Colimit y límite de homotopía

Conceptos de topología algebraica

En matemáticas , especialmente en topología algebraica , el límite de homotopía y colimit ^{[1] pg 52} son variantes de las nociones de límite y colimit extendidas a la categoría de homotopía . La idea principal es esta: si tenemos un diagrama ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}})}$

${\displaystyle F:I\to {\textbf {Top}}}$

considerado como un objeto en la categoría de homotopía de los diagramas (donde la equivalencia de homotopía de los diagramas se considera puntual), entonces el límite de homotopía y los colímites corresponden al cono y al cocono. ${\displaystyle F\in {\text{Ho}}({\textbf {Top}}^{I})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\leftarrow I}{\text{Holim}}}(F)&:*\to {\textbf {Top}}\\{\underset {\rightarrow I}{\text{Hocolim}}}(F)&:*\to {\textbf {Top}}\end{aligned}}}$

que son objetos en la categoría de homotopía , donde es la categoría con un objeto y un morfismo. Tenga en cuenta que esta categoría es equivalente a la categoría de homotopía estándar, ya que la última categoría de functor de homotopía tiene funtores que seleccionan un objeto y una transformación natural corresponde a una función continua de espacios topológicos. Tenga en cuenta que esta construcción se puede generalizar a categorías de modelos , que brindan técnicas para construir límites y colimites de homotopía en términos de otras categorías de homotopía, como las categorías derivadas . Otra perspectiva que formaliza este tipo de construcciones son los derivados ^{[2] pg 193} , que son un nuevo marco para el álgebra homotópica . ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}}^{*})}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}})}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$

Ejemplos introductorios

Expulsión de homotopía

El concepto de colimit de homotopía ^{[1] pág. 4-8} es una generalización de los pushouts de homotopía , como el cilindro de mapeo utilizado para definir una cofibración . Esta noción está motivada por la siguiente observación: la expulsión (ordinaria)

${\displaystyle D^{n}\sqcup _{S^{n-1}}pt}$

es el espacio obtenido al contraer la n -1-esfera (que es el límite del disco n -dimensional) en un solo punto. Este espacio es homeomorfo a la n -esfera S ⁿ . Por otro lado, la expulsión

${\displaystyle pt\sqcup _{S^{n-1}}pt}$

es un punto. Por lo tanto, aunque el disco ( contráctil ) D ⁿ fue reemplazado por un punto (que es equivalente en homotopía al disco), las dos expulsiones no son equivalentes en homotopía (o débilmente ).

Por lo tanto, la expulsión no está bien alineada con un principio de la teoría de la homotopía, que considera que los espacios débilmente equivalentes contienen la misma información: si uno (o más) de los espacios utilizados para formar la expulsión se reemplaza por un espacio débilmente equivalente, el No se garantiza que la expulsión se mantenga débilmente equivalente. La expulsión de homotopía rectifica este defecto.

La expulsión de homotopía de dos mapas de espacios topológicos se define como ${\displaystyle A\leftarrow B\rightarrow C}$

${\displaystyle A\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}B\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}C}$,

es decir, en lugar de pegar B tanto en A como en C , se pegan dos copias de un cilindro en B y sus extremos se pegan a A y C. Por ejemplo, el colimit de homotopía del diagrama (cuyos mapas son proyecciones)

${\displaystyle X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}}$

es la unión . ${\displaystyle X_{0}*X_{1}}$

Se puede demostrar que la expulsión por homotopía no comparte el defecto de la expulsión ordinaria: reemplazando A , B y/o C por un espacio homotópico, la expulsión por homotopía también será homotópica. En este sentido, las expulsiones de homotopía tratan los espacios homotópicos tan bien como la expulsión (ordinaria) lo hace con los espacios homeomórficos.

Composición de mapas

Otro ejemplo útil y motivador de un colimit de homotopía es la construcción de modelos para el colimit de homotopía del diagrama.

${\displaystyle A\xrightarrow {f} X\xrightarrow {g} Y}$

de espacios topológicos. Hay varias formas de modelar este colimit: la primera es considerar el espacio

${\displaystyle \left[(A\times I)\coprod (X\times I)\coprod Y\right]/\sim }$

¿Dónde está la relación de equivalencia que identifica? ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,1)&\sim (f(a),0)\\(x,1)&\sim g(x)\end{aligned}}}$

que gráficamente puede describirse como la imagen

Debido a que podemos interpretar de manera similar el diagrama anterior como diagrama conmutativo, a partir de las propiedades de las categorías, obtenemos un diagrama conmutativo.

dando un colimit de homotopía. Podríamos adivinar que esto parece

pero fíjate que hemos introducido un nuevo ciclo para rellenar los nuevos datos de la composición. Esto crea un problema técnico que puede resolverse utilizando técnicas simples: proporcionar un método para construir un modelo para colimits de homotopía. El nuevo diagrama, que forma gráficamente el colímite de homotopía del diagrama de composición, se representa como

dando otro modelo del colimit de homotopía que es homotópico equivalente al diagrama original (sin la composición de ) dado anteriormente. ${\displaystyle g\circ f}$

Telescopio cartográfico

El colimit de homotopía de una secuencia de espacios.

${\displaystyle X_{1}\to X_{2}\to \cdots ,}$

es el telescopio cartográfico . ^[3] Un ejemplo de cálculo es tomar el colimit de homotopía de una secuencia de cofibraciones . El colimit de ^{[1] página 62} de este diagrama da un colimit de homotopía. Esto implica que podríamos calcular el colimit de homotopía de cualquier telescopio cartográfico reemplazando los mapas con cofibraciones.

