Teorema de Hilton

Sobre el espacio de bucles de una cuña de esferas

En topología algebraica , el teorema de Hilton , demostrado por Peter Hilton  (1955), establece que el espacio de bucles de una cuña de esferas es homotópicamente equivalente a un producto de espacios de bucles de esferas.

John Milnor  (1972) demostró de manera más general que el espacio de bucles de la suspensión de una cuña de espacios puede escribirse como un producto infinito de espacios de bucles de suspensiones de productos de choque .

Declaraciones explícitas

Una versión del teorema de Hilton-Milnor establece que existe una equivalencia de homotopía.

${\displaystyle \Omega (\Sigma X\vee \Sigma Y)\simeq \Omega \Sigma X\times \Omega \Sigma Y\times \Omega \Sigma \left(\bigvee _{i,j\geq 1}X^{\wedge i}\wedge Y^{\wedge j}\right).}$

Aquí la sigma mayúscula indica la suspensión de un espacio apuntado.

Ejemplo

Consideremos el cálculo del cuarto grupo de homotopía de . Para poner este espacio en el lenguaje de la fórmula anterior, nos interesa ${\displaystyle S^{2}\vee S^{2}}$

${\displaystyle \Omega (S^{2}\vee S^{2})\simeq \Omega (\Sigma S^{1}\vee \Sigma S^{1})}$.

Una aplicación de la fórmula anterior establece

${\displaystyle \Omega (S^{2}\vee S^{2})\simeq \Omega S^{2}\times \Omega S^{2}\times \Omega \Sigma \left(\bigvee _{i,j\geq 1}S^{i+j}\right)}$.

De esto se desprende que podemos seguir aplicando inductivamente esta fórmula para obtener un producto de espacios (siendo cada uno un espacio de bucles de una esfera), de los cuales sólo un número finito tendrá un tercer grupo de homotopía no trivial. Esos factores son: , dando como resultado ${\displaystyle \Omega S^{2},\Omega S^{2},\Omega S^{3},\Omega S^{4},\Omega S^{4}}$

${\displaystyle \pi _{4}(S^{2}\vee S^{2})\simeq \oplus _{2}\pi _{4}S^{2}\oplus \pi _{4}S^{3}\oplus \oplus _{2}\pi _{4}S^{4}\simeq \oplus _{3}\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} ^{2}}$,

es decir, la suma directa de un grupo abeliano libre de rango dos con el grupo abeliano de 2-torsiones con 8 elementos.

Referencias

• Hilton, Peter J. (1955), "Sobre los grupos de homotopía de la unión de esferas", Journal of the London Mathematical Society , Segunda serie, 30 (2): 154–172, doi :10.1112/jlms/s1-30.2.154, ISSN  0024-6107, MR  0068218
• Milnor, John Willard (1972) [1956], "Sobre la construcción FK", en Adams, John Frank (ed.), Topología algebraica: guía para estudiantes , Cambridge University Press , págs. 118-136, doi :10.1017/CBO9780511662584.011, ISBN 978-0-521-08076-7, Sr.  0445484