Determinante de Cayley-Menger

Fórmula para el "volumen" de un n-símplex

En álgebra lineal , geometría y trigonometría , el determinante de Cayley-Menger es una fórmula para el contenido, es decir, el volumen de mayor dimensión , de un símplex de dimensión 1 en términos de los cuadrados de todas las distancias entre pares de sus vértices. El determinante recibe su nombre de Arthur Cayley y Karl Menger . ${\textstyle n}$

Los polinomios de distancia por pares entre n puntos en un espacio euclidiano real son invariantes euclidianos que están asociados a través de las relaciones de Cayley-Menger . ^[1] Estas relaciones sirvieron para múltiples propósitos, como generalizar la fórmula de Heron, calcular el contenido de un símplex n -dimensional y, en última instancia, determinar si alguna matriz simétrica real es una matriz de distancia euclidiana en el campo de la geometría de distancias . ^[2] ${\displaystyle {n \choose 2}}$

Historia

Karl Menger era un joven profesor de geometría en la Universidad de Viena y Arthur Cayley era un matemático británico especializado en geometría algebraica. Menger amplió la excelencia algebraica de Cayley para proponer un nuevo axioma de espacios métricos utilizando los conceptos de geometría de distancias y relación de congruencia, conocido como determinante de Cayley-Menger. Esto terminó generalizando uno de los primeros descubrimientos en geometría de distancias , la fórmula de Heron , que calcula el área de un triángulo dadas las longitudes de sus lados. ^[3]

Definición

Sean puntos en el espacio euclidiano de dimensión n , con . ^[a] Estos puntos son los vértices de un símplex de dimensión n: un triángulo cuando ; un tetraedro cuando , y así sucesivamente. Sean las distancias euclidianas entre los vértices y . El contenido, es decir, el volumen de dimensión n de este símplex, denotado por , se puede expresar como una función de los determinantes de ciertas matrices, de la siguiente manera: ^{[4] [5]} ${\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq n}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\textstyle d_{ij}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\textstyle A_{j}}$ ${\displaystyle v_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{n}^{2}&={\frac {1}{(n!)^{2}2^{n}}}{\begin{vmatrix}2d_{01}^{2}&d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&\cdots &d_{01}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{1n}^{2}\\d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&2d_{02}^{2}&\cdots &d_{02}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{01}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{1n}^{2}&d_{02}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{2n}^{2}&\cdots &2d_{0n}^{2}\end{vmatrix}}\\[10pt]&={\frac {(-1)^{n+1}}{(n!)^{2}2^{n}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Este es el determinante de Cayley-Menger . Porque es un polinomio simétrico en el s y, por lo tanto, es invariante ante la permutación de estas cantidades. Esto falla para pero siempre es invariante ante la permutación de los vértices. ^[b] ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle d_{ij}}$ ${\displaystyle n>2,}$

A excepción de la última fila y columna de 1, la matriz en la segunda forma de esta ecuación es una matriz de distancia euclidiana .

Casos especiales

2-símplex

Para reiterar, un símplex es un politopo n -dimensional y la envoltura convexa de puntos que no se encuentran en ningún plano dimensional. ^[6] Por lo tanto, un 2-símplex ocurre cuando y el símplex da como resultado un triángulo. Por lo tanto, la fórmula para determinar un triángulo se proporciona a continuación: ^[5] ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle V_{j}^{2}}$

${\displaystyle -16\Delta ^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&c^{2}&b^{2}\\1&c^{2}&0&a^{2}\\1&b^{2}&a^{2}&0\\\end{vmatrix}}}$

Como resultado, la ecuación anterior presenta el contenido de un 2-símplex (área de un triángulo plano con longitudes de lados , , y ) y es una forma generalizada de la fórmula de Heron. ^[5] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

3-símplex

De manera similar, un 3-símplex ocurre cuando y el símplex da como resultado un tetraedro. ^[6] Por lo tanto, la fórmula para determinar un tetraedro se proporciona a continuación: ^[5] ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle V_{j}^{2}}$

${\displaystyle 288V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{41}^{2}&d_{42}^{2}&d_{43}^{2}&0\\\end{vmatrix}}}$

Como resultado, la ecuación anterior presenta el contenido de un 3-símplex, que es el volumen de un tetraedro donde la arista entre los vértices y tiene longitud . ^[5] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle d_{ij}}$

Prueba

Sean los vectores columna puntos en el espacio euclidiano de dimensión -. Empezando con la fórmula del volumen ${\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle v_{n}={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&\cdots &A_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|\,,}$

