Modelado de funciones polinómicas y racionales

En el modelado estadístico (especialmente el modelado de procesos ), las funciones polinómicas y las funciones racionales a veces se utilizan como una técnica empírica para el ajuste de curvas .

Modelos de funciones polinómicas

Una función polinómica es aquella que tiene la forma

${\displaystyle y=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$

donde n es un entero no negativo que define el grado del polinomio. Un polinomio con grado 0 es simplemente una función constante ; con grado 1 es una recta ; con grado 2 es una función cuadrática ; con grado 3 es una función cúbica , y así sucesivamente.

Históricamente, los modelos polinomiales se encuentran entre los modelos empíricos más utilizados para el ajuste de curvas .

Ventajas

Estos modelos son populares por las siguientes razones.

1. Los modelos polinomiales tienen una forma simple.
2. Los modelos polinomiales tienen propiedades bien conocidas y comprendidas.
3. Los modelos polinomiales tienen una flexibilidad moderada de formas.
4. Los modelos polinómicos son una familia cerrada. Los cambios de ubicación y escala en los datos sin procesar dan como resultado que un modelo polinómico se asigne a un modelo polinómico. Es decir, los modelos polinómicos no dependen de la métrica subyacente .
5. Los modelos polinomiales son computacionalmente fáciles de usar.

Desventajas

Sin embargo, los modelos polinomiales también tienen las siguientes limitaciones.

1. Los modelos polinómicos tienen propiedades de interpolación deficientes . Los polinomios de alto grado son conocidos por sus oscilaciones entre valores de ajuste exacto .
2. Los modelos polinómicos tienen propiedades extrapolativas deficientes . Los polinomios pueden proporcionar buenos ajustes dentro del rango de datos, pero con frecuencia se deterioran rápidamente fuera del rango de datos.
3. Los modelos polinómicos tienen propiedades asintóticas deficientes . Por su naturaleza, los polinomios tienen una respuesta finita para valores x finitos y tienen una respuesta infinita si y solo si el valor x es infinito. Por lo tanto, los polinomios pueden no modelar muy bien los fenómenos asintóticos.
4. Si bien ningún procedimiento es inmune al equilibrio entre sesgo y varianza , los modelos polinómicos presentan un equilibrio particularmente deficiente entre forma y grado. Para modelar datos con una estructura complicada, el grado del modelo debe ser alto, lo que indica que el número asociado de parámetros que se estimarán también será alto. Esto puede dar como resultado modelos altamente inestables.

Cuando el modelado mediante funciones polinomiales es inadecuado debido a alguna de las limitaciones anteriores, el uso de funciones racionales para el modelado puede ofrecer un mejor ajuste.

Modelos de funciones racionales

Una función racional es simplemente la relación de dos funciones polinómicas.

${\displaystyle y={\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}}$

donde n denota un entero no negativo que define el grado del numerador y m denota un entero no negativo que define el grado del denominador. Para ajustar modelos de funciones racionales, el término constante en el denominador generalmente se establece en 1. Las funciones racionales generalmente se identifican por los grados del numerador y el denominador. Por ejemplo, una función cuadrática para el numerador y una cúbica para el denominador se identifica como una función racional cuadrática/cúbica. El modelo de función racional es una generalización del modelo polinomial: los modelos de funciones racionales contienen modelos polinomiales como un subconjunto (es decir, el caso en el que el denominador es una constante).

Ventajas

Los modelos de funciones racionales tienen las siguientes ventajas:

