borde del borde de un símplex es cero:

\partial ^{2}\sigma =\partial \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}]\right)=0.

De la misma manera, el límite del límite de una cadena es cero: . $\partial ^{2}\rho =0$

En términos más generales, un símplex (y una cadena) se pueden incrustar en una variedad mediante una función diferenciable y suave . En este caso, tanto la convención de suma para denotar el conjunto como la operación de contorno conmutan con la incrustación . Es decir, $f:\mathbf {R} ^{n}\to M$

f\left(\sum \nolimits _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum \nolimits _{i}a_{i}f(\sigma _{i})

donde son los números enteros que denotan orientación y multiplicidad. Para el operador de frontera , se tiene: $a_{i}$ $\partial$

\partial f(\rho )=f(\partial \rho )

donde $ρ$ es una cadena. La operación de contorno conmuta con la de mapeo porque, al final, la cadena se define como un conjunto y poco más, y la operación de conjunto siempre conmuta con la operación de mapeo (por definición de mapeo).

Un mapa continuo de un espacio topológico $X$ se denomina con frecuencia un $n$ -símplex singular . (Un mapa se denomina generalmente "singular" si no posee alguna propiedad deseable como la continuidad y, en este caso, el término pretende reflejar el hecho de que el mapa continuo no necesita ser una incrustación.) ^[16] $f:\sigma \to X$

Geometría algebraica

Dado que la geometría algebraica clásica permite hablar de ecuaciones polinómicas pero no de desigualdades, el n-símplex algebraico estándar se define comúnmente como el subconjunto del espacio afín $(n + 1)$ -dimensional, donde todas las coordenadas suman 1 (omitiendo así la parte de desigualdad). La descripción algebraica de este conjunto es que es igual a la descripción de la teoría del esquema con el anillo de funciones regulares en el $n$ -símplex algebraico (para cualquier anillo ). $\Delta ^{n}:=\left\{x\in \mathbb {A} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\},$ $\Delta _{n}(R)=\operatorname {Spec} (R[\Delta ^{n}])$ $R[\Delta ^{n}]:=R[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]\left/\left(1-\sum x_{i}\right)\right.$ $R$

Usando las mismas definiciones que para el $n$ -símplice clásico, los $n$ -símplices para diferentes dimensiones $n$ se ensamblan en un objeto simplicial , mientras que los anillos se ensamblan en un objeto cosimplicial (en la categoría de esquemas respectivamente anillos, ya que los mapas de caras y degeneración son todos polinomiales). $R[\Delta ^{n}]$ $R[\Delta ^{\bullet }]$

Los $n$ -símplices algebraicos se utilizan en la K -teoría superior y en la definición de grupos de Chow superiores .

