Medida de Hausdorff

Medición fractal

En matemáticas , la medida de Hausdorff es una generalización de las nociones tradicionales de área y volumen a dimensiones no enteras, específicamente fractales y sus dimensiones de Hausdorff . Es un tipo de medida externa , llamada así por Felix Hausdorff , que asigna un número en [0,∞] a cada conjunto en o, de manera más general, en cualquier espacio métrico . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La medida de Hausdorff de dimensión cero es el número de puntos en el conjunto (si el conjunto es finito) o ∞ si el conjunto es infinito. Del mismo modo, la medida de Hausdorff unidimensional de una curva simple en es igual a la longitud de la curva, y la medida de Hausdorff bidimensional de un subconjunto medible por Lebesgue de es proporcional al área del conjunto. Por lo tanto, el concepto de la medida de Hausdorff generaliza la medida de Lebesgue y sus nociones de conteo, longitud y área. También generaliza el volumen. De hecho, existen medidas de Hausdorff de dimensión d para cualquier d  ≥ 0, que no es necesariamente un número entero. Estas medidas son fundamentales en la teoría de la medida geométrica . Aparecen de forma natural en el análisis armónico o la teoría del potencial . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Definición

Sea un espacio métrico . Para cualquier subconjunto , denotemos su diámetro, es decir ${\displaystyle (X,\rho )}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} U}$

${\displaystyle \operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\},\quad \operatorname {diam} \emptyset :=0.}$

Sea cualquier subconjunto de y un número real. Definir ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},}$

donde el ínfimo está sobre todas las cubiertas contables de por conjuntos que satisfacen . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U_{i}\subset X}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} U_{i}<\delta }$

Nótese que es monótona no creciente en ya que cuanto mayor es, más colecciones de conjuntos se permiten, lo que hace que el ínfimo no sea mayor. Por lo tanto, existe pero puede ser infinito. Sea ${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}$

${\displaystyle H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).}$

Se puede ver que es una medida externa (más precisamente, es una medida externa métrica ). Por el teorema de extensión de Carathéodory , su restricción al σ-cuerpo de conjuntos medibles por Carathéodory es una medida. Se llama medida de Hausdorff de dimensión - de . Debido a la propiedad de medida externa métrica , todos los subconjuntos de Borel de son medibles. ${\displaystyle H^{d}(S)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{d}}$

En la definición anterior, los conjuntos que forman la envoltura son arbitrarios. Sin embargo, podemos exigir que los conjuntos que forman la envoltura sean abiertos o cerrados, o incluso convexos en espacios normados , lo que dará como resultado los mismos números y, por lo tanto, la misma medida. Si restringimos los conjuntos que forman la envoltura a bolas, podemos cambiar las medidas, pero no cambia la dimensión de los conjuntos medidos. ${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Propiedades de las medidas de Hausdorff

Nótese que si d es un entero positivo, la medida de Hausdorff de dimensión d de es un reescalamiento de la medida de Lebesgue de dimensión d habitual , que está normalizada de modo que la medida de Lebesgue del cubo unitario [0,1] ^d es 1. De hecho, para cualquier conjunto de Borel E , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \lambda _{d}}$

${\displaystyle \lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),}$

donde α _d es el volumen de la unidad d -bola ; se puede expresar utilizando la función gamma de Euler

${\displaystyle \alpha _{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)^{d}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}.}$

Esto es

${\displaystyle \lambda _{d}(E)=\beta _{d}H^{d}(E)}$,

donde es el volumen del diámetro unitario d -bola. ${\displaystyle \beta _{d}}$

Observación . Algunos autores adoptan una definición de medida de Hausdorff ligeramente diferente de la elegida aquí, con la diferencia de que el valor definido anteriormente se multiplica por el factor , de modo que la medida d -dimensional de Hausdorff coincide exactamente con la medida de Lebesgue en el caso del espacio euclidiano. ${\displaystyle H^{d}(E)}$ ${\displaystyle \beta _{d}=2^{-d}\alpha _{d}}$