Observamos que el determinante no cambia cuando agregamos una fila y una columna adicionales para formar una matriz, ${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&\cdots &A_{n}&0\\1&1&\cdots &1&0\\\|A_{0}\|^{2}&\|A_{1}\|^{2}&\cdots &\|A_{n}\|^{2}&1\end{pmatrix}}\,,}$

donde es el cuadrado de la longitud del vector . Además, observamos que la matriz ${\displaystyle \|A_{j}\|^{2}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-2&0&\cdots &0&0&0\\0&-2&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-2&0&0\\0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\end{pmatrix}}}$

tiene un determinante de . Por lo tanto, ^[7] ${\displaystyle (-2)^{n}(-1)=(-1)^{n+1}2^{n}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{pmatrix}}=\det(P^{T}QP)=\det(Q)\det(P)^{2}=(-1)^{n+1}2^{n}(n!)^{2}v_{n}^{2}\,.}$

Ejemplo

En el caso de , tenemos que es el área de un triángulo y por lo tanto la denotaremos por . Por el determinante de Cayley-Menger, donde el triángulo tiene longitudes de lado , y , ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}16A^{2}&={\begin{vmatrix}2a^{2}&a^{2}+b^{2}-c^{2}\\a^{2}+b^{2}-c^{2}&2b^{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\[6pt]&=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\[6pt]&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\end{aligned}}}$

El resultado de la tercera línea se debe a la identidad de Fibonacci . La línea final se puede reescribir para obtener la fórmula de Herón para el área de un triángulo dados tres lados, que Arquímedes ya conocía. ^[8]

En el caso de , la cantidad da el volumen de un tetraedro , que denotaremos por . Para distancias entre y dadas por , el determinante de Cayley-Menger da ^{[9] [10]} ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle v_{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle d_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}144V^{2}={}&{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}2d_{01}^{2}&d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&d_{01}^{2}+d_{03}^{2}-d_{13}^{2}\\d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&2d_{02}^{2}&d_{02}^{2}+d_{03}^{2}-d_{23}^{2}\\d_{01}^{2}+d_{03}^{2}-d_{13}^{2}&d_{02}^{2}+d_{03}^{2}-d_{23}^{2}&2d_{03}^{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]={}&4d_{01}^{2}d_{02}^{2}d_{03}^{2}+(d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2})(d_{01}^{2}+d_{03}^{2}-d_{13}^{2})(d_{02}^{2}+d_{03}^{2}-d_{23}^{2})\\[6pt]&{}-d_{01}^{2}(d_{02}^{2}+d_{03}^{2}-d_{23}^{2})^{2}-d_{02}^{2}(d_{01}^{2}+d_{03}^{2}-d_{13}^{2})^{2}-d_{03}^{2}(d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2})^{2}.\end{aligned}}}$

Encontrar el radio circunscrito de un símplex

Dado un n -símplex no degenerado, tiene una n -esfera circunscrita, con radio . Entonces el ( n  + 1)-símplex formado por los vértices del n -símplex y el centro de la n -esfera es degenerado. Por lo tanto, tenemos ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&r^{2}&r^{2}&r^{2}&\cdots &r^{2}&1\\r^{2}&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\r^{2}&d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\r^{2}&d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\r^{2}&d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}=0}$

En particular, cuando , esto da el radio circunscrito de un triángulo en términos de las longitudes de sus aristas. ${\displaystyle n=2}$

Clasificaciones de conjuntos

A partir de estos determinantes, también tenemos las siguientes clasificaciones:

Derecho

Un conjunto Λ (con al menos tres elementos distintos) se llama recto si y sólo si , para cualesquiera tres elementos A , B y C de Λ, ^[11]

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0}$

Avión

Un conjunto Π (con al menos cuatro elementos distintos) se llama plano si y sólo si, para cualesquiera cuatro elementos A , B , C y D de Π, ^[11]

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&d(AD)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&d(BD)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&d(CD)^{2}&1\\d(AD)^{2}&d(BD)^{2}&d(CD)^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0}$

pero no todos los triples de elementos de Π son rectos entre sí;

Departamento

Un conjunto Φ (con al menos cinco elementos distintos) se llama plano si y sólo si, para cualesquiera cinco elementos A , B , C , D y E de Φ, ^[11]

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&d(AD)^{2}&d(AE)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&d(BD)^{2}&d(BE)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&d(CD)^{2}&d(CE)^{2}&1\\d(AD)^{2}&d(BD)^{2}&d(CD)^{2}&0&d(DE)^{2}&1\\d(AE)^{2}&d(BE)^{2}&d(CE)^{2}&d(DE)^{2}&0&1\\1&1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0}$

pero no todos los cuádruples de elementos de Φ son planos entre sí; y así sucesivamente.