Aplicaciones

En estadística , los simples son espacios muestrales de datos compositivos y también se utilizan para representar gráficamente cantidades que suman 1, como proporciones de subpoblaciones, como en un gráfico ternario .
En teoría de probabilidad , se suele utilizar un espacio símplex para representar el espacio de distribuciones de probabilidad. La distribución de Dirichlet , por ejemplo, se define en un símplex.
En las estadísticas industriales , los símplex surgen en la formulación de problemas y en la solución algorítmica. En el diseño del pan, el productor debe combinar levadura, harina, agua, azúcar, etc. En tales mezclas , solo importan las proporciones relativas de los ingredientes: para una mezcla de pan óptima, si se duplica la harina, entonces se debe duplicar la levadura. Este problema de mezcla a menudo se formula con restricciones normalizadas, de modo que los componentes no negativos suman uno, en cuyo caso la región factible forma un símplex. La calidad de las mezclas de pan se puede estimar utilizando la metodología de superficie de respuesta , y luego se puede calcular un máximo local utilizando un método de programación no lineal , como la programación cuadrática secuencial . ^[17]
En la investigación de operaciones , los problemas de programación lineal se pueden resolver mediante el algoritmo simplex de George Dantzig .
En la teoría de juegos , las estrategias se pueden representar como puntos dentro de un símplex. Esta representación simplifica el análisis de estrategias mixtas.
En diseño geométrico y gráficos por computadora , muchos métodos primero realizan triangulaciones simples del dominio y luego ajustan polinomios de interpolación a cada símplex. ^[18]
En química , los hidruros de la mayoría de los elementos del bloque p pueden parecerse a un símplex si se conecta cada átomo. El neón no reacciona con el hidrógeno y, como tal, es un punto , el flúor se une a un átomo de hidrógeno y forma un segmento de línea, el oxígeno se une a dos átomos de hidrógeno de forma curvada que se asemeja a un triángulo, el nitrógeno reacciona para formar un tetraedro y el carbono forma una estructura que se asemeja a un diagrama de Schlegel de 5 celdas. Esta tendencia continúa para los análogos más pesados de cada elemento, así como si el átomo de hidrógeno se reemplaza por un átomo de halógeno .
En algunos enfoques de la gravedad cuántica , como el cálculo de Regge y las triangulaciones dinámicas causales , los símplices se utilizan como bloques de construcción de discretizaciones del espacio-tiempo; es decir, para construir variedades simpliciales .

Véase también

Notas

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^ Se puede encontrar una derivación de una fórmula muy similar en Stein, P. (1966). "A Note on the Volume of a Simplex". American Mathematical Monthly . 73 (3): 299–301. doi :10.2307/2315353. JSTOR 2315353.
^ Colins, Karen D. "Determinante de Cayley-Menger". MundoMatemático .
^ Todo $n$ -camino correspondiente a una permutación es la imagen del $n$ -camino por la isometría afín que envía a , y cuya parte lineal coincide con para todo $i$ . por lo tanto, cada dos $n$ -caminos son isométricos, y también lo son sus envolturas convexas; esto explica la congruencia de los símplex. Para mostrar las otras afirmaciones, basta observar que el interior del símplex determinado por el $n$ -camino es el conjunto de puntos , con y Por lo tanto, los componentes de estos puntos con respecto a cada base permutada correspondiente están estrictamente ordenados en orden decreciente. Eso explica por qué los símplex no se superponen. El hecho de que la unión de los símplex sea el $n$ -hipercubo unitario completo también se deduce, reemplazando las desigualdades estrictas anteriores por " ". Los mismos argumentos también son válidos para un paralelotopo general, excepto la isometría entre los símplex. $\scriptstyle \sigma$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{1},\ v_{0}+e_{1}+e_{2},\ldots v_{0}+e_{1}+\cdots +e_{n}$ $\scriptstyle v_{0}$ $\scriptstyle v_{0}$ $\scriptstyle e_{i}$ $\scriptstyle e_{\sigma (i)}$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{0}+e_{\sigma (1)}+e_{\sigma (2)}\ldots v_{0}+e_{\sigma (1)}+\cdots +e_{\sigma (n)}$ $\scriptstyle v_{0}+(x_{1}+\cdots +x_{n})e_{\sigma (1)}+\cdots +(x_{n-1}+x_{n})e_{\sigma (n-1)}+x_{n}e_{\sigma (n)}$ $\scriptstyle 0<x_{i}<1$ $\scriptstyle x_{1}+\cdots +x_{n}<1.$ $\scriptstyle \leq$
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Referencias

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Devroye, Luc (1986). Generación de variables aleatorias no uniformes. Springer. ISBN 0-387-96305-7. Archivado desde el original el 5 de mayo de 2009.
Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3.ª ed.). Dover. ISBN 0-486-61480-8.
- págs. 120–121, §7.2. véase la ilustración 7-2 A
- p. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en $n$ dimensiones ( $n \geq 5$ )
Weisstein, Eric W. "Simplex". MathWorld .
Boyd, Stephen ; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-39400-1.En formato PDF