Teorema de De Gua

Análogo tridimensional del teorema de Pitágoras.

Tetraedro con esquina en ángulo recto en O

En matemáticas , el teorema de De Gua es un análogo tridimensional del teorema de Pitágoras que lleva el nombre de Jean Paul de Gua de Malves . Afirma que si un tetraedro tiene una esquina en ángulo recto (como la esquina de un cubo ), entonces el cuadrado del área de la cara opuesta a la esquina en ángulo recto es la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. :

$${\displaystyle A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}}$$

fórmula de Heron^[1]

Generalizaciones

El teorema de Pitágoras y el teorema de De Gua son casos especiales ( n = 2, 3 ) de un teorema general sobre n -símplices con una esquina en ángulo recto , demostrado por PS Donchian y HSM Coxeter en 1935. ^[2] Esto, a su vez, Es un caso especial de un teorema aún más general de Donald R. Conant y William A. Beyer (1974), ^[3] que puede enunciarse de la siguiente manera.

Sea U un subconjunto medible de un subespacio afín k -dimensional de (so ). Para cualquier subconjunto con exactamente k elementos, sea la proyección ortogonal de U sobre el tramo lineal de , donde y es la base estándar para . Entonces ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle U_{I}}$ ${\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}}$ ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \operatorname {vol} _{k}^{2}(U)=\sum _{I}\operatorname {vol} _{k}^{2}(U_{I}),}$$

volumen kUk ${\displaystyle \operatorname {vol} _{k}(U)}$ ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$

El teorema de De Gua y su generalización (arriba) a n -símplices con esquinas en ángulo recto corresponden al caso especial donde k  =  n −1 y U es un ( n −1)-simplex con vértices en los ejes de coordenadas . Por ejemplo, supongamos que n = 3 , k = 2 y U es el triángulo con los vértices A , B y C en los ejes -, - y - , respectivamente. Los subconjuntos de con exactamente 2 elementos son y . Por definición, es la proyección ortogonal de sobre el plano, al igual que el triángulo con vértices O , B y C , donde O es el origen de . De manera similar, y , así dice el teorema de Conant-Beyer ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ ${\displaystyle U=\triangle ABC}$ ${\displaystyle x_{2}x_{3}}$ ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ ${\displaystyle \triangle OBC}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle U_{\{1,3\}}=\triangle AOC}$ ${\displaystyle U_{\{1,2\}}=\triangle ABO}$

$${\displaystyle \operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABC)=\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle OBC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle AOC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABO),}$$

La generalización del teorema de de Gua a n -simplices con esquinas en ángulo recto también se puede obtener como un caso especial a partir de la fórmula determinante de Cayley-Menger .

El teorema de De Gua también se puede generalizar a tetraedros arbitrarios y pirámides. ^{[4] [5]}

Historia

Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785) publicó el teorema en 1783, pero casi al mismo tiempo otro matemático francés, Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818), también publicó una versión un poco más general . Sin embargo, el teorema también lo conocían mucho antes Johann Faulhaber (1580-1635) y René Descartes (1596-1650). ^{[6] [7]}

Ver también

• Área vectorial y área proyectada
• bivector

Notas

1. Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020). "El teorema de los cosenos de las pirámides". El inteligente matemático . Enlace Springer. doi : 10.1007/s00283-020-09996-8 . S2CID  224956341.
2. Donchian, PD; Coxeter, HSM (julio de 1935). "1142. Una extensión n-dimensional del teorema de Pitágoras". La Gaceta Matemática . 19 (234): 206. doi : 10.2307/3605876. JSTOR  3605876. S2CID  125391795.
3. Donald R Conant y William A Beyer (marzo de 1974). "Teorema de Pitágoras generalizado". El Mensual Matemático Estadounidense . Asociación Matemática de América. 81 (3): 262–265. doi :10.2307/2319528. JSTOR  2319528.
4. Kheyfits, Alejandro (2004). "El teorema de los cosenos de las pirámides". La revista universitaria de matemáticas . Asociación Matemática de América. 35 (5): 385–388. doi :10.2307/4146849. JSTOR  4146849.
5. Tran, Quang Hung (2 de agosto de 2023). "Una generalización del teorema de De Gua con una prueba vectorial". El inteligente matemático . doi :10.1007/s00283-023-10288-0. ISSN  0343-6993.
6. Weisstein, Eric W. "teorema de de Gua". MundoMatemático .
7. Howard Whitley Eves: grandes momentos de las matemáticas (antes de 1650) . Asociación Matemática de América, 1983, ISBN 9780883853108 , pág. 37 ( extracto , p. 37, en Google Books ) 

Referencias

• Sergio A. Álvarez: Nota sobre un teorema de Pitágoras n-dimensional, Universidad Carnegie Mellon.
• Casco, Lewis; Perfecto, avellana; Título, J. (1978). "62.23 Pitágoras en dimensiones superiores: tres enfoques". Gaceta Matemática . 62 (421): 206–211. doi :10.2307/3616695. JSTOR  3616695. S2CID  187356402.
• Weisstein, Eric W. "teorema de de Gua". MundoMatemático .