Definición general

Límite de homotopía

Se puede tratar ejemplos como el telescopio cartográfico y la expulsión de homotopía en pie de igualdad considerando un diagrama I de espacios, donde I es alguna categoría de "indexación" . este es un funtor

${\displaystyle X:I\to Spaces,}$

es decir, a cada objeto i en I , se le asigna un espacio X _i y se asigna entre ellos, de acuerdo con los mapas en I. La categoría de tales diagramas se denomina Espacios ^I.

Hay un functor natural llamado diagonal,

${\displaystyle \Delta _{0}:Spaces\to Spaces^{I}}$

que envía cualquier espacio X al diagrama que consta de X en todas partes (y la identidad de X como mapas entre ellos). En la teoría de categorías (ordinaria), el adjunto derecho de este funtor es el límite . El límite de homotopía se define alterando esta situación: es el adjunto derecho a

${\displaystyle \Delta :Spaces\to Spaces^{I}}$

que envía un espacio X al diagrama I que en algún objeto i da

${\displaystyle X\times |N(I/i)|}$

Aquí I / i es la categoría de corte (sus objetos son flechas j → i , donde j es cualquier objeto de I ), N es el nervio de esta categoría y |-| es la realización topológica de este conjunto simple . ^[4]

Colimit de homotopía

De manera similar, se puede definir un colimit como el adjunto izquierdo del funtor diagonal Δ ₀ dado anteriormente. Para definir un colimit de homotopía, debemos modificar Δ ₀ de una manera diferente. Un colimit de homotopía se puede definir como el adjunto izquierdo de un funtor Δ: Espacios → Espacios ^I donde

Δ( X )( i ) = _Espacios Hom (| N ( I ^op / i ) |, X ) ,

donde I ^op es la categoría opuesta de I . Aunque no es lo mismo que el funtor Δ anterior, comparte la propiedad de que si la realización geométrica de la categoría nerviosa ( | N (-) | ) se reemplaza con un espacio de puntos, recuperamos el funtor original Δ ₀ .

Ejemplos

Un retroceso de homotopía (o producto de fibra de homotopía ) es el concepto dual de un retroceso de homotopía. Satisface la propiedad universal de un retroceso hasta la homotopía. ^{[ cita necesaria ]} Concretamente, dado y , se puede construir como ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$

${\displaystyle X\times _{Z}^{h}Y:=X\times _{Z}Z^{I}\times _{Z}Y=\{(x,\gamma ,y)|f(x)=\gamma (0),g(y)=\gamma (1)\}.}$^[5]

Por ejemplo, la fibra de homotopía de sobre un punto y es el retroceso de homotopía de a lo largo . ^[5] El retroceso de homotopía a lo largo de la identidad no es más que el espacio de ruta de mapeo de . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

La propiedad universal de un retroceso de homotopía produce el mapa natural , un caso especial de un mapa natural de un límite a un límite de homotopía. En el caso de una fibra homotópica, este mapa es una inclusión de una fibra a una fibra homotópica. ${\displaystyle X\times _{Z}Y\to X\times _{Z}^{h}Y}$

Construcción de colímites con reemplazos simples.

Dada una categoría pequeña y un diagrama , podemos construir el colimit de homotopía utilizando un reemplazo simple del diagrama. Este es un espacio simplicial, dado por el diagrama ^{[1] pg 16-17} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D:I\to {\textbf {Top}}}$ ${\displaystyle {\text{srep}}(D)_{\bullet }}$

dónde

${\displaystyle {\text{srep}}(D)_{n}={\underset {i_{0}\leftarrow i_{1}\leftarrow \cdots \leftarrow i_{n}}{\coprod }}D(i_{n})}$

dado por cadenas de mapas componibles en la categoría de indexación . Entonces, el colimit de homotopía de puede construirse como la realización geométrica de este espacio simplicial, por lo que ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\underset {\to }{\text{hocolim}}}D=|{\text{srep}}(D)_{\bullet }|}$

Observe que esto concuerda con la imagen dada arriba para el diagrama de composición de . ${\displaystyle A\to X\to Y}$

Relación con el colimit (ordinario) y el límite

Siempre hay un mapa

${\displaystyle \mathrm {hocolim} X_{i}\to \mathrm {colim} X_{i}.}$

Normalmente, este mapa no es una equivalencia débil. Por ejemplo, la expulsión de homotopía encontrada anteriormente siempre se corresponde con la expulsión ordinaria. Este mapa no suele ser una equivalencia débil; por ejemplo, la unión no es débilmente equivalente a la expulsión de , que es un punto. ${\displaystyle X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}}$

Otros ejemplos y aplicaciones

Así como se usa límite para completar un anillo, holim se usa para completar un espectro.

Ver también

• Derivador
• Fibra de homotopía
• Fibra de homotopía
• Cohomología de categorías
• Secuencia espectral de colimits de homotopía.

Referencias

1. , Daniel. "Introducción a los colimits de homotopía" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 3 de diciembre de 2020.
2. Grothendieck. "Persiguiendo pilas". thescribener.github.io . Archivado (PDF) desde el original el 30 de julio de 2020 . Consultado el 17 de septiembre de 2020 .
3. Topología algebraica de Hatcher, 4.G.
4. Bousfield & Kan: límites de homotopía, terminaciones y localizaciones , Springer, LNM 304. Sección XI.3.3
5. Math 527 - Teoría de la homotopía Retrocesos de homotopía

• Introducción a los colimits de homotopía
• Colimits de homotopía en la categoría de categorías pequeñas.
• Categorías y Orbiespacios
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.

Otras lecturas

• Diagramas de límite-colímite de homotopía en categorías de modelos estables
• pág.80 Colímites y límites de homotopía