Teorema de Menger

Karl Menger realizó otro descubrimiento después del desarrollo del determinante de Cayley-Menger, que se conoció como el teorema de Menger . El teorema establece lo siguiente:

Una semimétrica es euclidiana de dimensión n si y solo si todos los determinantes de Cayley-Menger en los puntos son estrictamente positivos, todos los determinantes en los puntos se anulan y un determinante de Cayley-Menger en al menos un conjunto de puntos es no negativo (en cuyo caso es necesariamente cero) . ^[1] ${\displaystyle \rho :A\times A\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle n+3}$

En términos más simples, si cada subconjunto de puntos puede ser isométricamente insertado en un espacio euclidiano que no sea de dimensión general , entonces la semimétrica es euclidiana de dimensión a menos que consista exactamente en puntos y el determinante de Cayley-Menger en esos puntos sea estrictamente negativo. Este tipo de semimétrica se clasificaría como pseudoeuclidiana . ^[1] ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle n-}$ ${\displaystyle (n-1)-}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n+3}$ ${\displaystyle n+3}$

Realización de una matriz de distancias euclidianas

Dadas las relaciones de Cayley-Menger explicadas anteriormente, la siguiente sección presentará dos algoritmos para decidir si una matriz dada es una matriz de distancia correspondiente a un conjunto de puntos euclidianos. El primer algoritmo lo hará cuando se le proporcione una matriz Y la dimensión, , mediante un algoritmo de resolución de restricciones geométricas. El segundo algoritmo lo hará cuando no se proporcione la dimensión, . Este algoritmo encuentra teóricamente una realización de la matriz de distancia euclidiana completa en la dimensión de incrustación más pequeña posible en tiempo cuadrático. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\times n}$

Teorema (se da d)

A los efectos y en el contexto del siguiente teorema, algoritmo y ejemplo, se utilizará una notación ligeramente diferente a la anterior, lo que dará como resultado una fórmula para el volumen del símplex dimensional a continuación alterada en comparación con la anterior. ${\displaystyle n-1}$

Teorema. Una matriz es una Matriz de Distancia Euclidiana si y sólo si para todas las submatrices de , donde , . Para tener una realización en dimensión , si , entonces . ^[12] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle \det({\hat {\delta _{S}}})\geq 0}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle |S|=k\geq d+2}$ ${\displaystyle \det({\hat {\delta _{S}}})=0}$

Como se dijo anteriormente, el propósito de este teorema proviene del siguiente algoritmo para realizar una matriz de distancia euclidiana o una matriz gramiana.

Algoritmo

Aporte

Matriz de distancias euclidianas o matriz gramiana . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Producción

Conjunto de puntos ${\displaystyle P}$

Procedimiento

• Si la dimensión es fija, podemos resolver un sistema de ecuaciones polinómicas, una para cada entrada del producto interno de , donde las variables son las coordenadas de cada punto en la dimensión deseada . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle p_{1},...,p_{n}}$ ${\displaystyle d}$
• De lo contrario, podemos resolver un punto a la vez.
  • Resuelva las coordenadas de utilizando sus distancias a todos los puntos colocados previamente . Por lo tanto, se representa mediante valores de coordenadas como máximo , lo que garantiza una dimensión y complejidad mínimas. ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle p_{1},...,p_{k-1}}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k-1}$

Ejemplo

Sea cada punto de coordenadas . Para ubicar los tres primeros puntos: ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle {p_{k}^{1},p_{k}^{2},...}}$

1. Poner en el origen, así . ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}={0,0,...}}$
2. Colocar en el primer eje, así . ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}={(\delta _{12})^{2},0,...}}$
3. Para colocar : ${\displaystyle p_{3}}$

${\displaystyle {\begin{cases}(p_{1}^{1}-p_{3}^{1})^{2}+(p_{1}^{2}-p_{3}^{2})^{2}=(\delta _{13})^{2}\\(p_{2}^{1}-p_{3}^{1})^{2}+(p_{2}^{2}-p_{3}^{2})^{2}=(\delta _{23})^{2}\end{cases}}}$ ${\displaystyle \rightarrow {\begin{cases}p_{3}^{1}={\frac {(\delta _{12})^{2}+(\delta _{13})^{2}-(\delta _{23})^{2}}{2\delta _{12}}}\\p_{3}^{2}={\frac {\sqrt {(\delta _{31}+\delta _{32}+\delta _{12})(\delta _{31}+\delta _{32}-\delta _{12})(\delta _{31}-\delta _{32}+\delta _{12})(-\delta _{31}+\delta _{32}+\delta _{12})}}{2\delta _{01}}}\end{cases}}}$

Para encontrar una realización utilizando el algoritmo anterior, el discriminante del sistema cuadrático de distancia debe ser positivo, lo que equivale a tener un volumen positivo. En general, el volumen del símplex dimensional formado por los vértices está dado por ^[12] ${\displaystyle \Delta p_{1}p_{2}p_{3}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle V_{n-1}^{2}={\frac {(-1)^{n}}{2^{n-1}(n-1!)^{2}}}\det({\hat {\Delta }})}$.

