En matemáticas , la secuencia de Puppe es una construcción de la teoría de la homotopía , llamada así en honor a Dieter Puppe . Viene en dos formas: una secuencia larga exacta , construida a partir de la fibra cartográfica (una fibración ), y una secuencia larga coexacta, construida a partir del cono cartográfico (que es una cofibración ). [1] Intuitivamente, la secuencia de Puppe nos permite pensar en la teoría de la homología como un funtor que lleva espacios a secuencias de grupos largas y exactas. También es útil como herramienta para construir secuencias largas y exactas de grupos de homotopía relativa .
Secuencia exacta de la marioneta
Sea un mapa continuo entre espacios puntiagudos y denotemos la fibra de mapeo (la fibración dual al cono de mapeo ). Entonces se obtiene una secuencia exacta:![{\ Displaystyle f \ dos puntos (X, x_ {0}) \ to (Y, y_ {0})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Mf}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Mf\a X\a Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la fibra de mapeo se define como: [1]
![{\displaystyle Mf=\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ y }}\omega (1)=f(x )\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Observe que el espacio del bucle se inyecta en la fibra de mapeo: , ya que consta de aquellos mapas que comienzan y terminan en el punto base . Entonces se puede demostrar que la secuencia anterior se extiende a la secuencia más larga![{\displaystyle \Omega Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega Y\a Mf}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Luego, la construcción se puede iterar para obtener la secuencia exacta de Puppe.
![{\displaystyle \cdots \to \Omega ^{2}(Mf)\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega (Mf)\to \Omega X\to \Omega Y\a Mf\a X\a Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La secuencia exacta suele ser más conveniente que la secuencia coexacta en aplicaciones prácticas, como explica Joseph J. Rotman : [1]
- (las) diversas construcciones (de la secuencia coexacta) involucran espacios cocientes en lugar de subespacios, por lo que todos los mapas y homotopías requieren un mayor escrutinio para garantizar que estén bien definidos y sean continuos.
Ejemplos
Ejemplo: homotopía relativa
Como caso especial, [1] se puede tomar X como un subespacio A de Y que contiene el punto base y 0 , y f como la inclusión de A en Y. Se obtiene entonces una secuencia exacta en la categoría de espacios puntiagudos :![{\displaystyle i:A\hookrightarrow Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \left[S^{0},\ Omega ^{n}(Mi)\right]\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1} (A)\to \pi _{1}(Y)\to \left[S^{0},Mi\right]\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y )\end{alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde son los grupos de homotopía , es la esfera cero (es decir, dos puntos) y denota la equivalencia de homotopía de los mapas de U a W. Tenga en cuenta que . Entonces se puede demostrar que ![{\displaystyle \pi _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S^{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [U,W]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{n+1}(X)=\pi _{1}(\Omega ^{n}X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi)\right]=\left[S^{n},Mi\right]=\pi _ {n}(Mi)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
está en biyección al grupo de homotopía relativa , dando lugar así a la secuencia de pares de homotopía relativa![{\displaystyle \pi _ {n+1}(Y,A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \pi _{n+1}(Y ,A)\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(A)\to \pi _ {1}(Y)\to \pi _{1}(Y,A)\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El objeto es un grupo para y es abeliano para .![{\displaystyle \pi _ {n}(Y,A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 3}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo: fibración
Como caso especial, [1] se puede tomar f como una fibración . Entonces la fibra de mapeo Mp tiene la propiedad de elevación de homotopía y se deduce que Mp y la fibra tienen el mismo tipo de homotopía . De manera trivial se deduce que las aplicaciones de la esfera en Mp son homotópicas a las aplicaciones de la esfera en F , es decir,
![{\displaystyle F=p^{-1}(b_{0})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{n}(Mp)=\left[S^{n},Mp\right]\simeq \left[S^{n},F\right]=\pi _{n}(F ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
A partir de esto, la secuencia de Puppe da la secuencia de homotopía de una fibración :
![{\displaystyle {\begin{alineado}\cdots &\to \pi _{n+1}(E)\to \pi _{n+1}(B)\to \pi _{n}(F)\ to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}( B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)\to \pi _{0}(B)\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo: fibración débil
Las fibraciones débiles son estrictamente más débiles que las fibraciones; sin embargo, el resultado principal anterior aún se mantiene, aunque la prueba debe modificarse. La observación clave, debida a Jean-Pierre Serre , es que, dada una fibración débil , y la fibra en el punto base dada por , hay una biyección![{\displaystyle p\dos puntos E\a B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F=p^{-1}(b_{0})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Esta biyección se puede utilizar en la secuencia de homotopía relativa anterior, para obtener la secuencia de homotopía de una fibración débil , que tiene la misma forma que la secuencia de fibración, aunque con un mapa de conexión diferente.
Secuencia de marionetas coexacta
Sea un mapa continuo entre complejos CW y denotemos un cono de mapeo de f , (es decir, la cofibra del mapa f ), de modo que tengamos una secuencia (cofibra):![{\displaystyle f\dos puntos A\to B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C(f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Ahora podemos formar suspensiones de A y B respectivamente, y también (esto se debe a que la suspensión podría verse como un funtor ), obteniendo una secuencia:![{\displaystyle \Sigma A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Sigma f\colon \Sigma A\to \Sigma B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Tenga en cuenta que la suspensión preserva las secuencias de cofibra.
Debido a este poderoso hecho, sabemos que la homotopía es equivalente a . Al colapsar en un punto, uno tiene un mapa natural. Por lo tanto, tenemos una secuencia:![{\displaystyle C(\Sigma f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Sigma C(f).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B\subconjunto C(f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C(f)\to \Sigma A.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Iterando esta construcción, obtenemos la secuencia Puppe asociada a :![{\displaystyle A\a B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f)\to \Sigma ^{2}A\to \Sigma ^{2}B\ a \Sigma ^{2}C(f)\to \Sigma ^{3}A\to \Sigma ^{3}B\a \Sigma ^{3}C(f)\to \cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Algunas propiedades y consecuencias.
Es un simple ejercicio de topología ver que cada tres elementos de una secuencia de Puppe son, hasta una homotopía, de la forma:
.
Por "hasta una homotopía", queremos decir aquí que cada 3 elementos en una secuencia de Puppe tienen la forma anterior si se consideran objetos y morfismos en la categoría de homotopía .
Si ahora se le da un functor topológico semiexacto , la propiedad anterior implica que, después de actuar con el funtor en cuestión sobre la secuencia de Puppe asociada a , se obtiene una secuencia exacta larga .![{\displaystyle A\a B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un resultado, debido a John Milnor , [2] es que si se toman los axiomas de Eilenberg-Steenrod para la teoría de la homología y se reemplaza la escisión por la secuencia exacta de una fibración débil de pares, entonces se obtiene la analogía de homotopía de la teoría de Eilenberg-Steenrod. Teorema: existe una secuencia única de functores con P la categoría de todos los pares puntiagudos de espacios topológicos.![{\displaystyle \pi _{n}\colon P\to {\bf {Conjuntos}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Observaciones
Como hay dos "tipos" de suspensión , no reducida y reducida , también se pueden considerar secuencias de Puppe reducidas y no reducidas (al menos si se trata de espacios puntiagudos , cuando es posible formar una suspensión reducida).
Referencias
- Edwin Spanier , Topología algebraica , Springer-Verlag (1982) Reimpresión, McGraw Hill (1966)