Relación con la dimensión de Hausdorff

Resulta que puede tener un valor finito, distinto de cero, para un máximo de uno . Es decir, la medida de Hausdorff es cero para cualquier valor por encima de una determinada dimensión e infinito por debajo de una determinada dimensión, de forma análoga a la idea de que el área de una línea es cero y la longitud de una forma 2D es en cierto sentido infinita. Esto conduce a una de varias posibles definiciones equivalentes de la dimensión de Hausdorff: ${\displaystyle H^{d}(S)}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup\{d\geq 0:H^{d}(S)=\infty \},}$

donde tomamos y . ${\displaystyle \inf \emptyset =+\infty }$ ${\displaystyle \sup \emptyset =0}$

Tenga en cuenta que no está garantizado que la medida de Hausdorff deba ser finita y distinta de cero para algún d , y, de hecho, la medida en la dimensión de Hausdorff aún puede ser cero; en este caso, la dimensión de Hausdorff todavía actúa como un punto de cambio entre medidas de cero e infinito.

Generalizaciones

En la teoría de la medida geométrica y campos relacionados, el contenido de Minkowski se utiliza a menudo para medir el tamaño de un subconjunto de un espacio de medida métrica. Para dominios adecuados en el espacio euclidiano, las dos nociones de tamaño coinciden, hasta normalizaciones generales que dependen de las convenciones. Más precisamente, se dice que un subconjunto de es -rectificable si es la imagen de un conjunto acotado en bajo una función de Lipschitz . Si , entonces el contenido de Minkowski -dimensional de un subconjunto cerrado -rectificable de es igual a veces la medida de Hausdorff -dimensional (Federer 1969, Teorema 3.2.29). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 2^{-m}\alpha _{m}}$ ${\displaystyle m}$

En geometría fractal , algunos fractales con dimensión de Hausdorff tienen una medida de Hausdorff de dimensión cero o infinita . Por ejemplo, casi con toda seguridad la imagen del movimiento browniano plano tiene dimensión de Hausdorff 2 y su medida de Hausdorff bidimensional es cero. Para "medir" el "tamaño" de tales conjuntos, se puede considerar la siguiente variación de la noción de medida de Hausdorff: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

En la definición de la medida se reemplaza con donde es cualquier función de conjunto monótona creciente que satisface ${\displaystyle (\operatorname {diam} U_{i})^{d}}$ ${\displaystyle \phi (U_{i}),}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (\emptyset )=0.}$

Esta es la medida de Hausdorff con función de calibre o medida de -Hausdorff. Un conjunto de dimensiones puede satisfacer pero con una función de calibre apropiada. Ejemplos de funciones de calibre incluyen ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi ,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H^{d}(S)=0,}$ ${\displaystyle H^{\phi }(S)\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \phi .}$

${\displaystyle \phi (t)=t^{2}\log \log {\frac {1}{t}}\quad {\text{or}}\quad \phi (t)=t^{2}\log {\frac {1}{t}}\log \log \log {\frac {1}{t}}.}$

El primero da casi con seguridad una medida positiva y -finita al camino browniano en cuando , y el segundo cuando . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n=2}$

Véase también

• Dimensión de Hausdorff
• Teoría de la medida geométrica
• Teoría de la medida
• Medida exterior

Referencias

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992), Teoría de la medida y propiedades finas de funciones , CRC Press.
• Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
• Hausdorff, Felix (1918), "Dimension und äusseres Mass" (PDF) , Mathematische Annalen , 79 (1–2): 157–179, doi :10.1007/BF01457179, S2CID  122001234.
• Morgan, Frank (1988), Teoría de la medida geométrica , Academic Press.
• Rogers, CA (1998), Medidas de Hausdorff , Cambridge Mathematical Library (3.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-62491-6
• Szpilrajn, E (1937), "La dimension et la mesure" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 28 : 81–89, doi : 10.4064/fm-28-1-81-89.

Enlaces externos

• Dimensión de Hausdorff en la Enciclopedia de Matemáticas
• Medida de Hausdorff en la Enciclopedia de Matemáticas