En la fórmula anterior, es el determinante de Cayley-Menger. El hecho de que el volumen sea positivo equivale a que el determinante de la matriz de volumen sea positivo. ${\displaystyle \det({\hat {\Delta }})}$

Teorema (d no dado)

Sea K un entero positivo y D una matriz hueca simétrica de × n con elementos no negativos, con n ≥ 2. D es una matriz de distancia euclidiana con dim(D) = K si y solo si existe un conjunto de índices I = tal que ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{K}}$ ${\displaystyle \{i_{1},...,i_{K+1}\}\subseteq I_{n}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{i}=0\\x_{i_{j}}(j-1)\neq 0,&{\mbox{ }}j\in I_{2,K+1}\\x_{i_{j}}(i)=0,&{\mbox{ }}j\in I_{2,K},i\in I_{j,K},\end{cases}}}$

donde realiza D, donde denota el componente del vector. ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle x_{h}(l)}$ ${\displaystyle l^{th}}$ ${\displaystyle h^{th}}$

La prueba extensa de este teorema se puede encontrar en la siguiente referencia. ^[13]

Algoritmo - K = edmsph(D,x)

Fuente: ^[13]

${\displaystyle I=\{1,2\}}$ ${\displaystyle K=1}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})=(0,{\sqrt {D_{12}}})}$ ${\displaystyle {\text{for i}}\in \{3,...,n\}{\text{ do}}}$

Γ ${\displaystyle =\bigcap _{j\in I}S^{K}(x_{j},D_{ij})}$

si Γ ∅; entonces ${\displaystyle =}$

volver ∞

De lo contrario si Γ ${\displaystyle =\{p_{i}\}{\text{ }}then}$

${\displaystyle x_{i}=p_{i}}$

De lo contrario si Γ ${\displaystyle =\{p_{i}^{+},p_{i}^{-}\}{\text{ }}then}$

${\displaystyle x_{i}=p_{i}^{+}}$

${\displaystyle x}$← expandir( ) ${\displaystyle x}$

Yo ← Yo ∪ { yo }

K ← K + 1

demás

error : dim aff(span( )) < K - 1 ${\displaystyle x_{j}}$

terminar si

fin para el retorno K

Véase también

• Geometría de la distancia
  
• Espacio euclidiano
  
• Matriz de distancia euclidiana
  
• Simplex
  
• Fórmula de Heron

Notas

1. Un cuerpo de n dimensiones no puede sumergirse en un espacio de k dimensiones si ${\displaystyle k<n.}$
2. El (hiper)volumen de una figura no depende del orden de numeración de sus vértices.

Referencias

1. Sitharam, Meera; St. John, Audrey; Sidman, Jessica. Manual de principios de sistemas de restricciones geométricas . Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1-4987-3891-0
2. http://ufo2.cise.ufl.edu/index.php/Distance_Geometry Geometría de la distancia
3. Seis joyas matemáticas de la historia de la geometría de distancias
4. Sommerville, DMY (1958). Introducción a la geometría de n dimensiones . Nueva York: Dover Publications.
5. Determinante de Cayley-Menger
6. Enciclopedia Simplex de Matemáticas
7. "Volúmenes simplex y determinante de Cayley-Menger". www.mathpages.com . Archivado desde el original el 16 de mayo de 2019 . Consultado el 8 de junio de 2019 .
8. Heath, Thomas L. (1921). Una historia de las matemáticas griegas (Vol II) . Oxford University Press. págs. 321–323.
9. Audet, Daniel. "Déterminants sphérique et hyperbolique de Cayley-Menger" (PDF) . Boletín AMQ . LI : 45–52.
10. Dörrie, Heinrich (1965). 100 grandes problemas de matemáticas elementales . Nueva York: Dover Publications. págs. 285–9.
11. ^ Página wiki de geometría de distancias
12. Sitharam, Meera. "Conferencias 1 a 6". Complejidad geométrica CIS6930, Universidad de Florida. Recibido el 28 de marzo de 2020
13. Realización de matrices de distancia euclidianas mediante intersección de esferas