1. Los modelos de funciones racionales tienen una forma moderadamente simple.
2. Los modelos de función racional son una familia cerrada. Al igual que con los modelos polinómicos, esto significa que los modelos de función racional no dependen de la métrica subyacente.
3. Los modelos de funciones racionales pueden adoptar una gama extremadamente amplia de formas y adaptarse a una gama mucho más amplia de formas que la familia de polinomios.
4. Los modelos de funciones racionales tienen mejores propiedades de interpolación que los modelos polinómicos. Las funciones racionales suelen ser más suaves y menos oscilatorias que los modelos polinómicos.
5. Las funciones racionales tienen excelentes poderes de extrapolación. Por lo general, se pueden adaptar para modelar la función no solo dentro del dominio de los datos, sino también para que coincida con el comportamiento teórico/asintótico fuera del dominio de interés.
6. Los modelos de funciones racionales tienen excelentes propiedades asintóticas. Las funciones racionales pueden ser finitas o infinitas para valores finitos, o finitas o infinitas para valores x infinitos . Por lo tanto, las funciones racionales se pueden incorporar fácilmente a un modelo de función racional.
7. Los modelos de funciones racionales se pueden utilizar a menudo para modelar estructuras complejas con un grado bastante bajo tanto en el numerador como en el denominador. Esto, a su vez, significa que se necesitarán menos coeficientes en comparación con el modelo polinómico.
8. Los modelos de funciones racionales son relativamente fáciles de manejar computacionalmente. Aunque son modelos no lineales , los modelos de funciones racionales son particularmente fáciles de ajustar.
9. Una dificultad común en el ajuste de modelos no lineales es encontrar valores iniciales adecuados. Una ventaja importante de los modelos de funciones racionales es la capacidad de calcular valores iniciales utilizando un ajuste lineal de mínimos cuadrados . Para ello, se eligen p puntos del conjunto de datos, donde p denota el número de parámetros en el modelo racional. Por ejemplo, dado el modelo lineal/cuadrático

${\displaystyle y={\frac {A_{0}+A_{1}x}{1+B_{1}x+B_{2}x^{2}}},}$

Sería necesario seleccionar cuatro puntos representativos y realizar un ajuste lineal en el modelo.

${\displaystyle y=A_{0}+A_{1}x-B_{1}xy-B_{2}x^{2}y,}$

que se deriva de la ecuación anterior despejando el denominador. Aquí, x e y contienen el subconjunto de puntos, no el conjunto de datos completo. Los coeficientes estimados de este ajuste lineal se utilizan como valores iniciales para ajustar el modelo no lineal al conjunto de datos completo.

Este tipo de ajuste, en el que la variable de respuesta aparece en ambos lados de la función, solo se debe utilizar para obtener valores iniciales para el ajuste no lineal. Las propiedades estadísticas de los ajustes de este tipo no se comprenden bien.

El subconjunto de puntos debe seleccionarse en el rango de datos. No es fundamental qué puntos se seleccionan, aunque deben evitarse los valores atípicos obvios.

Desventajas

Los modelos de funciones racionales tienen las siguientes desventajas:

1. Las propiedades de la familia de funciones racionales no son tan conocidas por los ingenieros y científicos como las de la familia de polinomios. La literatura sobre la familia de funciones racionales también es más limitada. Debido a que las propiedades de la familia a menudo no se comprenden bien, puede resultar difícil responder a la siguiente pregunta de modelado: dado que los datos tienen una forma determinada, ¿qué valores se deben elegir para el grado del numerador y el grado del denominador?
2. El ajuste sin restricciones de funciones racionales puede, en ocasiones, dar lugar a asíntotas verticales no deseadas debido a raíces en el polinomio del denominador. El rango de valores x afectados por la "explosión" de la función puede ser bastante estrecho, pero dichas asíntotas, cuando ocurren, son una molestia para la interpolación local en la vecindad del punto de la asíntota. Estas asíntotas son fáciles de detectar mediante un simple gráfico de la función ajustada en el rango de los datos. Estas asíntotas molestas ocurren ocasionalmente e impredeciblemente, pero los profesionales argumentan que la ganancia en flexibilidad de las formas bien vale la posibilidad de que ocurran, y que dichas asíntotas no deberían desalentar la elección de modelos de funciones racionales para el modelado empírico.

Véase también

• Metodología de superficie de respuesta
• Aproximante de Pade

Bibliografía

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Histórico

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Enlaces externos

• Modelos de funciones racionales

 Este artículo incorpora material de dominio público del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología.