Cono (topología)

Cono de un círculo. El espacio original X está en azul y el punto final colapsado v está en verde.

En topología , especialmente en topología algebraica , el cono de un espacio topológico se obtiene intuitivamente estirando X hasta formar un cilindro y luego colapsando una de sus caras finales hasta formar un punto. El cono de X se denota por o por . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle \operatorname {cone} (X)}$

Definiciones

Formalmente, el cono de X se define como:

${\displaystyle CX=(X\times [0,1])\cup _{p}v\ =\ \varinjlim {\bigl (}(X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{0\})\xrightarrow {p} v{\bigr )},}$

donde es un punto (llamado vértice del cono) y es la proyección hasta ese punto. En otras palabras, es el resultado de unir el cilindro por su cara a un punto a lo largo de la proyección . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\times [0,1]}$ ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p:{\bigl (}X\times \{0\}{\bigr )}\to v}$

Si es un subespacio compacto no vacío del espacio euclidiano , el cono en es homeomorfo a la unión de segmentos desde a cualquier punto fijo tales que estos segmentos se intersecan solo en sí mismo. Es decir, el cono topológico concuerda con el cono geométrico para espacios compactos cuando este último está definido. Sin embargo, la construcción del cono topológico es más general. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle v\not \in X}$ ${\displaystyle v}$

El cono es un caso especial de unión : la unión de con un único punto . ^{[1] : 76} ${\displaystyle CX\simeq X\star \{v\}=}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle v\not \in X}$

Ejemplos

Aquí solemos utilizar un cono geométrico ( donde es un subespacio compacto no vacío del espacio euclidiano ). Los espacios considerados son compactos, por lo que obtenemos el mismo resultado hasta el homeomorfismo. ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle X}$

• El cono sobre un punto p de la recta real es un segmento de recta en , . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \{p\}\times [0,1]}$
• El cono sobre dos puntos {0, 1} tiene forma de "V" con puntos finales en {0} y {1}.
• El cono sobre un intervalo cerrado I de la recta real es un triángulo relleno (con uno de los bordes I ), también conocido como 2-símplex (ver el ejemplo final).
• El cono sobre un polígono P es una pirámide con base P.
• El cono sobre un disco es el cono sólido de la geometría clásica (de ahí el nombre del concepto).
• El cono sobre un círculo dado por

${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1{\mbox{ and }}z=0\}}$

es la superficie curva del cono sólido:

${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=(z-1)^{2}{\mbox{ and }}0\leq z\leq 1\}.}$

Éste a su vez es homeomorfo al disco cerrado .

Ejemplos más generales: ^{[1] : 77, Ejercicio.1}

• El cono sobre una n -esfera es homeomorfo a la bola cerrada ( n + 1) .
• El cono sobre una bola n también es homeomorfo a la bola cerrada ( n + 1) .
• El cono sobre un n - símplex es un ( n +1)-símplex.

Propiedades

Todos los conos están conectados por trayectorias, ya que cada punto puede conectarse con el punto del vértice. Además, cada cono es contráctil con el punto del vértice por la homotopía.

${\displaystyle h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s)}$.

El cono se utiliza en topología algebraica precisamente porque incorpora un espacio como subespacio de un espacio contráctil.

Cuando X es compacto y Hausdorff (en esencia, cuando X puede ser embebido en el espacio euclidiano), entonces el cono puede ser visualizado como la colección de líneas que unen cada punto de X a un único punto. Sin embargo, esta imagen falla cuando X no es compacto o no es Hausdorff, ya que generalmente la topología cociente será más fina que el conjunto de líneas que unen X a un punto. ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle CX}$

Functor de cono

La función induce un funtor en la categoría de espacios topológicos Top . Si es una función continua , entonces se define por ${\displaystyle X\mapsto CX}$ ${\displaystyle C\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Cf\colon CX\to CY}$

${\displaystyle (Cf)([x,t])=[f(x),t]}$,

donde los corchetes indican clases de equivalencia .

Cono reducido

Si es un espacio puntiagudo , existe una construcción relacionada, el cono reducido , dada por ${\displaystyle (X,x_{0})}$

${\displaystyle (X\times [0,1])/(X\times \left\{0\right\}\cup \left\{x_{0}\right\}\times [0,1])}$

donde tomamos como punto base del cono reducido la clase de equivalencia de . Con esta definición, la inclusión natural se convierte en una función de base. Esta construcción también da un funtor, de la categoría de espacios apuntados a sí mismo. ${\displaystyle (x_{0},0)}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,1)}$

Véase también

• Cono (desambiguación)
• Suspensión (topología)
• Desuspensión
• Cono de mapeo (topología)
• Unirse (topología)

Referencias

1. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3

• Allen Hatcher , Topología algebraica. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X y ISBN 0-521-79540-0  
• "Cono". PlanetMath .